ドリフト拡散方程式

3. 自由電荷キャリア統計

OghmaNano では、自由キャリアを統計的にどのように記述するかを選択できます。すなわち、 古典的な Maxwell–Boltzmann (MB) 近似、または完全な Fermi–Dirac (FD) 統計です。 適切な選択は、材料、キャリア密度、ならびに縮退や非放物線型 / 無秩序な状態密度 (DOS) を 考慮する必要があるかどうかに依存します。

MB 近似の下では（これは準フェルミ準位がバンド端から数 \(kT\) 以上離れているときに有効です）、キャリア密度は次式で与えられます

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

ここで \(N_c\) および \(N_v\) は有効状態密度、 \(F_n\) および \(F_p\) は電子および正孔の準フェルミ準位、 \(E_c\)、\(E_v\) は局所バンド端です。

DOS の形状や縮退が重要な場合は、完全な FD 統計を使用します。その場合、電子および正孔密度は次式から計算されます

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

ここで Fermi–Dirac 分布は

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

また、（3D 放物線バンドの場合の）DOS は

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

となります。ここで \(m^*\) は有効質量、\(\hbar\) は換算プランク定数です。無秩序系 または非放物線系では、代わりにカスタム DOS \(\rho(E)\) を与えることができます。

平均キャリアエネルギー（散乱/再結合モデルで有用）は次式です

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

MB 極限で放物線 DOS を仮定すると、これはよく知られた \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\) に簡約されます。 不規則または無秩序な DOS（例: 有機材料、a-Si、ハイブリッドペロブスカイト）では、この積分を評価する必要があり、 平均エネルギーは一般に \(\tfrac{3}{2}kT\) からずれます。