Herleitung der Drift-Diffusions-Gleichungen aus der Boltzmann-Transportgleichung

Diese Seite stellt eine Ableitung der Drift-Diffusions-Gleichungen auf der Grundlage erster Prinzipien dar, die in der Simulation von Halbleiterbauelementen verwendet werden. Ausgangspunkt ist die Boltzmann-Transportgleichung in der Relaxationszeit-Approximation. Durch die sukzessive Berechnung von Momenten der Boltzmann-Gleichung zeigen wir, wie die Kontinuitätsgleichungen für Elektronen und Löcher, die Drift-Diffusions-Strombeziehungen und die Gleichungen für den Energietransport (für heiße Ladungsträger) in einem einzigen, selbstkonsistenten Rahmen entstehen. Besonderer Wert wird auf Heteroübergänge, die Ansteuerung am Bandrand, die Auswirkungen der Zustandsdichte und den Wärmetransport gelegt, was zu den in OghmaNano implementierten, solverbereiten Gleichungen führt.

1. Einleitung

Der elektrische Motor von OghmaNano basiert auf einem 1D-/2D-/3D-Drift-Diffusions-Framework, dessen wichtigste Eigenschaft die Unterstützung für dynamische (nicht im Gleichgewicht befindliche) Fallen-Zustände ist. Anstatt davon auszugehen, dass sich Fallen sofort mit den freien Ladungsträgern im Gleichgewicht befinden, kann OghmaNano die Besetzung der Fallen explizit sowohl in Bezug auf die Energie als auch auf den Raum entwickeln, was für die korrekte Modellierung von ungeordneten Halbleitern und transienten Messungen (z. B. ToF, CELIV) sowie für den stationären Betrieb unerlässlich ist.

Es gibt viele verschiedene, aber dennoch sinnvolle Ansätze zur Beschreibung von Drift-Diffusions-Prozessen. So kann man sie beispielsweise aus der Boltzmann-Transportgleichung mithilfe von Momententwicklungen und kontrollierten Approximationen ableiten, aus der irreversiblen Thermodynamik (basierend auf den Überlegungen von Onsager oder der Entropieproduktion) oder aus einer Betrachtungsweise, die auf einem Zufallswanderungs-/Fokker-Planck-Modell basiert und den Zusammenhang zwischen mikroskopischem Hüpfen und makroskopischer Drift und Diffusion herstellt. Diese Ansätze führen oft zu Gleichungen, die auf den ersten Blick ähnlich erscheinen, aber sie sind nicht alle gleichermaßen zuverlässig, wenn man über den einfachsten Fall eines „homogenen Halbleiters“ hinausgeht.

Insbesondere, sobald Sie Heteroübergänge, räumlich veränderliche effektive Zustandsdichten, positionsabhängige effektive Massen, Bandkantengradienten oder nicht-triviale statistische Modelle einführen, ist es nicht mehr ratsam, einfach zusätzliche Terme zu einem Drift-Diffusions-Strom hinzuzufügen und zu hoffen, dass das Ergebnis weiterhin konsistent bleibt. Dasselbe gilt, wenn Sie beginnen, thermische Effekte zu berücksichtigen oder den elektrischen Transport mit der Wärmeerzeugung zu koppeln. Was Sie benötigen, ist ein Ableitungsrahmen, der auf natürliche Weise die korrekten zusätzlichen Terme generiert und einen klaren Weg für Erweiterungen bietet, anstatt eine Sammlung von ad-hoc-Modifikationen.

Aus diesem Grund beginnt die hier dargestellte Ableitung mit der Boltzmann-Transportgleichung. Durch die Berechnung von Momenten der BTE erhält man auf systematische Weise die Kontinuitätsgleichungen und die konstitutiven Drift-Diffusions-Beziehungen als eine Näherung für den Fall geringer Trägheit. Außerdem wird gezeigt, wie sich dieses Modell auf die nächste Stufe erweitert: die Energiebilanzgleichungen (Energie-Transportgleichungen). Selbst wenn man das vollständige hydrodynamische Modell nicht löst, ist das Energiemodell von Wert, da es konsistente elektrische Wärmequellterme identifiziert und aufzeigt, wann die Erwärmung der Ladungsträger berücksichtigt werden muss. Die folgende Ableitung bildet die Grundlage für das elektrische Modell von OghmaNano.

2. Boltzmann-Transportgleichung (RTA)

Auf der grundlegendsten Ebene, die in der Modellierung von Bauelementen verwendet wird, wird der Ladungstransport mithilfe einer Verteilungsfunktion \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) beschrieben. Diese Funktion stellt die Wahrscheinlichkeit dar, einen Ladungsträger an der Position \(\mathbf{r}\) mit dem Kristallimpuls \(\hbar\mathbf{k}\) zur Zeit \(t\) zu finden. Alle makroskopischen elektrischen Größen – Ladungsträgerdichte, Stromdichte, Energiedichte – können durch die Berechnung geeigneter Momente dieser Verteilung ermittelt werden.

Die Boltzmann-Transportgleichung (BTE) ist die Bewegungsgleichung für diese Verteilungsfunktion. Sie stellt ein Erhaltungsgesetz im Phasenraum dar: Sie beschreibt, wie sich Ladungsträger im realen Raum bewegen, wie sich ihr Impuls unter dem Einfluss angelegter Kräfte ändert und wie Streuprozesse die Ladungsträger im Impulsraum neu verteilen. Ausgehend von der BTE lässt sich daher ein einheitliches Rahmenwerk schaffen, von dem aus Drift-Diffusions-, Energietransport- und verwandte Modelle auf konsistente Weise abgeleitet werden können.

In seiner vollständigen Form ist der Stoß- (oder Streu-)Term der Boltzmann-Transportgleichung komplex und materialspezifisch. Für die praktische Modellierung von Bauelementen wird üblicherweise die Relaxationszeit-Approximation (RTA) verwendet, bei der davon ausgegangen wird, dass die Streuung die Verteilung über eine charakteristische Zeit \(\tau\) in eine lokale Quasi-Gleichgewichtsform \(f^0\) treibt. Diese Approximation bewahrt die wesentlichen physikalischen Aspekte der Impuls- und Energieentspannung und ermöglicht gleichzeitig die Handhabung der Gleichungen.

Mit dieser Näherung lässt sich die semiklassische Boltzmann-Transportgleichung wie folgt formulieren:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Die drei Terme auf der linken Seite haben eine klare physikalische Bedeutung: Der erste beschreibt die explizite zeitliche Entwicklung der Verteilung, der zweite beschreibt den Transport durch den realen Raum mit der Trägergeschwindigkeit \(\mathbf{v}\), und der dritte beschreibt die Beschleunigung im Impulsraum aufgrund einer angelegten Kraft \(\mathbf{F}\) (zum Beispiel \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) in einem elektrischen Feld). Die rechte Seite stellt die Streuung dar, die das System in Richtung \(f^0\) entspannt.

Die Drift-Diffusions-Theorie versucht nicht, diese Gleichung direkt zu lösen. Stattdessen wird vorgegangen, indem Momente der Boltzmann-Transportgleichung – also Integrale über den Impulsraum – berechnet werden, um Evolutionsgleichungen für physikalisch relevante Größen wie Trägerdichte, Stromdichte und Energiedichte zu erhalten. Die folgenden Abschnitte zeigen, wie dieses Verfahren auf natürliche Weise zu den bekannten Drift-Diffusions-Gleichungen und auf der nächsten Ebene zu Energiebilanzmodellen (Modellen für „heiße“ Träger) führt.

3. Berechnung von Momenten der Boltzmann-Transportgleichung

Die Boltzmann-Transportgleichung beschreibt die Dynamik von Ladungsträgern anhand einer Verteilungsfunktion \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), die die Besetzung elektronischer Zustände in Abhängigkeit von der Position, dem Impuls und der Zeit angibt. Im Gleichgewicht reduziert sich diese Verteilung auf die bekannte Fermi-Dirac-Funktion, während sie unter dem Einfluss einer angelegten Spannung als Reaktion auf elektrische Felder, Variationen am Bandrand und Streuprozesse verändert wird. Um Gleichungen zu erhalten, die auf der Ebene von Bauelementen nützlich sind, versuchen wir nicht, \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) direkt zu lösen. Stattdessen leiten wir Entwicklungsgleichungen für makroskopische Größen ab, indem wir Momente der gesamten Boltzmann-Gleichung berechnen und so die mikroskopische Ladungsträgerstatistik systematisch mit Drift-Diffusions-, Energietransport- und verwandten Modellen in Beziehung setzen.

Formal ausgedrückt ergibt sich eine Momentengleichung, indem man die vollständige Boltzmann-Transportgleichung mit einem Gewichtungsfaktor \(A(\mathbf{k})\) multipliziert und über den gesamten Impulsraum integriert:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Jede Wahl der Gewichtungsfunktion \(A(\mathbf{k})\) erzeugt eine Bilanzgleichung: eine Evolutionsgleichung, die beschreibt, wie eine makroskopische Größe angetrieben und entspannt wird. Die Wahl von \(A=1\) führt zur Teilchenbilanzgleichung, aus der die bekannten Kontinuitätsgleichungen für Elektronen und Löcher abgeleitet werden können. Die Berechnung des ersten Moments mit \(A=\hbar\mathbf{k}\) (oder äquivalent \(m^\ast\mathbf{v}\)) ergibt eine Impulsbilanzgleichung, die beschreibt, wie der Impuls der Ladungsträger auf Kräfte und Streuung reagiert; der Standard-Drift-Diffusions-Strom wird durch die Berechnung des überdämpften Grenzwerts dieser Gleichung erhalten, wobei der Impuls schnell abklingt und Trägheitsterme vernachlässigt werden. Die Berechnung des nächsten Moments mit \(A=W(\mathbf{k})\) ergibt eine Energiebilanzgleichung, die den Transport und die Relaxation der Energie der Ladungsträger beschreibt und die minimale Erweiterung liefert, die zur Modellierung von heißen Ladungsträgern, thermischer Anregung und elektrischer Wärmeerzeugung erforderlich ist. Auf diese Weise entstehen Kontinuitäts-, Drift-Diffusions- und Energietransportmodelle als aufeinanderfolgende Approximationsstufen innerhalb eines einzigen, selbstkonsistenten Rahmens.

Das Standard-Drift-Diffusions-Modell berücksichtigt lediglich die Gleichung für den Erhalt der Teilchenanzahl und eine vereinfachte konstitutive Beziehung für den Strom, die aus der Gleichung für den Erhalt des Impulses abgeleitet wird. Dabei wird die Energie der Ladungsträger nicht erhalten.

4. Nulltes Moment: Partikelbilanz (Kontinuitätsgleichung)

Das erste und wichtigste Moment der Boltzmann-Transportgleichung erhält man, indem man die Gewichtungsfunktion auf Eins setzt \(A(\mathbf{k}) = 1\). Dies entspricht der Zählung der Ladungsträger: Die Integration der vollständigen Boltzmann-Gleichung über alle Impulse ergibt eine Erhaltungsgröße für die gesamte Ladungsträgerdichte an jedem Punkt im Raum. Aus diesem Grund wird das Nullte Moment als Partikel-Erhaltungsgleichung (oder Partikel-Kontinuitätsgleichung) bezeichnet.

4.1 Ableitung (nulltes Moment / Partikelbilanz)

Beginnen Sie mit der Relaxationszeitform der Boltzmann-Gleichung:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Multiplizieren Sie mit \(A(\mathbf{k})=1\) und integrieren Sie über alle \(\mathbf{k}\):

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Der erste Term definiert die Trägerdichte \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \], sodass \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \] gilt.

Der zweite Term wird zu einer Divergenz im realen Raum:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

wobei die durchschnittliche Trägergeschwindigkeit \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \] beträgt.

Der dritte Term (Kraftterm) verschwindet unter den üblichen Annahmen, dass die Verteilung mit zunehmender Entfernung von \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\) schnell abnimmt, sodass das entsprechende Flächenintegral über den \(\mathbf{k}\)-Raum Null ist:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

Wenn man die Terme zusammenfasst, ergibt sich die Gleichung für den Nullten Moment:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Die rechte Seite stellt Prozesse dar, die bei Betrachtung auf der Ebene der Drift- und Diffusionsgleichungen freie Ladungsträger erzeugen oder vernichten: Erzeugung, Rekombination und (in Materialien mit Fallen) den Austausch mit den Fallen-Zuständen. Wir schreiben dies daher kurz als \(G - R\) (wobei die Fallen-Einfang-/Emissions-Prozesse entweder in dem effektiven \(R\)-Term enthalten oder explizit im Fallenmodell angegeben sind).

4.2 Kontinuitätsgleichung in der Drift-Diffusions-Form

Wenn wir die Elektronstromdichte \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] einführen, wird die Teilchenbilanzgleichung zur bekannten Elektronenkontinuitätsgleichung:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

Die entsprechende Gleichung für die Durchgängigkeit der Bohrung lautet:

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. Erster Moment: Impulserhaltung → Drift-Diffusionsstrom

Die Drift-Diffusions-Stromgleichungen werden aus dem ersten Moment der Boltzmann-Transportgleichung abgeleitet. Dieses Moment entspricht einer Impulserhaltungsgleichung, die beschreibt, wie der Impuls der Ladungsträger durch Kräfte wie elektrische Felder und Gradienten am Bandrand angetrieben und durch Streuung reduziert wird. Anstatt die vollständige Impulserhaltungsgleichung zu lösen, wird die Standard-Drift-Diffusions-Methode durch die direkte Darstellung der Ladungsträgergeschwindigkeit in Bezug auf lokale Antriebskräfte erhalten, ohne eine explizite Entwicklungsgleichung für den Impuls oder die Energie beizubehalten. Diese Näherung ist dann angemessen, wenn höhere Ordnungseffekte beim Impuls- und Energietransport nicht berücksichtigt werden müssen.

5.1 Vom ersten Moment der BTE-Simulation bis zur Drift-Diffusions-Stromberechnung

Wir gehen von der Boltzmann-Transportgleichung in der Relaxationszeitnäherung aus, die mit einer Impulsrelaxationszeit \(\tau_p\) formuliert ist:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Um die Impulsgleichung zu erhalten, multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit dem Impuls-ähnlichen Gewicht \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (oder äquivalent mit \(\hbar\mathbf{k}\) für ein parabolisches Band) und integrieren Sie über den Impulsraum:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Bestimmung des Geschwindigkeitsmoments, des Stroms und des Drucks

Die Integrale erster Ordnung führen die Größen ein, die in den Transportgleichungen für Bauelemente verwendet werden. Wir beginnen mit der Definition der Trägerdichte und der mittleren Trägergeschwindigkeit als

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Die oben definierte Geschwindigkeit \(\mathbf{u}\) ist die mittlere (oder durchschnittliche) Trägergeschwindigkeit. Sie stellt die resultierende Drift der Trägerpopulation an einem bestimmten Punkt im Raum dar. Einzelne Träger bewegen sich in der Regel viel schneller als \(\mathbf{u}\) und führen dabei eine zufällige thermische Bewegung aus, die sich mit dieser langsamen kollektiven Drift überlagert. Die mittlere Geschwindigkeit ist daher nicht die typische Geschwindigkeit eines Trägers, sondern die geringe Restgeschwindigkeit, die nach der Mittelung über alle mikroskopischen Bewegungen verbleibt.

Diese Unterscheidung ist von entscheidender Bedeutung. Zufällige thermische Bewegung trägt nicht zum elektrischen Strom bei, da sie sich zu Null addiert. Die mittlere Driftgeschwindigkeit \(\mathbf{u}\) hingegen erfasst das Ungleichgewicht in der Bewegung der Ladungsträger, das durch elektrische Felder, Konzentrationsgradienten und Temperaturgradienten verursacht wird. Es ist diese mittlere Geschwindigkeit, die die makroskopische Stromdichte bestimmt.

Ausgehend von diesen Definitionen ist der Teilchenfluss \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) und die Elektronenstromdichte ist

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

Wenn man diese Definitionen in die Gleichung für den ersten Moment einsetzt, können die Integrale im Impulsraum vollständig in Form von \(n\), \(\mathbf{u}\) und Momenten höherer Ordnung der Geschwindigkeit neu formuliert werden. Insbesondere vereinfacht sich der Stoßterm, da die Referenzverteilung \(f^0\) einen lokalen Gleichgewichtszustand mit einer mittleren Driftgeschwindigkeit von Null darstellt, sodass

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

Infolgedessen trägt der Stoßterm lediglich zu einem Impulsrelaxationsterm bei, der proportional zur mittleren Geschwindigkeit ist \(\mathbf{u}\).

Der verbleibende räumliche Transportterm in der Gleichung für den ersten Moment enthält Integrale der Form \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), die den Impulsfluss durch den Raum darstellen. Um den physikalischen Inhalt dieses Terms deutlicher zu machen, zerlegen wir die Trägergeschwindigkeit in einen mittleren Teil und eine Fluktuation:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

Wenn man diese Zerlegung in das zweite Geschwindigkeitsmoment einsetzt und \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\) verwendet, wird der Impulsfluss in einen konvektiven Beitrag und einen Fluktuationsanteil aufgeteilt. Der Fluktuationsanteil wird als der Trägerdruck- (oder Spannungs-)Tensor identifiziert.

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

Physikalisch betrachtet beschreibt \(\mathbf{P}\) den Transport des Impulses, der mit den Geschwindigkeitsfluktuationen um die mittlere Driftgeschwindigkeit verbunden ist. Seine Divergenz führt zu Diffusions- und thermischen Antriebstermen in den vereinfachten Transportgleichungen.

Wenn alle Beiträge zusammengetragen wurden, kann die Gleichung für den ersten Moment nun wie folgt geschrieben werden:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Diese Gleichung stellt die allgemeine Impulserhaltungsgleichung dar, die direkt aus dem ersten Moment der Boltzmann-Transportgleichung abgeleitet wird. Bisher wurden noch keine Annahmen über Drift- und Diffusionsprozesse getroffen; diese werden im nächsten Schritt eingeführt, wobei die Impulserhaltungsgleichung auf eine lokale Kraftgleichung reduziert wird.

5.3 Reduzierung der Impulsgleichung auf eine Kraftgleichung

Bei der Drift-Diffusions-Modellierung geht es uns nicht darum, die zeitliche Entwicklung oder den räumlichen Transport des Impulses selbst explizit zu berechnen. Stattdessen gehen wir davon aus, dass sich der Impuls der Ladungsträger lokal an die einwirkenden Kräfte anpasst, sodass vorübergehende oder nichtlokale Impulseffekte vernachlässigt werden können. Unter dieser Annahme vereinfacht sich die Impulsbilanz, indem die expliziten Terme für den Impulstransport und die Trägheit weggelassen werden, während die Terme für die Kraft und die Relaxation beibehalten werden.

Mit dieser Näherung reduziert sich die Impulsgleichung auf:

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

In dieser Form dargestellt, ist die Gleichung als eine lokale Kraftbilanz zu interpretieren: Die Kräfte, die die Bewegung der Ladungsträger antreiben, werden durch den Impulsverlust aufgrund von Streuung ausgeglichen.

Der verbleibende Term \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) gibt an, wie der Impuls durch die zufällige Bewegung der Ladungsträger neu verteilt wird. Der Tensor \(\mathbf{P}\) selbst enthält Informationen über die Korrelationen zwischen den Geschwindigkeitskomponenten und ermöglicht im Allgemeinen eine anisotrope Impulstransport. In vielen Halbleiterbauelementen ist die Ladungsträgerverteilung im Geschwindigkeitsraum nahezu isotrop. In diesem Fall gibt es keine bevorzugte Richtung für die Geschwindigkeitsfluktuationen, und der Drucktensor reduziert sich auf einen skalaren Druck, der mit dem Identitätstensor multipliziert wird:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

Physikalisch bedeutet dies, dass die zufällige thermische Bewegung in alle Richtungen gleichermaßen beiträgt. Wenn diese Form in die Impulsgleichung eingesetzt wird, vereinfacht sich die Divergenz des Drucktensors zu dem Gradienten eines skalaren Drucks:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

Dieser Begriff ist der Ursprung der Diffusion und der thermischen Antriebskraft in den Drift-Diffusions-Gleichungen. Im nächsten Abschnitt wird diese Gleichgewichts-Gleichung für die mittlere Trägergeschwindigkeit \(\mathbf{u}\) gelöst, was direkt zum Drift-Diffusions-Strom führt.

5.4 Vom Kräftegleichgewicht zum Drift-Diffusionsstrom

Wir kehren nun zu der in dem vorherigen Abschnitt hergeleitete vereinfachte lokale Impulsgleichung zurück. Für Elektronen ist es zweckmäßig, die treibende Kraft in Form der Leitbandkante \(E_c(\mathbf{r})\) auszudrücken, die sowohl das elektrostatische Potenzial als auch die Materialverschiebung berücksichtigt. Daher schreiben wir die auf die Elektronen wirkende Kraft wie folgt:

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

wobei \(E_c(\mathbf{r})\) (bis zu einer Referenzgröße) als \(E_c = \chi - q\phi\) geschrieben werden kann, sodass räumliche Variationen entweder der Elektronenaffinität oder des elektrostatischen Potenzials auf natürliche Weise zur Anregung der Ladungsträger beitragen. Setzt man dies in die vereinfachte Impulsgleichung ein, so erhält man:

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

Diese Gleichung beschreibt ein lokales Gleichgewicht zwischen der Anregung am Bandrand, dem durch den Druck verursachten Transport und dem Impulsverlust durch Streuung. Die Lösung nach der mittleren Trägergeschwindigkeit ergibt:

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

Unter Verwendung der Definition der Elektronenstromdichte \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\) erhalten wir:

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Wir präsentieren das mobile Gerät \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), das folgendes ermöglicht:

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

An diesem Punkt wird der Strom durch den Druckgradienten \(\nabla p\) ausgedrückt, und es wurden noch keine Annahmen über die statistischen Eigenschaften der Ladungsträger getroffen. Um fortzufahren, drücken wir Druck und Dichte als Momente der zugrunde liegenden Verteilungsfunktion aus.

Die Trägerdichte und der Druck können wie folgt dargestellt werden:

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

wobei \(g(E)\) die Zustandsdichte und \(f(E)\) die Fermi-Dirac-Verteilung ist. Für ein parabolisches Band vereinfachen sich diese Integrale zu Standard-Fermi-Dirac-Integralen.

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

mit reduziertem chemischen Potenzial \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\) und \(F_j(\eta)\) als vollständiges Fermi-Dirac-Integral der Ordnung \(j\).

Die Berechnung des Druckgradienten ergibt:

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

Setzt man diesen Ausdruck in die aktuelle Gleichung ein, so zeigt sich, dass sowohl die Diffusion als auch der thermische Antrieb durch eine verallgemeinerte Einstein-Beziehung bestimmt werden.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

Dieser Ausdruck ist für ein parabolisches Band exakt und bleibt im Bereich von nicht-entarteten bis stark entarteten Zuständen gültig. Im nicht-entarteten Grenzfall (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)) reduziert sich die verallgemeinerte Einstein-Beziehung auf die bekannte Form.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

Der erste Term beschreibt die Drift, die durch räumliche Variationen des Leitungsbandrandes verursacht wird, einschließlich sowohl elektrostatischen Feldern als auch Bandversatz an Heteroübergängen. Der zweite Term, der den Druckgradienten beinhaltet, ist die Ursache für Diffusion und thermische Anregung.

Im nicht-entarteten Fall beträgt der Trägerdruck \(p = n k_B T\), sodass

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

Wenn man diesen Ausdruck in die aktuelle Gleichung einsetzt, erhält man:

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

Unter Verwendung der Einstein-Beziehung für nicht-entartete Ladungsträger \(D_n = \mu_n k_B T / q\) kann der Strom in der bekannten Drift-Diffusions-Form mit einer expliziten thermischen Antriebskomponente dargestellt werden:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \]

In Heterostrukturen kann die effektive Zustandsdichte \(N_c(\mathbf{r},T)\) räumlich variieren, was auf Änderungen der Bandstrukturparameter wie der effektiven Masse zurückzuführen ist. Eine selbstkonsistente Reduktion führt dann zu einem zusätzlichen, materialabhängigen Term, der proportional zu \(\nabla\ln N_c\) ist.

Unter Berücksichtigung dieses Beitrags lässt sich der Drift-Diffusions-Strom, der in Geräte-Simulatoren verwendet wird, wie folgt darstellen:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \]

In dieser Form lassen sich alle Antriebsmechanismen auf natürliche Weise aus demselben Rahmen der Impulserhaltung ableiten. Elektrostatische Felder, Bandversätze an Heteroübergängen, Temperaturgradienten und räumliche Variationen von Materialparametern spielen dabei alle auf exakt gleiche Weise eine Rolle.

Eine völlig ähnliche Ableitung lässt sich auch auf Löcher anwenden. Durch die Wiederholung der gleichen Schritte unter Verwendung des Randes des Valenzbandes \(E_v(\mathbf{r})\) und der Löcherstatistik erhält man die Stromdichte der Löcher.

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \]

wobei \(N_v(\mathbf{r},T)\) die effektive Zustandsdichte des Valenzbandes ist. Die entgegengesetzten Vorzeichen der Diffusions- und thermisch angetriebenen Terme spiegeln die positive Ladung der Löcher wider.

• Thermische Ansteuerung (Thermodiffusion/Seebeck-ähnlicher Effekt): räumliche Variationen der Trägertemperatur verändern die lokale Quasi-Gleichgewichtsverteilung und erzeugen einen resultierenden Trägerfluss, der proportional zu \(\nabla T\) ist, selbst wenn kein elektrisches Feld vorhanden ist.
• Dichte der Zustände / effektive-Masse-Ansteuerung: In Heterostrukturen oder Materialien mit räumlich veränderlichen Eigenschaften führen Gradienten in den Parametern der Bandstruktur (wie z. B. der effektiven Masse) zu Gradienten in \(N_c\) und \(N_v\). Diese Terme sind an Materialgrenzflächen von entscheidender Bedeutung und gewährleisten, dass der Ladungsträgertransport weiterhin mit der zugrunde liegenden Statistik und der Bandstruktur übereinstimmt.

7. Energietransport / Ausdehnung des Bereichs mit heißen Ladungsträgern

In dem zuvor hergeleiteten Drift-Diffusions-Modell wird der Ladungsträgertransport durch die Kontinuitätsgleichung der Teilchen und eine auf ein algebraisches Stromgesetz reduzierte Impulsgleichung beschrieben. Es wird davon ausgegangen, dass sich die Energie der Ladungsträger schnell an das Gitter anpasst, sodass keine explizite Gleichung dafür gelöst wird.

Wenn diese Annahme aufgegeben wird, muss die nächste Gleichung in der Boltzmann-Momentenhierarchie beibehalten werden: die Energiebilanzgleichung. Diese Gleichung beschreibt, wie Ladungsträger Energie von elektrischen Feldern und Gradienten am Bandrand aufnehmen, diese Energie durch das Bauelement transportieren und an das Gitter abgeben.

7.1 Zweites Moment der Boltzmann-Gleichung

Die Energiebilanz wird durch Multiplikation der Boltzmann-Transportgleichung mit der Energie eines einzelnen Teilchens \(W(\mathbf{k})\) und anschließender Integration über den Impulsraum erhalten. Für Elektronen wird die Energie eines Zustands wie folgt dargestellt:

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

wobei \(E_c(\mathbf{r})\) der untere Rand des Leitungsbandes und \(\varepsilon(\mathbf{k})\) die kinetische Energie relativ zum Bandrand ist (für ein parabolisches Band \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Die mittlere Trägerenergie pro Teilchen wird definiert als:

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

Die entsprechende Energiedichte beträgt \(n\bar W\). Diese Größe spielt für die Energie die gleiche Rolle, die \(n\) für die Anzahl der Teilchen spielt.

7.2 Energiefluss und dessen Beziehung zu Drift-Diffusionsströmen

Der räumlich-transportbezogene Term im zweiten Moment enthält Integrale der Form \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), was die Definition des Energieflusses begründet.

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Diese Größe steht in einer direkten Beziehung zum Teilchenfluss \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) und somit auch zur Stromdichte \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). Der Energietransport ist daher auf natürliche Weise mit dem Ladungsträgertransport gekoppelt.

7.3 Von dem elektrischen Feld geleistete Arbeit und Gradienten an den Bandrändern

Der Kraftterm in der Boltzmann-Gleichung erzeugt einen deutlichen Beitrag zum zweiten Moment. Durch Anwendung der partiellen Integration im Impulsraum und unter Verwendung der Identität \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\) erhält man:

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

Wenn man die auf Elektronen wirkende Kraft als \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\) schreibt, ergibt sich für diesen Term:

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Dies sind die elektrischen Vorgänge, die in der Trägerpopulation stattfinden. Im speziellen Fall, in dem \(E_c=-q\phi\) gilt, reduziert sich dies auf den bekannten Joule-Wärmeterm \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).

7.4 Energiebilanzgleichung und ihre Beziehung zur Drift-Diffusions-Theorie

Wenn man alle Beiträge zusammenfasst, lässt sich die Gleichung für das zweite Moment wie folgt schreiben:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

Diese Gleichung ist direkt mit dem Drift-Diffusions-Modell über die Stromdichte \(\mathbf{J}_n\) gekoppelt. Es sind keine zusätzlichen, willkürlichen Terme für die Wärmezufuhr erforderlich: Die elektrische Verlustleistung ergibt sich auf natürliche Weise aus derselben Anregung am Bandrand, die auch im Stromgesetz auftritt.

7.5 Beziehung zur Standard-Drift-Diffusions-Gleichung

Um zu verstehen, wie dies mit bekannten Drift-Diffusions-Modellen zusammenhängt, betrachten wir den nicht-degenerierten, nahezu im Gleichgewicht befindlichen Fall. Der Beitrag zur mittleren Energie durch die kinetische Energie ist

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

sodass

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

Bei einem Drift-Diffusionsmodell im stationären Zustand mit schneller Energierelaxation \(T_e \approx T_L\) und \(\bar W \approx \bar W_0\)die zeitliche Ableitung \(\partial_t(n\bar W)\) verschwindet und die Energiebilanz reduziert sich auf ein Gleichgewicht zwischen elektrischer Erwärmung und Energieverlust an das Kristallgitter.

Die Beibehaltung der Energiebilanzgleichung hebt diese Einschränkung auf. Die Trägertemperatur \(T_e\) wird zu einer dynamischen Variablen, wodurch das Modell Feldwärmeeffekte, Geschwindigkeitsüberschwingen und den Transport im Nichtgleichgewichtszustand erfassen kann, während es weiterhin vollständig mit dem zuvor abgeleiteten Drift-Diffusions-Modell kompatibel bleibt.

Wenn man alles zusammenfasst, lässt sich die in einem auf Drift- und Diffusionsmodellen basierenden Solver implementierte Energiebilanzgleichung in folgender Form darstellen:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

Hierbei bezeichnet \(T_e\) die Temperatur der Ladungsträger (Elektronen), \(T_L\) die Temperatur des Gitters, \(\kappa\) die thermische Leitfähigkeit der Ladungsträger und \(\tau_W\) die Energie-Relaxationszeit. Diese Gleichung wird selbstkonsistent zusammen mit der Poisson-Gleichung, den Ladungsträger-Kontinuitätsgleichungen und den Drift-Diffusions-Strombeziehungen gelöst.

8. Das endgültige gekoppelte Modell wurde in OghmaNano gelöst.

OghmaNano löst ein gekoppeltes System von partiellen Differentialgleichungen. Die genaue Menge der Gleichungen hängt vom ausgewählten physikalischen Modell ab (entweder nur Drift-Diffusions-Modell oder Drift-Diffusions-Modell mit Energietransport). Die folgende Tabelle fasst die Gleichungen und deren Anwendungsbereiche zusammen.