Drift-Diffusions-Gleichungen für den Ladungstransport in Halbleitern

2. Ladungsträgertransport

Die Drift-Diffusions-Gleichungen beschreiben den Ladungstransport in Halbleitern, indem sie die Drift unter dem Einfluss elektrischer Felder mit der Diffusion, die durch Gradienten der Ladungsträgerkonzentrationen angetrieben wird, kombinieren. Diese Gleichungen definieren die Stromdichten von Elektronen und Löchern und bilden zusammen mit den Kontinuitätsgleichungen die Grundlage für die Modellierung von Halbleiterbauelementen. Eine detaillierte Ableitung auf der Basis erster Prinzipien aus der Boltzmann-Transportgleichung ist in Drift-Diffusions-Theorie: Von der Boltzmann-Transportgleichung zur Energiebilanz enthalten.

Für Elektronen wird die Stromdichte wie folgt definiert:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

und für Löcher:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

Hierbei ist \(q\) die Elementarladung, \(n_f\) und \(p_f\) die Konzentrationen an freien Elektronen bzw. Löchern, \(\mu_e\) und \(\mu_h\) die Beweglichkeiten der Ladungsträger und \(D_n\) und \(D_p\) die Diffusionskoeffizienten. Die Größen \(E_c\) und \(E_v\) bezeichnen die lokalen Energieniveaus am Rand des Leitungs- bzw. Valenzbandes. Die Darstellung des Stroms in Form von Gradienten am Bandrand anstelle des elektrischen Feldes stellt sicher, dass Heteroübergänge und Materialversätze korrekt berücksichtigt werden; Einzelheiten finden Sie in Abschnitt 5 der Arbeit Ableitung der Drift-Diffusions-Gleichung.

Der letzte Term in jeder Gleichung stellt die thermische Drift (Thermodiffusion) dar, die auf natürliche Weise entsteht, wenn das Impulsgleichgewicht auf konsistente Weise reduziert wird. Dieser Term wird in vereinfachten Modellen oft weggelassen, wird aber in Bauelementen mit starken Temperaturgradienten oder Trägererwärmung wichtig. Seine Entstehung wird in der Erweiterung zum Thema Energietransport erläutert.

Die Ladungserhaltung wird durch die Kontinuitätsgleichungen für die Ladungsträger sichergestellt. Für Elektronen:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

und für Löcher:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

Diese Kontinuitätsgleichungen werden durch die Berechnung des Moments nullter Ordnung der Boltzmann-Transportgleichung erhalten, wie in Abschnitt 4 der Ableitung explizit dargestellt. Die Terme \(R\) und \(G\) stehen für Rekombination bzw. Erzeugung, während die zeitlichen Ableitungen die vorübergehende Ladungsspeicherung und -freisetzung beschreiben.

Zusammen bilden die Drift-Diffusions-Stromgleichungen und die Kontinuitätsgleichungen das Kernstück der Modellierung von Halbleiterbauelementen. Innerhalb von OghmaNano können diese Gleichungen selbstkonsistent mit der Poisson-Gleichung in 1D, 2D oder in vollem 3D gelöst und bei Bedarf erweitert werden, um Energietransport (Effekte heißer Ladungsträger) und die Dynamik von Nichtgleichgewichtszuständen in den Fallen zu berücksichtigen.