Herleitung der Shockley-Read-Hall-Rekombinationsgleichung
1. Shockley-Read-Hall-(SRH)-Rekombination in ihrer einfachsten Form
Die Shockley-Read-Hall-Rekombination (SRH) lässt sich in ihrer einfachsten Form als ein zweistufiger Prozess verstehen, wie in ?? dargestellt. Zuerst wird ein Ladungsträger in einem lokalisierten Defektzustand innerhalb der Bandlücke eingefangen (Prozess a). Anschließend rekombiniert ein Ladungsträger mit entgegengesetzter Polarität mit dem eingefangenen Ladungsträger über denselben Defektzustand (Prozess b). Dieses einfache physikalische Modell führt zu der klassischen SRH-Rekombinationsgleichung, die aus der Physik von Halbleiterbauelementen bekannt ist:
\[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \]
Im ursprünglichen Werk von Shockley, Read und Hall wurde das physikalische Modell jedoch wesentlich detaillierter formuliert. Anstatt nur die Einfangung von Ladungsträgern und die anschließende Rekombination zu berücksichtigen, definiert die Theorie vier konkurrierende Übergangsraten für Ladungsträger, die mit den Prozessen der Ladungsträger-Einfangung und der thermischen Emission verbunden sind. Diese Übergänge unterliegen im thermodynamischen Gleichgewicht bestimmten detaillierten Gleichgewichtsbedingungen, was in ?? veranschaulicht wird.
Die vier Zinssätze lauten:
- \(r_{ec}\): Elektroneneinfang in den Fallen-Zustand.
- \(r_{ee}\): thermische Emission eines Elektrons aus dem Fallen-Zustand.
- \(r_{hc}\): Das Loch wird im Fallenbereich eingefangen und gelangt in den Zustand, in dem es sich dort befindet.
- \(r_{he}\): thermische Emission eines Lochs aus dem Zustandsminimum.
Mithilfe dieser vier Raten kann die Besetzung des Fallenenergiestatus durch die folgende Gleichung für die Ladungsträger-Fallenrate beschrieben werden:
\[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]
Durch die analytische Lösung dieser Gleichung unter stationären Bedingungen leiteten Shockley, Read und Hall die oben angegebene klassische SRH-Rekombinationsgleichung ab. Die folgende Ableitung beginnt mit den grundlegenden Annahmen des SRH-Modells und arbeitet sich systematisch zu der stationären Rekombinationsgleichung vor. Dabei ergibt sich auf dem Weg dorthin auf natürliche Weise die transiente bzw. nicht-gleichgewichtige Form der SRH-Gleichungen. Diese nicht-gleichgewichtige Form bildet die Grundlage des in OghmaNano implementierten Fangzentrenmodells.
2. Prozesse der Einfangung und Emission in einem Zustandsminimum
Das Shockley-Read-Hall-Modell (SRH-Modell) beschreibt die Rekombination durch lokalisierte Falleffekte innerhalb der Bandlücke des Halbleiters. Betrachten wir ein einzelnes Falleniveau bei der Energie \(E_t\), wie in ?? dargestellt. Diese Falle kann durch Einfang- und thermische Emissionsprozesse Ladungsträger sowohl mit dem Leitungsband als auch mit dem Valenzband austauschen.
Ein Elektron im Leitungsband kann in den Fallen-Zustand übergehen und sich dort stabilisieren. Ebenso kann ein Loch im Valenzband durch die Falle eingefangen werden. Diese Einfangprozesse entsprechen der Bewegung von Ladungsträgern von einem Zustand mit höherer Energie in einen Zustand mit niedrigerer Energie, der auf einen bestimmten Ort begrenzt ist.
Im Gegensatz dazu kann sich ein im Trägerzustand gefangenes Elektron auch durch thermische Anregung wieder in ein Transportband zurückbewegen. Die Elektronenemission erfordert, dass ein gefangenes Elektron genügend thermische Energie aufnimmt, um sich vom Trägerzustand in Richtung des Leitungsbandrandes zu bewegen. In ähnlicher Weise entspricht die Loch-Emission der Anregung vom Trägerzustand in Richtung des Valenzbandes.
Prozesse, bei denen Träger eine energetische Anstrengung unternehmen müssen, um eine potenzielle Barriere zu überwinden, sind thermisch aktiviert und treten daher mit Boltzmann-ähnlichen Wahrscheinlichkeiten auf, die proportional zu
\[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \]
wobei \(\Delta E\) die Energiebarriere ist, die überwunden werden muss. Hohe Energiebarrieren führen daher zu einer exponentiellen Reduzierung der thermischen Emission. Im Gegensatz dazu ist die Anreicherung von Ladungsträgern in einem energetisch niedrigeren Zustand energetisch günstig und erfordert keine thermische Aktivierung. Anreicherungsprozesse weisen daher keinen exponentiellen Reduktionsfaktor auf, der mit der Überwindung einer Energiebarriere verbunden ist.
Infolgedessen fangen tiefe Fallen Ladungsträger in der Regel effizient ein, geben sie aber nur langsam wieder frei. Flache Fallen, die näher an der Bandkante liegen, tauschen Ladungsträger viel schneller mit den Bändern aus.
Die Koeffizienten für die Einfangrate von Elektronen und Löchern werden wie folgt dargestellt:
\[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \]
wobei \(v_{th}\) die thermische Geschwindigkeit ist, während \(\sigma_n\) und \(\sigma_p\) die Wirkungsquerschnitte für die Einfangung von Elektronen bzw. Löchern darstellen.
Die thermischen Emissionskoeffizienten werden wie folgt dargestellt:
\[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \]
\[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]
3. Besetzungsraten von Fallen und Übergangsraten für die sexuelle und reproduktive Gesundheit
Die oben genannten Absorbitions- und Emissionskoeffizienten beschreiben die Übergangswahrscheinlichkeiten, die mit einem einzelnen Zustandsniveau verbunden sind. Die tatsächlichen Übergangsraten hängen jedoch auch davon ab, ob das Zustandsniveau besetzt oder leer ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Falle besetzt ist, kann als \(f\) dargestellt werden. Da die Falle ein lokalisierter elektronischer Zustand ist, folgt ihre Besetzung der Fermi-Dirac-Statistik, wobei davon ausgegangen wird, dass sich Ladungsträger innerhalb der Energieverteilung der Falle thermisch ausgleichen können:
\[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \]
Die Dichte der besetzten Fallen ist daher
\[ n_t=N_t f, \]
während die Dichte leerer Fallen beträgt
\[ N_t(1-f). \]
Die Elektronenabfangung erfordert einen leeren Fallenenergiezustand und ist daher proportional zu \(1-f\). Die Lochabfangung erfordert einen bereits mit einem Elektron besetzten Fallenenergiezustand und ist daher proportional zu \(f\). Diese Abhängigkeit von der Besetzung ist das wichtigste statistische Merkmal des SRH-Modells.
Die vier in ?? dargestellten elementaren Übergangsraten werden daher wie folgt dargestellt:
\[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \]
\[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \]
4. Gleichung zur Berechnung der vorübergehenden Belegung einer Falle
Die transiente SRH-Gleichung wird durch die Formulierung der Änderungsrate der besetzten Fallen erhalten. Die Einfangung von Elektronen füllt eine Falle, die Emission von Elektronen leert sie. Die Einfangung von Löchern leert sie durch Rekombination, und die Emission von Löchern füllt sie, indem ein Valenzelektron entfernt wird. Daher wird unter Verwendung der Notation aus ??
Die Ableitung wird nun fortgesetzt, indem die Rekombinationsraten ermittelt werden, die in den Drift-Diffusions-Kontinuitätsgleichungen vorkommen. Diese Terme beschreiben den Nettoverlust und die Nettozunahme von Ladungsträgern zwischen dem Leitungsband, dem Valenzband und den Fallezuständen durch die oben abgeleiteten SRH-Rekombinationsprozesse.
Seit \(n_t=N_t f\) ist dies gleichwertig.
\[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]
Setzt man die vier elementaren Raten ein, so erhält man:
\[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \]
Wenn man durch \(N_t\) teilt, ergibt sich folgende Gleichung für die Belegung der Falle:
\[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \]
Dies ist die vorübergehende Form des einstufigen SRH-Modells. Es sollte verwendet werden, wenn die Besetzung der Falle selbst eine dynamische Zustandsvariable ist, beispielsweise bei transienten Simulationen, langsamer Ladungseinfang, dem Füllen von Fallen oder bei Simulationen außerhalb des Gleichgewichts, bei denen die eingefangene Ladung zur Poisson-Gleichung beiträgt.
Die entsprechenden transienten Rekombinationsterme lauten:
\[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \]
\[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \]
Abweichend vom Gleichgewichtszustand müssen \(R_n\) und \(R_p\) nicht gleich sein. Ihre Differenz verändert die eingeschlossene Ladungsdichte. Im Gleichgewichtszustand ist die Besetzung der Fallen konstant, und die beiden resultierenden Raten werden gleich.
Verbindung zu den Drift-Diffusions-Gleichungen: Die oben abgeleiteten Gesamt-Rekombinationsraten \(R_n\) und \(R_p\) werden direkt in die Drift-Diffusions-Kontinuitätsgleichungen für Elektronen und Löcher eingegeben. Siehe auch: Drift-Diffusions-Kontinuitätsgleichungen.
Beobachten Sie die Anwendung der transienten SRH-Gleichungen: Um zu sehen, wie diese Gleichungen zur Beschreibung von Ladungsträgern, die in Fallen gefangen sind, explizit für verteilte Fallen in einem ungeordneten Halbleiterbauelement gelöst werden, siehe: Modellierung verteilter Fallen in ungeordneten Halbleitern.
5. Stabile Besetzung der Fallen im Gleichgewichtszustand
Der Rest dieser Ableitung befasst sich mit der Ermittlung einer analytischen Lösung für den stationären Zustand der zuvor hergeleiteten transienten SRH-Gleichungen. Indem wir davon ausgehen, dass die Besetzung der Fallen sich nicht mehr mit der Zeit ändert, können die gekoppelten Einfang- und Emissionsprozesse analytisch vereinfacht werden, um die klassische Shockley-Read-Hall-Rekombinationsgleichung zu erhalten, die in der gesamten Halbleiterphysik und bei der Drift-Diffusions-Modellierung verwendet wird. Um die klassische SRH-Rekombinationsgleichung zu erhalten, nehmen wir nun einen stationären Zustand der Fallenbesetzung an:
\[ \frac{df}{dt}=0. \]
Die zeitabhängige Geschwindigkeitsgleichung ergibt daher:
\[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]
Diese Gleichheit bedeutet, dass die Netto-Elektroneneinfangrate gleich der Netto-Loch-Einfangrate ist. Mit anderen Worten: Im stationären Zustand akkumuliert die Falle keine Ladung, sondern vermittelt lediglich den in ?? dargestellten Rekombinationszyklus.
Die thermischen Emissionskoeffizienten lassen sich unter Verwendung der Gleichgewichtskonzentrationen der Träger \(n_1\) und \(p_1\) neu formulieren:
\[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \]
wo
\[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]
Die Größen \(n_1\) und \(p_1\) sind Gleichgewichtsdichte-Referenzwerte für die Trägerkonzentration, die mit der Energie der Falle verbunden sind. Physikalisch gesehen kodieren sie die thermischen Aktivierungsbarrieren, die die Emission von Elektronen und Löchern aus dem Fallen-Zustand steuern.
Setzt man \(e_n=c_n n_1\) und \(e_p=c_p p_1\) in die Gleichung für den stationären Zustand ein, so erhält man:
\[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \]
Die Terme, die proportional zu \(1-f\) und \(f\) sind, werden zusammengefasst.
\[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \]
Die Berechnung des Anteils der besetzten Fallen ergibt:
\[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
Der Anteil der leeren Falle beträgt
\[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
6. Herleitung der klassischen Gleichung für den stationären SRH-Zustand
Die stationäre SRH-Rekombinationsrate kann entweder mithilfe der Elektronenbilanz oder der Lochbilanz formuliert werden:
\[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]
Mithilfe der Elektronenwaage.
\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \]
Wenn man die stationären Werte von \(f\) und \(1-f\) einsetzt,
\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \]
Die Begriffe \(c_n n n_1\) werden gestrichen, übrig bleiben:
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
Für einen Halbleiter im thermodynamischen Gleichgewicht gilt:
\[ n_1p_1=n_i^2. \]
Somit ergibt sich für die klassische, stationäre Shockley-Read-Hall-Rekombinationsrate:
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
Abschließend definieren wir die Lebensdauer der SRH-Zustände als
\[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \]
die übliche Form des Lehrbuchtextes ergibt sich wie folgt:
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \]
Dieser letzte Ausdruck stellt die kompakte, stationäre Grenzausdrücke der zuvor gezeigten Geschwindigkeitsgleichung dar. Er enthält die gleichen physikalischen Prozesse für das Einfangen und Entkommen von Teilchen, die in ?? veranschaulicht werden, wobei die analytische Berechnung der Besetzung des Potentials erfolgt.
7. Historischer Bezug
Das hier abgeleitete Modell der durch Fallen vermittelten Rekombination basiert auf der statistischen Methode, die von W. Shockley und W. T. Read, Jr. in ihrer 1952 erschienenen Arbeit über die Rekombination von Löchern und Elektronen in Halbleitern eingeführt wurde. Die Ableitung auf dieser Seite ist keine Wiedergabe des Originaltextes; es handelt sich um eine moderne Ableitung für die Bauelementensimulation, die unter Verwendung der in diesem Handbuch an anderer Stelle verwendeten Ratennotation verfasst wurde.
Beobachten Sie, wie die transienten SRH-Gleichungen in der Praxis angewendet werden: Um zu sehen, wie diese Gleichungen zur Beschreibung von Ladungsträgern, die in Fallen gefangen sind, explizit für verteilte Fallen in einem ungeordneten Halbleiterbauelement gelöst werden, siehe: Modellierung verteilter Fallen in ungeordneten Halbleitern.
Quelle: W. Shockley und W. T. Read, Jr., „Statistik der Rekombinationen von Löchern und Elektronen“, Physical Review, Band 87, Nr. 5, S. 835–842, 1952.