drift diffusion 방정식

2. 전하 운반자 수송

반도체에서의 전하 수송은 전자와 정공에 대한 결합된 drift–diffusion 방정식으로 기술됩니다. 이 방정식들은 전기장, 농도 구배 및 온도 구배(열전 효과)에 의해 구동되는 운반자 운동을 고려합니다. Boltzmann Transport Equation으로부터 이러한 방정식을 first-principles 방식으로 자세히 유도한 내용은 Drift–Diffusion Theory: Boltzmann Transport에서 Energy Balance까지 에 제시되어 있습니다.

전자의 경우 전류 밀도는 다음과 같이 주어집니다:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

그리고 정공의 경우:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

여기서 \(q\)는 기본 전하, \(n_f\) 및 \(p_f\)는 자유 전자 및 정공 밀도, \(\mu_e\) 및 \(\mu_h\)는 운반자 이동도, 그리고 \(D_n\) 및 \(D_p\)는 확산 계수입니다. \(E_c\) 및 \(E_v\)는 국소 전도대 및 가전자대 가장자리 에너지를 나타냅니다. 전기장이 아니라 밴드 가장자리 구배로 전류를 표현하면 heterojunction 및 재료 오프셋이 올바르게 처리되도록 보장됩니다. 자세한 내용은 drift–diffusion 유도 의 Section 5를 참조하십시오.

각 식의 마지막 항은 열 구동 (thermodiffusion)을 나타내며, 이는 운동량 balance를 자기 일관적으로 축약할 때 자연스럽게 나타납니다. 이 항은 단순화된 모델에서는 종종 생략되지만, 강한 온도 구배 또는 운반자 가열이 있는 소자에서는 중요해집니다. 그 기원은 energy-transport 확장 에서 논의됩니다.

전하 보존은 운반자 continuity 방정식에 의해 강제됩니다. 전자의 경우:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

그리고 정공의 경우:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

이러한 continuity 방정식은 Boltzmann Transport Equation의 0차 모멘트를 취함으로써 얻어지며, 이는 유도의 Section 4 에 명시적으로 제시되어 있습니다. \(R\) 및 \(G\) 항은 재결합과 생성을 나타내며, 시간 미분 항은 과도 전하 저장과 방출을 나타냅니다.

drift–diffusion 전류 관계와 continuity 방정식은 함께 반도체 소자 모델링의 핵심을 형성합니다. OghmaNano에서는 이러한 방정식을 Poisson 방정식과 자기 일관적으로 결합하여 1D, 2D 또는 완전한 3D에서 풀 수 있으며, 필요할 경우 energy transport (hot-carrier 효과) 및 비평형 트랩 동역학을 포함하도록 확장할 수 있습니다.