As equações de drift diffusion

2. Transporte de portadores de carga

O transporte de carga em semicondutores é descrito pelas equações acopladas de drift–diffusion para elétrons e lacunas. Essas equações levam em conta o movimento dos portadores impulsionado por campos elétricos, gradientes de concentração e gradientes de temperatura (efeitos termoelétricos). Uma derivação detalhada a partir de primeiros princípios dessas equações a partir da Equação de Transporte de Boltzmann é apresentada em Teoria de drift–diffusion: do transporte de Boltzmann ao balanço de energia .

Para elétrons, a densidade de corrente é dada por:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

e para lacunas:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

Aqui, \(q\) é a carga elementar, \(n_f\) e \(p_f\) são as densidades de elétrons livres e lacunas livres, \(\mu_e\) e \(\mu_h\) são as mobilidades dos portadores, e \(D_n\) e \(D_p\) são os coeficientes de difusão. As quantidades \(E_c\) e \(E_v\) denotam as energias locais das bordas das bandas de condução e valência. Escrever a corrente em termos dos gradientes das bordas de banda, em vez do campo elétrico, garante que heterojunções e offsets de materiais sejam tratados corretamente; veja a Seção 5 da derivação de drift–diffusion para detalhes.

O termo final em cada expressão representa o acionamento térmico (termodifusão), que surge naturalmente quando o balanço de momento é reduzido de forma autoconsistente. Esse termo é frequentemente omitido em modelos simplificados, mas se torna importante em dispositivos com fortes gradientes de temperatura ou aquecimento de portadores. Sua origem é discutida na extensão de transporte de energia .

A conservação de carga é imposta pelas equações de continuidade dos portadores. Para elétrons:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

e para lacunas:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

Essas equações de continuidade são obtidas ao tomar o momento de ordem zero da Equação de Transporte de Boltzmann, como mostrado explicitamente em Seção 4 da derivação . Os termos \(R\) e \(G\) representam recombinação e geração, enquanto as derivadas temporais descrevem o armazenamento e a liberação transientes de carga.

Em conjunto, as relações de corrente de drift–diffusion e as equações de continuidade formam o núcleo da modelagem de dispositivos semicondutores. No OghmaNano, essas equações podem ser resolvidas de forma autoconsistente com a equação de Poisson em 1D, 2D ou 3D completo, e podem ser estendidas para incluir transporte de energia (efeitos de portadores quentes) e dinâmica de armadilhas fora do equilíbrio quando necessário.