漂移–扩散理论：从玻尔兹曼输运到能量平衡

本页给出了用于半导体器件仿真的漂移–扩散方程的第一性原理推导， 从弛豫时间近似下的 玻尔兹曼输运方程出发。 通过对玻尔兹曼方程逐次取矩，我们展示了电子和空穴连续性方程、漂移–扩散电流关系， 以及能量输运（热载流子）方程如何在一个统一、 自洽的框架中出现。 特别强调了异质结、带边驱动、 态密度效应和热输运， 最终得到在 OghmaNano 中实现的可供求解器使用的方程。

1. 介绍

OghmaNano 的电学引擎是一个1D/2D/3D 漂移–扩散框架， 其定义性特征是支持动态（非平衡）陷阱态。 OghmaNano 并不假设陷阱会与自由载流子瞬时达到平衡，而是可以在能量和空间上显式演化陷阱占据， 这对于正确建模无序半导体、瞬态测量（例如 ToF、CELIV）以及稳态工作都是必不可少的。

漂移–扩散有许多合理的推导路径。例如，可以通过矩展开和受控闭合从 玻尔兹曼输运方程导出， 也可以从不可逆热力学（Onsager / 熵产生论证）， 或从将微观跳跃与宏观漂移和扩散联系起来的随机游走 / Fokker–Planck视角导出。 这些方法初看时往往会产生相似的方程， 但当超出最简单的“均匀半导体”情形时，它们并不都同样可靠。

特别是，一旦引入异质结、空间变化的有效态密度、 位置相关的有效质量、带边梯度或非平凡统计时， 再把额外项附加到漂移–扩散电流上并希望结果仍然自洽就不再安全。 当开始包含热驱动或将电输运与热产生耦合时也是如此。 需要的是一个能够自然地产生正确附加项并为扩展提供清晰路径的推导框架， 而不是一组临时拼凑的修正。

出于这个原因，这里的推导从玻尔兹曼输运方程出发。 对 BTE 取矩能够以系统的方式得到连续性方程和作为低惯性极限的漂移–扩散本构关系， 同时也展示了相同框架如何“提升”到下一层级： 能量平衡（能量输运）方程。即使不求解完整的流体动力学模型， 能量框架仍然很有价值，因为它能够识别出自洽的电学热源项， 并阐明何时必须考虑载流子加热。下面的推导构成了 OghmaNano 电学模型的基础。

2. 玻尔兹曼输运方程（RTA）

在器件建模所使用的最基本层面上，电荷输运通过一个 分布函数 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) 来描述。 该函数表示在位置 \(\mathbf{r}\)、 具有晶体动量 \(\hbar\mathbf{k}\)、在时刻 \(t\) 发现一个电荷载流子的概率。 所有宏观电学量——载流子密度、电流密度、能量密度—— 都可以通过对该分布取适当矩得到。

玻尔兹曼输运方程（BTE）是这个分布函数的运动方程。 它是相空间中的守恒律：描述载流子如何在实空间中运动、 其动量如何在外力作用下变化，以及散射过程如何在动量空间中重新分布载流子。 因此，从 BTE 出发提供了一个单一、统一的框架， 可以从中以自洽方式导出漂移–扩散、能量输运以及相关模型。

在其完整形式下，BTE 的碰撞（散射）项是复杂的并且与材料有关。 对于实际器件建模，通常使用 弛豫时间近似（RTA），在该近似中假设散射会在特征时间 \(\tau\) 内 将分布驱动到局部准平衡形式 \(f^0\)。 这种近似保留了动量和能量弛豫的基本物理， 同时使方程保持可处理性。

在这种近似下，半经典玻尔兹曼输运方程可写为

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

左边三项具有清晰的物理意义： 第一项描述分布的显式时间演化， 第二项描述载流子以速度 \(\mathbf{v}\) 在实空间中的输运， 第三项描述由于外力 \(\mathbf{F}\)（例如在电场中的 \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\)）导致的动量空间加速。 右边表示散射，它使系统向 \(f^0\) 弛豫。

漂移–扩散理论并不试图直接求解这个方程。 相反，它通过对 BTE 取矩——即对动量空间积分—— 来获得诸如载流子密度、电流密度和能量密度等物理上有意义量的演化方程。 下文将展示这一过程如何自然地导出熟悉的漂移–扩散方程， 以及在更高层次上导出能量平衡（热载流子）模型。

3. 对玻尔兹曼输运方程取矩

玻尔兹曼输运方程以分布函数 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) 的形式描述载流子动力学， 该函数给出了电子态占据关于 位置、动量和时间的分布。 在平衡时，该分布退化为熟知的费米–狄拉克函数； 在偏压下，它则响应电场、带边变化和散射过程而演化。 为了得到在器件尺度上有用的方程，我们不直接求解 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\)。 相反，我们通过对整个玻尔兹曼方程取矩， 推导出宏观量的演化方程， 从而系统地将微观载流子统计与漂移–扩散、能量输运及相关模型联系起来。

形式上，通过用权函数 \(A(\mathbf{k})\) 乘以完整的 BTE 并对整个动量空间积分， 可以得到一个矩方程：

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

每一种权函数 \(A(\mathbf{k})\) 的选择都会产生一个 平衡方程：一个表达宏观量如何被驱动和弛豫的演化方程。 令 \(A=1\) 得到粒子平衡方程，从中可得到熟悉的 电子和空穴连续性方程。 取一阶矩，即令 \(A=\hbar\mathbf{k}\)（或等价地 \(m^\ast\mathbf{v}\)）， 可得到一个动量平衡方程，它描述载流子动量如何响应外力和散射； 标准漂移–扩散电流则通过取该方程的过阻尼极限得到， 在该极限下动量快速弛豫而惯性项可忽略。 再取下一阶矩，即令 \(A=W(\mathbf{k})\)，则得到能量平衡方程， 它描述载流子能量的输运与弛豫，并提供建模热载流子、热驱动和电学发热所需的最小扩展。 这样，连续性、漂移–扩散和能量输运模型就作为单一自洽框架中的逐级近似自然出现。

标准漂移–扩散只保留粒子平衡方程， 以及由动量平衡方程得到的电流简化本构关系。 这样做时，它并不守恒载流子能量。

4. 零阶矩：粒子平衡（连续性方程）

玻尔兹曼输运方程的第一个也是最重要的矩是通过令权函数为 1， 即 \(A(\mathbf{k}) = 1\) 得到的。这对应于对载流子进行计数： 将完整的玻尔兹曼方程对所有动量积分，就会得到空间中每一点总载流子密度的平衡律。 因此，零阶矩称为粒子平衡（或粒子连续性）方程。

4.1 推导（零阶矩 / 粒子平衡）

从弛豫时间形式的玻尔兹曼方程开始：

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

用 \(A(\mathbf{k})=1\) 相乘并对所有 \(\mathbf{k}\) 积分：

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

第一项定义了载流子密度 \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] 因而 \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \]

第二项变为实空间中的散度：

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

其中平均载流子速度为 \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \]

第三项（力项）在标准假设下消失，即当 \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\) 时 分布迅速衰减，因此相应的 \(\mathbf{k}\)-空间面积分为零：

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

收集各项后，零阶矩方程变为

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

在漂移–扩散层面上，右侧表示那些导致自由载流子产生或消失的过程： 产生、复合，以及（在具有陷阱的材料中）与陷阱态的交换。 因此我们将其紧凑地写成 \(G - R\)（其中陷阱捕获/发射包含在有效 \(R\) 项中， 或在陷阱模型中显式写出）。

4.2 漂移–扩散形式的连续性方程

引入电子电流密度 \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] 后，粒子平衡方程变成熟悉的电子连续性方程：

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

相应的空穴连续性方程为

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. 一阶矩：动量平衡 → 漂移–扩散电流

漂移–扩散电流方程是由玻尔兹曼输运方程的一阶矩 得到的。 这一矩对应于动量平衡，描述载流子动量如何受到电场、 带边梯度等外力驱动，并受到散射削弱。标准漂移–扩散并不求解完整的动量平衡方程， 而是直接将载流子速度表示为局部驱动力的函数， 不再保留动量或能量的显式演化方程。 只要不需要更高阶的动量和能量输运效应， 这种近似就是适用的。

5.1 从 BTE 的一阶矩到漂移–扩散电流

从弛豫时间近似下的玻尔兹曼输运方程开始， 用动量弛豫时间 \(\tau_p\) 表示：

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

为了得到动量平衡，将整个方程乘以动量型权函数 \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\)（对于抛物线能带等价于 \(\hbar\mathbf{k}\)）， 并对动量空间积分：

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 识别速度矩、电流和压力

一阶矩积分引入了器件尺度输运方程中出现的量。 首先定义载流子密度和平均载流子速度为

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

上面定义的速度 \(\mathbf{u}\) 是平均载流子速度。 它表示载流子群体在空间中某一点处的净漂移。 单个载流子的运动速度通常远大于 \(\mathbf{u}\)，因为它们在这种缓慢集体漂移之上 还叠加了随机热运动。 因此，平均速度不是载流子的典型速度，而是在对所有微观运动平均后 剩下的小残余速度。

这种区分至关重要。 随机热运动不会对电流作出贡献，因为它的平均值为零； 而平均漂移速度 \(\mathbf{u}\) 则捕捉了由电场、浓度梯度和温度梯度引起的 载流子运动不平衡。 正是这个平均速度决定了宏观电流密度。

用这些定义，粒子通量为 \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\)， 而电子电流密度为

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

将这些定义代回一阶矩方程后，动量空间积分就可以完全改写为 \(n\)、\(\mathbf{u}\) 和更高阶速度矩的形式。 特别地，碰撞项会简化，因为参考分布 \(f^0\) 表示一个零平均漂移速度的局部平衡态， 因而有

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

因此，碰撞项只贡献一个 与平均速度 \(\mathbf{u}\) 成正比的动量弛豫项。

一阶矩方程中剩余的空间输运项包含如下形式的积分 \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\)， 它表示动量在空间中的通量。 为了明确该项的物理内容，我们将载流子速度分解为平均部分和涨落部分：

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

将该分解代入二阶速度矩，并利用 \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\)， 就可将动量通量分为对流贡献和涨落项。 其中涨落贡献被识别为载流子的 压力（或应力）张量，

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

从物理上说，\(\mathbf{P}\) 表示与平均漂移速度周围速度涨落相关的 动量输运。 它的散度在约化输运方程中会产生扩散项和热驱动项。

收集所有贡献后，一阶矩方程可写为

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

该方程就是直接由玻尔兹曼输运方程一阶矩得到的 一般动量平衡。 此时尚未作出任何漂移–扩散假设；这些假设会在下一步引入， 即把动量平衡约化为局部力平衡。

5.3 将动量平衡约化为力平衡

在漂移–扩散建模中，我们并不关心显式分辨动量本身的时间演化 或空间输运。 相反，我们假设载流子动量会局部地调整以适应外力， 因而任何瞬态或非局域动量输运效应都可以忽略。 在这一假设下，动量平衡通过去掉显式动量输运和惯性项而简化， 但保留力项和弛豫项。

在这种近似下，动量平衡约化为

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

按这种形式写出时，该方程应理解为局部力平衡： 驱动载流子运动的力与由散射导致的动量损失相平衡。

剩余项 \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) 表示随机载流子运动如何重新分布动量。 张量 \(\mathbf{P}\) 本身编码了速度分量之间的相关性， 一般情况下允许各向异性的动量输运。在许多半导体器件中，载流子分布在 速度空间中接近各向同性。 在这种情况下，速度涨落没有优选方向， 压力张量约化为标量压力乘以单位张量：

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

从物理上讲，这意味着随机热运动在所有方向上贡献相同。 当将这一形式代入动量平衡时， 压力张量的散度就简化为标量压力的梯度：

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

该项正是漂移–扩散方程中扩散和热驱动的来源。 在下一节中，将对这个力平衡方程求解平均载流子速度 \(\mathbf{u}\)，从而直接得到漂移–扩散电流。

5.4 从力平衡到漂移–扩散电流

现在回到上一节推导出的约化局部动量平衡。 对于电子，用导带边 \(E_c(\mathbf{r})\) 来表示驱动力更方便， 因为它同时包含静电势和材料偏移。 因此我们将电子所受力写为

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

其中 \(E_c(\mathbf{r})\) 可写为（相对于某个参考） \(E_c = \chi - q\phi\)，因此无论是电子亲和势还是静电势的空间变化 都会自然地对载流子驱动作出贡献。 将其代入约化动量平衡，可得

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

该方程表达了带边驱动、 压力驱动输运以及由散射引起的动量损失之间的局部平衡。 对平均载流子速度求解可得

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

利用电子电流密度定义 \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\)，得到

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

引入迁移率 \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\) 后，可写为

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

到这一步，电流仍然是用压力梯度 \(\nabla p\) 表示的，并且还没有对载流子统计作任何假设。 为了继续推导，我们将压力和密度表示为底层分布函数的矩。

载流子密度和压力可写为

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

其中 \(g(E)\) 是态密度，\(f(E)\) 是费米–狄拉克分布。 对于抛物线能带，这些积分可约化为标准费米–狄拉克积分，

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

其中约化化学势为 \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\)， 而 \(F_j(\eta)\) 是 \(j\) 阶完全费米–狄拉克积分。

对压力取梯度得到

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

将这个表达式代入电流可见，扩散和热驱动受一个广义 Einstein 关系控制，

\[ D_n = frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

该表达式对抛物线能带是精确的，并且从非简并到强简并区域都成立。 在非简并极限（\(\eta \ll -1\)）下， \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)， 广义 Einstein 关系退化为熟悉的形式

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

第一项表示由导带边空间变化驱动的漂移， 包括静电场和异质结带偏移。 第二项涉及压力梯度，是扩散和热驱动的来源。

在非简并情况下，载流子压力为 \(p = n k_B T\)，因而

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

将该式代入电流得到

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

利用非简并载流子的 Einstein 关系 \(D_n = \mu_n k_B T / q\)， 电流可写成熟悉的、包含显式热驱动的漂移–扩散形式：

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{带边漂移}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{扩散}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{热驱动}}. \]

在异质结构中，有效态密度 \(N_c(\mathbf{r},T)\) 可能由于有效质量等能带结构参数的变化而在空间上变化。 自洽约化后会产生一个额外的材料驱动项， 与 \(\nabla\ln N_c\) 成正比。

包含这一贡献后，器件仿真器中使用的漂移–扩散电流可写为

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{带边漂移}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{扩散}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{热驱动}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{态密度 / 有效质量驱动}}. \]

以这种形式写出时，所有驱动机制都自然地来自同一个 动量平衡框架。 静电场、异质结带偏移、温度梯度以及材料参数的空间变化 都以完全相同的方式进入。

对空穴可以进行完全类似的推导。 使用价带边 \(E_v(\mathbf{r})\) 和空穴统计重复同样步骤，可得到空穴电流密度

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{带边漂移}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{扩散}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{热驱动}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{态密度 / 有效质量驱动}}, \]

其中 \(N_v(\mathbf{r},T)\) 是价带的有效态密度。 扩散项和热驱动项符号相反，反映了空穴带正电。

• 热驱动（热扩散 / 类 Seebeck 项）： 载流子温度的空间变化会改变局部准平衡分布， 即使在没有电场时也会产生与 \(\nabla T\) 成正比的净载流子通量。
• 态密度 / 有效质量驱动： 在异质结构或空间变化材料中， 有效质量等能带结构参数的梯度会导致 \(N_c\) 和 \(N_v\) 的梯度。 这些项在材料界面处至关重要，并确保载流子输运 与底层统计和能带结构保持一致。

7. 能量输运 / 热载流子扩展

在前面推导的漂移–扩散模型中，载流子输运由 粒子连续性和一个被约化为代数电流定律的动量平衡来描述。 假设载流子能量会迅速弛豫到晶格， 因而不显式求解其能量方程。

当这一假设放宽时，就必须保留玻尔兹曼矩层级中的下一条方程： 能量平衡方程。 该方程支配载流子如何从电场和带边梯度中获得能量， 如何将该能量输运穿过器件， 以及如何把能量损失给晶格。

7.1 玻尔兹曼方程的二阶矩

能量平衡通过将玻尔兹曼输运方程乘以 单粒子能量 \(W(\mathbf{k})\) 并对动量空间积分得到。 对电子而言，态能量写为

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

其中 \(E_c(\mathbf{r})\) 是导带边， \(\varepsilon(\mathbf{k})\) 是相对带边的动能 （对于抛物线能带，\(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)）。

定义每个粒子的平均载流子能量为

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

对应的能量密度就是 \(n\bar W\)。 该量在能量上的作用与 \(n\) 在粒子数上的作用相同。

7.2 能量流及其与漂移–扩散电流的关系

二阶矩中的空间输运项包含如下形式的积分 \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\)， 这促使我们定义 能量流

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

该量与粒子通量 \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) 直接对应， 因而也与电流密度 \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\) 直接对应。 因此能量输运自然地与载流子输运耦合。

7.3 电场和带边梯度所做的功

玻尔兹曼方程中的力项在二阶矩中产生一个独特贡献。 通过在动量空间中分部积分并利用恒等式 \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\)，可得

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

将电子所受力写为 \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\)，该项变为

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

这就是作用在载流子群体上的电功。 在 \(E_c=-q\phi\) 的特殊情形下，它退化成熟悉的焦耳热项 \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\)。

7.4 能量平衡方程及其与漂移–扩散的联系

收集所有贡献后，二阶矩方程可写为

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

该方程通过电流密度 \(\mathbf{J}_n\) 直接与漂移–扩散模型耦合。 不需要额外的临时发热项：电功率耗散会从出现在电流定律中的同一带边驱动中 自然产生。

7.5 与标准漂移–扩散极限的关系

为了看清它与熟悉的漂移–扩散模型之间的联系， 考虑非简并、近平衡情形。 平均能量中的动能部分为

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

因而

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

在具有快速能量弛豫的稳态漂移–扩散中， \(T_e \approx T_L\) 且 \(\bar W \approx \bar W_0\)， 时间导数 \(\partial_t(n\bar W)\) 消失，能量方程退化为 电学加热与向晶格能量损失之间的平衡。

保留能量平衡方程则解除这一限制。 载流子温度 \(T_e\) 成为一个动态变量，从而允许模型捕捉 场致加热、速度超冲和非平衡输运， 同时仍与前面推导的漂移–扩散框架完全兼容。

综合起来，在基于漂移–扩散的求解器中实现的能量平衡方程 可写为如下形式：

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

这里 \(T_e\) 是载流子（电子）温度，\(T_L\) 是晶格温度， \(\kappa\) 是载流子热导率，\(\tau_W\) 是能量弛豫时间。 该方程与泊松方程、载流子连续性方程以及漂移–扩散电流关系 一起自洽求解。

8. OghmaNano 中求解的最终耦合模型

OghmaNano 求解一组耦合偏微分方程。 具体方程组取决于所选物理模型 （仅漂移–扩散，或带能量输运的漂移–扩散）。 下表总结了这些方程及其使用条件。