Drift–Diffusion 理論：Boltzmann 輸送からエネルギーバランスへ

このページでは、半導体デバイスシミュレーションで用いられる drift–diffusion 方程式 の 第一原理的導出を示します。出発点は 緩和時間近似における Boltzmann 輸送方程式 です。 Boltzmann 方程式の逐次モーメントを取ることにより、 電子および正孔の連続の式、drift–diffusion 電流関係、 さらに エネルギー輸送（ホットキャリア）方程式 が、 単一の自己無撞着な枠組みの中でどのように現れるかを示します。 特に ヘテロ接合、バンド端駆動、 状態密度効果、および熱輸送に重点を置き、 OghmaNano に実装されているソルバー向けの方程式へと導きます。

1. はじめに

OghmaNano の電気エンジンは 1D/2D/3D drift–diffusion フレームワーク であり、 その特徴は 動的（非平衡）トラップ状態 をサポートしている点にあります。 トラップが自由キャリアと瞬時に平衡化すると仮定するのではなく、OghmaNano はトラップ占有率を エネルギー と 空間 の両方において明示的に発展させることができ、これは 無秩序半導体や過渡測定（例：ToF、CELIV）、ならびに定常動作を正しくモデル化するために本質的です。

drift–diffusion に至る道筋は 1 つではありません。例えば、 Boltzmann 輸送方程式 からモーメント展開と制御されたクロージャを通して導出することもできれば、 不可逆熱力学（Onsager／エントロピー生成の議論）から、 あるいは微視的ホッピングと巨視的 drift・diffusion を結びつける ランダムウォーク／Fokker–Planck 的観点から導くこともできます。 これらのアプローチは一見すると似た方程式を与えることが多いですが、 最も単純な「一様半導体」の場合を超えると、同等に信頼できるとは限りません。

特に、ヘテロ接合、空間的に変化する有効状態密度、 位置依存の有効質量、バンド端勾配、あるいは非自明な統計を導入すると、 drift–diffusion 電流に追加項を 後付けで付け足す だけで 結果が自己無撞着なままであると期待することはもはや安全ではありません。 同じことは、熱駆動を含めたり、電気輸送を熱生成と結合し始めたりした場合にも当てはまります。 必要なのは、正しい追加項を自然に生成し、 拡張への明確な道筋を与える導出枠組みであって、 場当たり的な修正の寄せ集めではありません。

そのため、ここで提示する導出は Boltzmann 輸送方程式 から始めます。 BTE のモーメントを取ることにより、連続の式と drift–diffusion の 構成関係が低慣性極限として系統的に得られ、 さらに同じ枠組みが次のレベル、 すなわち エネルギーバランス（エネルギー輸送）方程式 へどのように「持ち上がる」かも示されます。 たとえ完全な流体力学モデルを解かない場合でも、エネルギー枠組みは 一貫した 電気的熱源項 を特定し、 キャリア加熱を考慮すべき条件を明確にするという点で有用です。 以下の導出は OghmaNano の電気モデルの基礎をなしています。

2. Boltzmann 輸送方程式（RTA）

デバイスモデリングで用いられる最も基本的なレベルでは、電荷輸送は 分布関数 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) によって記述されます。 この関数は、位置 \(\mathbf{r}\)、 結晶運動量 \(\hbar\mathbf{k}\) を持つ電荷キャリアが、時刻 \(t\) に 存在する確率を表します。 キャリア密度、電流密度、エネルギー密度といったあらゆる巨視的電気量は、 この分布の適切なモーメントを取ることで得られます。

Boltzmann 輸送方程式（BTE） は、この分布関数の運動方程式です。 これは位相空間における保存則であり、キャリアが実空間をどのように移動するか、 印加された力の下でその運動量がどのように変化するか、 そして散乱過程が運動量空間内でキャリアをどのように再分配するかを記述します。 したがって BTE から出発することで、 drift–diffusion、エネルギー輸送、および関連モデルを 一貫した形で導くための 単一で統一された枠組み が得られます。

BTE の完全な形では、衝突（散乱）項は複雑で材料依存です。 実用的なデバイスモデリングでは、 散乱が特徴時間 \(\tau\) で 分布を局所準平衡形 \(f^0\) へと駆動すると仮定する 緩和時間近似（RTA）を用いるのが一般的です。 この近似は、運動量およびエネルギー緩和の本質的物理を保ちつつ、 方程式を扱いやすくします。

この近似のもとで、半古典的 Boltzmann 輸送方程式は次のように書けます

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

左辺の 3 つの項には明確な物理的意味があります： 第 1 項は分布の明示的な時間発展を記述し、 第 2 項はキャリア速度 \(\mathbf{v}\) による実空間内の輸送を記述し、 第 3 項は印加された力 \(\mathbf{F}\)（例えば電場中では \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\)）による 運動量空間内での加速を記述します。 右辺は散乱を表し、系を \(f^0\) へと緩和させます。

drift–diffusion 理論はこの方程式を直接解こうとはしません。 代わりに、BTE の モーメント、 すなわち運動量空間にわたる積分を取ることで、 キャリア密度、電流密度、エネルギー密度といった 物理的に意味のある量の発展方程式を得ます。 以下の節では、この手続きがどのように自然に馴染みのある drift–diffusion 方程式、 そして次のレベルとしてエネルギーバランス（ホットキャリア）モデルへ導くかを示します。

3. Boltzmann 輸送方程式のモーメントを取る

Boltzmann 輸送方程式は、 分布関数 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) によってキャリアダイナミクスを記述します。 これは電子状態の占有を 位置、運動量、および 時間 の関数として与えるものです。 平衡ではこの分布はよく知られた Fermi–Dirac 分布に帰着し、 バイアス下では電場、バンド端の変化、 および散乱過程に応答して発展します。デバイススケールで有用な方程式を得るために、 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) を直接解こうとはしません。代わりに、 Boltzmann 方程式全体のモーメント を取ることによって、 巨視的量 の発展方程式を導出し、 微視的なキャリア統計を drift–diffusion、エネルギー輸送、および関連モデルへ 系統的に結びつけます。

形式的には、モーメント方程式は BTE の 全体 に重み \(A(\mathbf{k})\) を掛けて、全運動量空間にわたって積分することで得られます：

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

重み関数 \(A(\mathbf{k})\) の各選び方は バランス方程式 を生成します。すなわち、巨視的量がどのように駆動され、 どのように緩和するかを表す発展方程式です。 \(A=1\) と置くと 粒子バランス方程式 が得られ、 そこから馴染みのある電子および正孔の連続の式が導かれます。 \(A=\hbar\mathbf{k}\)（あるいは等価に \(m^\ast\mathbf{v}\)）で一次モーメントを取ると、 キャリア運動量が力と散乱にどう応答するかを記述する 運動量バランス方程式 が得られます。 標準的な drift–diffusion 電流は、この方程式の過減衰極限、 すなわち運動量が急速に緩和し慣性項が無視される極限を取ることで回収されます。 さらに次のモーメントとして \(A=W(\mathbf{k})\) を取ると、 エネルギーバランス方程式 が得られ、 キャリアエネルギーの輸送と緩和を記述し、 ホットキャリア、熱駆動、および電気的熱生成をモデル化するために必要な最小拡張を与えます。 このようにして、連続の式、drift–diffusion、およびエネルギー輸送モデルは、 単一の自己無撞着な枠組みの中で逐次的な近似レベルとして現れます。

標準的な drift–diffusion は粒子バランス方程式と、 運動量バランス方程式から得られる電流の簡略化された構成関係のみを保持します。 その際、キャリアエネルギーは 保存しません。

4. 零次モーメント：粒子バランス（連続の式）

Boltzmann 輸送方程式の最初かつ最も重要なモーメントは、 重み関数を 1、すなわち \(A(\mathbf{k}) = 1\) と置くことで得られます。 これはキャリアを数えることに対応します。Boltzmann 方程式全体を全運動量にわたって積分すると、 空間中の各点における総キャリア密度に対するバランス則が得られます。 このため零次モーメントは 粒子バランス（または 粒子連続）方程式と呼ばれます。

4.1 導出（零次モーメント／粒子バランス）

緩和時間形式の Boltzmann 方程式から始めます：

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

これに \(A(\mathbf{k})=1\) を掛けて、全 \(\mathbf{k}\) にわたって積分します：

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

第 1 項はキャリア密度 \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k \] を定義するので、 \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \]

第 2 項は実空間における発散になります：

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

ここで平均キャリア速度は \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \]

第 3 項（力項）は、分布が \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\) で急速に減衰するという標準的仮定の下で消失します。 したがって対応する \(\mathbf{k}\)-空間表面積分はゼロです：

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

項をまとめると、零次モーメント方程式は

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

右辺は、drift–diffusion レベルで見たときに自由キャリアを生成または除去する過程、 すなわち生成、再結合、そして（トラップを持つ材料では）トラップ状態との交換を表します。 したがって、これを簡潔に \(G - R\) と書きます （トラップ捕獲／放出は有効な \(R\) 項に含めるか、 あるいはトラッピングモデルで明示的に記述します）。

4.2 drift–diffusion 形式での連続の式

電子電流密度 \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] を導入すると、粒子バランス方程式は馴染みのある電子連続の式になります：

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

対応する正孔連続の式は

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. 一次モーメント：運動量バランス → drift–diffusion 電流

drift–diffusion 電流方程式は、 Boltzmann 輸送方程式の 一次モーメント から得られます。 このモーメントは 運動量バランス に対応しており、 キャリア運動量が電場やバンド端勾配のような力によってどのように駆動され、 散乱によってどのように減衰するかを記述します。 完全な運動量バランス方程式を解く代わりに、標準 drift–diffusion は 運動量やエネルギーの明示的発展方程式を保持せず、 キャリア速度を局所的な駆動力の関数として直接表すことで得られます。 この近似は、高次の運動量輸送およびエネルギー輸送効果が不要な場合に適切です。

5.1 BTE の一次モーメントから drift–diffusion 電流へ

まず、Boltzmann 輸送方程式を 運動量緩和時間 \(\tau_p\) を用いた緩和時間近似の形で書きます：

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

運動量バランスを得るために、この方程式全体に 運動量に相当する重み \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) （放物線バンドでは等価に \(\hbar\mathbf{k}\)） を掛け、運動量空間にわたって積分します：

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 速度モーメント、電流、および圧力の同定

一次モーメント積分により、デバイススケールの輸送方程式に現れる量が導入されます。 まず、キャリア密度と平均キャリア速度を次のように定義します

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

上で定義した速度 \(\mathbf{u}\) は 平均（または平均化された）キャリア速度 です。 これは、空間中のある点におけるキャリア集団の正味の drift を表します。 個々のキャリアは通常 \(\mathbf{u}\) よりはるかに速く動き、 この遅い集団的 drift の上にランダムな熱運動を重ねています。 したがって平均速度は、典型的なキャリア速度そのものではなく、 すべての微視的運動を平均化した後に残る小さな残差速度です。

この違いは極めて重要です。 ランダムな熱運動は平均するとゼロになるため電流に寄与しませんが、 平均 drift 速度 \(\mathbf{u}\) は、 電場、濃度勾配、および温度勾配によって生じるキャリア運動の不均衡を捉えます。 巨視的電流密度を決定するのはこの平均速度です。

これらの定義を用いると、粒子フラックスは \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) となり、 電子電流密度は

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

これらの定義を一次モーメント方程式へ代入すると、 運動量空間積分は \(n\)、\(\mathbf{u}\)、および高次の速度モーメントだけで完全に書き直せるようになります。 特に衝突項は、 参照分布 \(f^0\) が 平均 drift 速度ゼロ の局所平衡状態を表すため、 次のように簡単になります

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

その結果、衝突項は平均速度 \(\mathbf{u}\) に比例する 運動量緩和項のみを与えます。

一次モーメント方程式の残りの空間輸送項には \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\) の形の積分が含まれます。これは空間を通る運動量フラックスを表します。 この項の物理的意味を明確にするため、 キャリア速度を平均部分と揺らぎに分解します：

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

この分解を二次速度モーメントに代入し、 \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\) を用いると、運動量フラックスは対流寄与と揺らぎ項に分かれます。 揺らぎ寄与はキャリアの 圧力（または応力）テンソル と同定されます：

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

物理的には、\(\mathbf{P}\) は平均 drift 速度のまわりの速度揺らぎに起因する 運動量輸送を表します。 その発散は、縮約された輸送方程式において diffusion および熱駆動項を生み出します。

すべての寄与をまとめると、一次モーメント方程式は 次のように書けます

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

この方程式は、 Boltzmann 輸送方程式の一次モーメントから直接得られる 一般的な運動量バランス です。 まだ drift–diffusion の仮定は導入されておらず、 それらは次の段階、すなわち運動量バランスを局所的な力バランスへ還元する段階で導入されます。

5.3 運動量バランスを力バランスへ還元する

drift–diffusion モデリングでは、運動量そのものの時間発展や 空間輸送を明示的に解像することには関心がありません。 代わりに、キャリア運動量が印加された力に局所的に適応すると仮定し、 過渡的または非局所的な運動量輸送効果を無視できるとします。 この仮定のもとで、運動量バランスは 明示的な運動量輸送項および慣性項を落としつつ、 力項と緩和項を保持することで簡略化されます。

この近似により、運動量バランスは 次のように縮約されます

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

この形で書かれた式は局所的な力バランスとして読むべきです： キャリア運動を駆動する力は、散乱による運動量損失によって釣り合わされます。

残っている \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) の項は、 ランダムなキャリア運動によって運動量がどのように再分配されるかを表します。 テンソル \(\mathbf{P}\) 自体は速度成分間の相関を符号化しており、 一般には異方的な運動量輸送を許します。多くの半導体デバイスでは、 キャリア分布は速度空間でほぼ等方的です。 この場合、速度揺らぎに優先方向はなく、 圧力テンソルは単位テンソルにスカラー圧力を掛けた形へ縮約します：

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

物理的には、これはランダムな熱運動が すべての方向に等しく寄与することを意味します。 この形を運動量バランスへ代入すると、 圧力テンソルの発散はスカラー圧力の勾配へと簡単化されます：

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

この項が drift–diffusion 方程式における diffusion および熱駆動の起源です。 次節では、この力バランス方程式を平均キャリア速度 \(\mathbf{u}\) について解き、 そこから直接 drift–diffusion 電流を導きます。

5.4 力バランスから drift–diffusion 電流へ

ここで前節で導いた縮約局所運動量バランスへ戻ります。 電子に対しては、駆動力を 伝導帯端 \(E_c(\mathbf{r})\) によって表現するのが便利です。 これは静電ポテンシャルと材料オフセットの両方を含んでいます。 したがって電子に働く力を 次のように書きます

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

ここで \(E_c(\mathbf{r})\) は（基準まで含めて） \(E_c = \chi - q\phi\) と書けるので、 電子親和力または静電ポテンシャルの空間変化は、 自然にキャリア駆動へ寄与します。 これを縮約運動量バランスへ代入すると

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

この方程式は、バンド端駆動、 圧力駆動輸送、および散乱による運動量損失の間の局所バランスを表しています。 平均キャリア速度について解くと、

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

電子電流密度の定義 \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\) を用いると、

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

移動度 \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\) を導入すると、 これは

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

この時点で、電流は圧力勾配 \(\nabla p\) を用いて表されており、 キャリア統計についてはまだ何の仮定も置かれていません。 次へ進むために、圧力と密度を基礎となる 分布関数のモーメントとして表します。

キャリア密度と圧力は次のように書けます

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

ここで \(g(E)\) は状態密度、\(f(E)\) は Fermi–Dirac 分布です。 放物線バンドでは、これらの積分は標準的な Fermi–Dirac 積分へと簡約され、

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

ここで縮約化学ポテンシャルは \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\)、 \(F_j(\eta)\) は次数 \(j\) の完全 Fermi–Dirac 積分です。

圧力の勾配を取ると、

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

これを電流式に代入すると、 diffusion と熱駆動は 一般化 Einstein 関係

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \]

によって支配されることが分かります。 この式は放物線バンドに対して厳密であり、 非縮退から強縮退領域まで有効です。 非縮退極限（\(\eta \ll -1\)）では、 \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\) となり、 一般化 Einstein 関係は馴染みのある形

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q} \]

へと還元されます。

第 1 項は、伝導帯端の空間変化、 すなわち静電場とヘテロ接合バンドオフセットの両方によって駆動される drift を表します。 第 2 項、すなわち圧力勾配を含む項は、 diffusion と熱駆動の起源です。

非縮退の場合、キャリア圧力は \(p = n k_B T\) なので、

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

これを電流へ代入すると

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

非縮退キャリアに対する Einstein 関係 \(D_n = \mu_n k_B T / q\) を用いると、電流は明示的な熱駆動を含む馴染みのある drift–diffusion 形式で書けます：

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \]

ヘテロ構造では、有効状態密度 \(N_c(\mathbf{r},T)\) は、 有効質量のようなバンド構造パラメータの変化により空間的に変化し得ます。 自己無撞着な縮約を行うと、 \(\nabla\ln N_c\) に比例する追加の材料駆動項が自然に生じます。

この寄与を含めると、デバイスシミュレータで用いられる drift–diffusion 電流は次のように書けます

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \]

この形で書けば、すべての駆動機構は同じ 運動量バランス枠組みから自然に現れていることが分かります。 静電場、ヘテロ接合バンドオフセット、温度勾配、 および材料パラメータの空間変化は、まったく同じ立場で扱われます。

まったく同様の導出は正孔にも適用されます。 同じ手順を価電子帯端 \(E_v(\mathbf{r})\) と正孔統計に対して繰り返すと、正孔電流密度として

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \]

が得られます。ここで \(N_v(\mathbf{r},T)\) は価電子帯の有効状態密度です。 diffusion 項および熱駆動項の符号が逆になるのは、 正孔が正電荷を持つためです。

• 熱駆動（熱拡散／Seebeck 的項）： キャリア温度の空間変化は局所準平衡分布を変化させ、 電場が存在しなくても \(\nabla T\) に比例する正味のキャリアフラックスを生じさせます。
• 状態密度／有効質量駆動： ヘテロ構造または空間的に変化する材料では、 有効質量のようなバンド構造パラメータの勾配が \(N_c\) および \(N_v\) の勾配を生じさせます。 これらの項は材料界面で本質的であり、キャリア輸送が 基礎となる統計とバンド構造に対して自己無撞着であることを保証します。

7. エネルギー輸送／ホットキャリア拡張

先に導出した drift–diffusion モデルでは、 キャリア輸送は粒子連続の式と、 代数的な電流則へ縮約された運動量バランスによって記述されます。 キャリアエネルギーは格子へ急速に緩和すると仮定されるため、 それに対する明示的方程式は解かれません。

この仮定を緩めると、Boltzmann モーメント階層における次の方程式、 すなわち エネルギーバランス方程式 を保持しなければなりません。 この方程式は、キャリアが電場やバンド端勾配からどのようにエネルギーを得て、 そのエネルギーをデバイス内で輸送し、 そして格子へ失うかを支配します。

7.1 Boltzmann 方程式の二次モーメント

エネルギーバランスは、Boltzmann 輸送方程式に 単粒子エネルギー \(W(\mathbf{k})\) を掛け、 運動量空間にわたって積分することで得られます。 電子に対して、状態のエネルギーは 次のように書かれます

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

ここで \(E_c(\mathbf{r})\) は伝導帯端、 \(\varepsilon(\mathbf{k})\) はバンド端に対する運動エネルギーです （放物線バンドでは \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)）。

粒子あたり平均キャリアエネルギーを

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k \]

と定義すると、 対応するエネルギー密度は \(n\bar W\) です。 この量は、粒子数に対して \(n\) が果たすのと同じ役割を エネルギーに対して果たします。

7.2 エネルギーフラックスと drift–diffusion 電流との関係

二次モーメントの空間輸送項には \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) の形の積分が含まれ、 これにより エネルギーフラックス の定義が動機づけられます

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

この量は、粒子フラックス \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\)、 ひいては電流密度 \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\) に直接対応します。 したがって、エネルギー輸送は自然にキャリア輸送と結合しています。

7.3 電場およびバンド端勾配による仕事

Boltzmann 方程式中の力項は、 二次モーメントにおいて明確な寄与を生じます。 運動量空間での部分積分と 恒等式 \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\) を用いると、 次が得られます

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

電子に働く力を \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\) と書けば、この項は

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

となります。これはキャリア集団に対してなされる電気的仕事です。 特別な場合として \(E_c=-q\phi\) であれば、 これは馴染みのある Joule 発熱項 \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\) に還元されます。

7.4 エネルギーバランス方程式と drift–diffusion との接続

すべての寄与をまとめると、二次モーメント方程式は 次のように書けます

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

この方程式は電流密度 \(\mathbf{J}_n\) を通じて drift–diffusion モデルと直接結合しています。 追加の場当たり的な発熱項は必要ありません。 電気的な電力散逸は、電流則に現れるのと同じバンド端駆動から自然に現れます。

7.5 標準 drift–diffusion 極限との関係

これが馴染みのある drift–diffusion モデルとどうつながるかを見るために、 非縮退・近平衡の場合を考えます。 平均エネルギーの運動学的寄与は

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e \]

なので、

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

エネルギー緩和が速い定常 drift–diffusion では、 \(T_e \approx T_L\) かつ \(\bar W \approx \bar W_0\) となり、 時間微分 \(\partial_t(n\bar W)\) は消失し、 エネルギー方程式は電気的加熱と格子へのエネルギー損失のバランスへと崩れます。

エネルギーバランス方程式を保持すると、この制限が外れます。 キャリア温度 \(T_e\) は動的変数となり、 先に導出した drift–diffusion 枠組みと完全に両立したまま、 電界加熱、速度オーバーシュート、および非平衡輸送を捉えられるようになります。

すべてをまとめると、drift–diffusion ベースのソルバーに実装される エネルギーバランス方程式 は次の形に書けます：

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

ここで \(T_e\) はキャリア（電子）温度、\(T_L\) は格子温度、 \(\kappa\) はキャリア熱伝導率、\(\tau_W\) はエネルギー緩和時間です。 この方程式は、Poisson 方程式、キャリア連続の式、 および drift–diffusion 電流関係と自己無撞着に解かれます。

8. OghmaNano で解かれる最終的な結合モデル

OghmaNano は偏微分方程式の結合系を解きます。 解かれる方程式の正確な組は、選択された物理モデル （drift–diffusion のみ、あるいは drift–diffusion とエネルギー輸送） に依存します。 以下の表は、方程式とその使用場面をまとめたものです。