漂移-扩散方程

3. 自由载流子统计

在 OghmaNano 中，您可以选择用何种统计方式描述自由载流子：可以使用 经典的 Maxwell–Boltzmann（MB） 近似，或使用完整的 Fermi–Dirac（FD） 统计。 合适的选择取决于材料、载流子密度，以及是否需要刻画简并效应或非抛物线/无序的 态密度（DOS）。

在 MB 近似下（当准费米能级与带边相距数个 \(kT\) 时有效），载流子密度为

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

其中 \(N_c\) 和 \(N_v\) 为导带与价带中的有效态密度， \(F_n\) 和 \(F_p\) 为电子与空穴的准费米能级，并且 \(E_c\)、\(E_v\) 为局部带边。

当简并效应或 DOS 形状很重要时，使用完整的 FD 统计。此时电子与空穴密度由下式计算

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

其中费米–狄拉克分布为

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

并且（对于 3D 抛物线能带）DOS 为

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

其中 \(m^*\) 为有效质量，\(\hbar\) 为约化普朗克常数。在无序 或非抛物线体系中，您可以改为提供自定义的 DOS \(\rho(E)\)。

平均载流子能量（对散射/复合模型有用）为

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

在具有抛物线 DOS 的 MB 极限下，这将化简为熟知的 \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\)。 对于不规则或无序的 DOS（例如有机材料、a-Si、混合钙钛矿），必须对积分进行求值，并且 平均能量通常会偏离 \(\tfrac{3}{2}kT\)。