drift-diffusion 방정식

3. 자유 전하 캐리어 통계

OghmaNano에서는 자유 캐리어를 통계적으로 기술하는 방법을 선택할 수 있습니다. 즉, 고전적인 Maxwell–Boltzmann (MB) 근사 또는 완전한 Fermi–Dirac (FD) 통계입니다. 적절한 선택은 재료, 캐리어 밀도, 그리고 축퇴 또는 비포물선형 / 무질서한 density of states (DOS)를 포착해야 하는지 여부에 따라 달라집니다.

MB 근사(준페르미 준위가 밴드 가장자리로부터 여러 \(kT\)만큼 떨어져 있을 때 유효함)에서는 캐리어 밀도가 다음과 같습니다

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

여기서 \(N_c\)와 \(N_v\)는 전도대와 가전자대의 유효 상태 밀도이고, \(F_n\)과 \(F_p\)는 전자 및 정공 준페르미 준위이며, \(E_c\), \(E_v\)는 국소 밴드 가장자리입니다.

DOS 형상이 중요하거나 축퇴가 중요한 경우에는 완전한 FD 통계를 사용하십시오. 그러면 전자 및 정공 밀도는 다음으로부터 계산됩니다

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

여기서 Fermi–Dirac 분포는

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

이며, (3D 포물선형 밴드의 경우) DOS는 다음과 같습니다

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

여기서 \(m^*\)는 유효 질량이고 \(\hbar\)는 reduced Planck constant입니다. 무질서한 또는 비포물선형 시스템에서는 대신 사용자 정의 DOS \(\rho(E)\)를 제공할 수 있습니다.

평균 캐리어 에너지(산란/재결합 모델에 유용함)는 다음과 같습니다

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

포물선형 DOS를 갖는 MB 극한에서는 이것이 익숙한 \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\)로 환원됩니다. 불규칙하거나 무질서한 DOS(예: 유기물, a-Si, 하이브리드 페로브스카이트)의 경우 적분을 평가해야 하며, 평균 에너지는 일반적으로 \(\tfrac{3}{2}kT\)에서 벗어납니다.