ドリフト拡散方程式

2. 電荷キャリア輸送

半導体における電荷輸送は、電子および正孔に対する結合した ドリフト–拡散方程式 によって記述されます。 これらの方程式は、電場、 濃度勾配、および温度勾配（熱電効果）によって駆動されるキャリア運動を考慮します。 これらの方程式を Boltzmann 輸送方程式から第一原理的に詳細に導出したものは、 ドリフト–拡散理論: Boltzmann 輸送からエネルギーバランスへ に示されています。

電子に対する電流密度は次式で与えられます:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

また、正孔に対しては:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

ここで、\(q\) は電気素量、 \(n_f\) および \(p_f\) は自由電子密度および自由正孔密度、 \(\mu_e\) および \(\mu_h\) はキャリア移動度、 \(D_n\) および \(D_p\) は拡散係数です。 \(E_c\) および \(E_v\) は局所的な伝導帯端および価電子帯端エネルギーを表します。 電流を電場ではなくバンド端勾配で記述することで、 ヘテロ接合および材料オフセットが正しく取り扱われる ことが保証されます； 詳細については、 ドリフト–拡散導出 の Section 5 を参照してください。

各式の最後の項は、熱駆動 （熱拡散）を表しており、運動量バランスを 自己無撞着に縮約したときに自然に現れます。 この項は簡略化されたモデルではしばしば省略されますが、 強い温度勾配またはキャリア加熱を伴うデバイスでは重要になります。 その起源は、 エネルギー輸送拡張 で議論されています。

電荷保存は、キャリア連続の式によって課されます。 電子に対しては:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

また、正孔に対しては:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

これらの連続の式は、 導出の Section 4 に明示的に示されているように、 Boltzmann 輸送方程式のゼロ次モーメント を取ることで得られます。 \(R\) および \(G\) は再結合および生成を表し、 時間微分項は過渡的な電荷蓄積および放出を記述します。

ドリフト–拡散電流関係と連続の式を合わせると、 半導体デバイスモデリングの中核が形成されます。 OghmaNano では、これらの方程式は Poisson 方程式と自己無撞着に 1D、2D、または完全 3D で解くことができ、 必要に応じて エネルギー輸送（ホットキャリア効果） や非平衡トラップダイナミクスを含むように拡張できます。