ショックレー・リード・ホール再結合方程式の導出

1. 最も単純な形でのショックレー・リード・ホール（SRH）再結合

ショックレー・リード・ホール（SRH）再結合は、最も単純な形では、ここに示す二段階のプロセスとして理解できる。 ??まず、電荷キャリアがバンドギャップ内にある局在した欠陥準位に捕獲される。これがプロセス(a)である。その後、逆極性の電荷キャリアが同一のトラップ準位を介して捕獲されたキャリアと再結合する。これがプロセス(b)である。このような単純な物理的描像から、半導体デバイス物理学においてよく知られている標準的なSRH再結合方程式が導かれる。

\[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \]

しかし、ショックレー、リード、ホールによる初期の研究においては、この物理モデルがより詳細な形で定式化されていた。単にキャリアのトラップ現象とそれに続く再結合のみを考慮するのではなく、この理論ではキャリアの捕獲および熱的放出過程に関連する4種類の競合する遷移率が定義されている。これらの遷移過程は熱平衡状態において詳細釣り合い条件を満たしており、その様子は??に示されている。

これら4つの遷移率は以下の通りである：

• \(r_{ec}\)：電子がトラップ準位へ捕獲される過程。
• \(r_{ee}\)：トラップ準位からの電子の熱的放出。
• \(r_{hc}\)：トラップ準位への正孔の捕獲。
• \(r_{he}\)：トラップ準位からの正孔の熱的放出。

これら4つの遷移率を用いることで、トラップ準位の占有状態はキャリア捕獲率の方程式によって記述できる。

\[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

定常状態の条件下でこの方程式を解析的に解くことにより、ショックレー、リード、ホールの3名は前述の標準的なSRH再結合式を導き出した。以下の導出過程では、SRHモデルの基本的な仮定から出発し、定常状態における再結合方程式へと順次進んでいく。その過程において、SRH方程式の過渡状態または非平衡状態における形も自然に現れる。この非平衡形こそが、OghmaNano内で実装されているトラップモデルの基礎となっている。

2. トラップ準位における捕獲および放出過程

ショックレー・リード・ホール（SRH）モデルは、半導体のバンドギャップ内に存在する局在化したトラップ準位を介した再結合現象を記述するものである。??に示すように、エネルギーが\(E_t\)である単一のトラップ準位を想定する。このトラップは、捕獲および熱的放出の過程を通じて伝導帯および価電子帯の両方とキャリアの交換を行う。

伝導帯内の電子はトラップ準位へと遷移する可能性がある。同様に、価電子帯内の正孔もこのトラップ準位によって捕獲される。こうした捕獲過程は、エネルギーの高い状態からエネルギーの低い局在状態へと移行するキャリアの挙動を表している。

一方、トラップに捕獲されたキャリアは熱的活性化によって再び輸送バンドへと戻ることも可能である。電子の放出過程では、トラップに留まる電子が十分な熱エネルギーを得てトラップ準位から伝導帯端へ移動する必要がある。同様に、ホールの放出はトラップ準位から価電子帯へ向かう励起過程に相当する。

キャリアがエネルギー的に高い準位へ移動する必要がある過程は熱的に活性化されるため、ボルツマン分布に従う確率で生じる。

\[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \]

ここで\(\Delta E\)は克服しなければならないエネルギー障壁を表す。したがって、高いエネルギー障壁がある場合、熱的放出は指数関数的に抑制される。一方、より低いエネルギーを持つトラップ準位へのキャリアの捕獲はエネルギー的に有利な過程であり、熱的活性化を必要としない。そのため捕獲過程にはエネルギー障壁を克服する際に生じる指数関数的抑制因子は存在しない。

その結果、エネルギー準位の深いトラップはキャリアを効率的に捕獲する傾向がある一方で、その放出は非常に遅くなる。一方、伝導帯または価電子帯の端に近い浅いトラップでは、バンドとの間でのキャリアの交換がはるかに迅速に行われる。

電子および正孔の捕獲係数は次のように表される

\[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \]

ここで\(v_{th}\)は熱速度を表し、\(\sigma_n\)および\(\sigma_p\)はそれぞれ電子および正孔の捕獲断面積である。

熱的放出係数は次のように表される

\[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \]

\[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

3. トラップの占有確率とSRH遷移率

上記の捕獲係数および放出係数は、単一のトラップ準位における遷移確率を表している。ただし、実際の遷移率はそのトラップが占有されているか空いているかにも依存する。

トラップの占有確率を\(f\)と表すことにする。トラップは局在化した電子状態であるため、キャリアがトラップ内のエネルギー分布において熱的に平衡状態に達すると仮定すると、その占有状態はフェルミ・ディラック統計に従う。

\[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \]

したがって、占有されているトラップの密度は

\[ n_t=N_t f, \]

一方、空のトラップの密度は

\[ N_t(1-f). \]

電子の捕獲には空いているトラップ準位が必要であるため、その確率は\(1-f\)に比例します。一方、正孔の捕獲にはすでに電子で占有されているトラップ準位が必要であるため、その確率は\(f\)に比例します。このような占有状態への依存性こそがSRHモデルの重要な統計的特徴なのです。

??に示す4つの基本的な遷移率は、以下のように表される。

\[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \]

\[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \]

4. トラップの占有確率に関する過渡方程式

過渡状態におけるSRH方程式は、トラップ準位の占有数の時間変化率を記述することで導出される。電子の捕獲によってトラップは満たされ、電子の放出によって空になる。一方、正孔の捕獲は再結合を引き起こしてトラップを空にし、正孔の放出は価電子帯から電子を取り除くことでトラップを満たす。したがって、??で用いられている記法を使用すると、

ここで、ドリフト拡散連続方程式に現れる再結合率を導出していく。これらの項は、前述のSRH再結合過程に基づき、伝導帯、価電子帯、およびトラップ準位間におけるキャリアの純増減を表すものである。

\(n_t=N_t f\)より、これは同値となる。

\[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

上記の4つの基本反応速度を代入すると

\[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \]

\(N_t\)で両辺を除すると、トラップ占有率の方程式は次のようになる

\[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \]

これが単一準位型SRHモデルの過渡状態用式である。トラップの占有状態自体が動的な変数となる場合、例えば過渡状態シミュレーションや遅いトラップ過程、トラップの充填現象、あるいはトラップされた電荷がポアソン方程式に寄与する非平衡状態シミュレーションにおいては、この式を用いるべきである。

対応する過渡状態における再結合項は以下の通りである

\[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \]

\[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \]

定常状態でない場合、\(R_n\)と\(R_p\)は必ずしも等しくなる必要はない。両者の差異によってトラップ内に蓄積される電荷密度が変化する。定常状態においてはトラップの占有状態が一定となり、これら二つの正味の再結合率も等しくなる。

5. 定常状態におけるトラップの占有状態

本導出の残りの部分では、前述した過渡状態におけるSRH速度方程式の解析的な定常状態解を求めることに焦点を当てる。トラップの占有状態が時間とともに変化しなくなったと仮定することで、捕獲および放出の各過程を解析的に簡略化でき、半導体デバイス物理学やドリフト拡散モデリングにおいて広く用いられる標準的なショックレー・リード・ホール再結合方程式が導出される。この標準的なSRH再結合方程式を得るため、ここではトラップの占有状態が定常状態にあると仮定する。

\[ \frac{df}{dt}=0. \]

したがって、過渡状態における速度方程式は次のようになる

\[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

この等式は、正味の電子捕獲率が正味の正孔捕獲率と等しいことを意味する。言い換えれば、定常状態においてトラップは電荷を蓄積せず、単に前述の再結合サイクルを仲介するに過ぎない。 ??.

熱的放出係数は、平衡状態における基準キャリア密度 \(n_1\) および \(p_1\) を用いて再表記することができる。

\[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \]

ここで

\[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

これらの量 \(n_1\) そして \(p_1\) これらはトラップ準位のエネルギー値に対応する平衡状態における基準キャリア密度である。物理的には、これらはトラップ準位からの電子および正孔の放出を制御する熱的活性化障壁を表している。

\(e_n=c_n n_1\)および\(e_p=c_p p_1\)を定常状態におけるトラップ方程式に代入すると

\[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \]

\(1-f\)および\(f\)に比例する項をまとめると、

\[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \]

占有されたトラップの割合を求めると

\[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

空トラップの占有割合は

\[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

6. 古典的な定常状態におけるSRH方程式の導出

定常状態におけるSRH再結合率は、電子の収支または正孔の収支のいずれを用いても表すことができる：

\[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

電子の収支を用いると、

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \]

定常状態における各値を代入すると \(f\) そして \(1-f\),

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \]

項 \(c_n n n_1\) は相殺され、残るのは

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

熱平衡状態にある半導体において、

\[ n_1p_1=n_i^2. \]

したがって、古典的な定常状態におけるショックレー・リード・ホール再結合率は次のようになる。

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

最後に、SRH寿命を次のように定義する。

\[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \]

標準的な教科書形式が得られる：

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \]

この最終的な式は、先に示した速度方程式の定常状態における簡略化された形である。この式には??で説明されている捕獲および放出の物理過程が含まれているが、トラップの占有確率は解析的に消去されている。

7. 歴史的な背景

ここで導出されるトラップを介した再結合モデルは、W. ShockleyおよびW. T. Read, Jr.が1952年に発表した、半導体中における正孔と電子の再結合に関する論文で提示された統計的取り扱い法に基づいている。本ページでの導出内容は元の論文の再現ではなく、本マニュアルの他の箇所で用いられている速度記法を用いて記述された、現代的なデバイスシミュレーション向けの導出結果である。

参考文献：W. ShockleyおよびW. T. Read, Jr. 「正孔と電子の再結合に関する統計論」 , 物理レビュー第87巻、第5号、835–842ページ、1952年。