쇼클리-리드-홀 재결합 방정식의 유도
1. 가장 단순한 형태의 쇼클리-리드-홀(SRH) 재결합
쇼클리-리드-홀(SRH) 재결합은 가장 단순한 형태로 ??에 나타난 두 단계 과정으로 설명될 수 있다. 첫 번째 단계(a)에서는 전하 캐리어가 밴드갭 내에 위치한 국소화된 트랩 상태에 포획된다. 그 후 두 번째 단계(b)에서는 반대 부호를 지닌 전하 캐리어가 동일한 트랩 상태를 통해 포획된 캐리어와 재결합한다. 이러한 단순한 물리적 모델을 바탕으로 반도체 소자 물리학에서 널리 사용되는 고전적인 SRH 재결합 방정식이 도출된다.
\[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \]
하지만 쇼클리, 리드, 홀의 초기 연구에서는 물리적 모델이 훨씬 상세하게 정립되었습니다. 단순히 캐리어의 트랩 상태 포획 후 재결합만을 고려하는 것이 아니라, 이 이론에서는 캐리어 포획 및 열적 방출 과정과 관련된 네 가지 상호 경쟁적인 캐리어 전이율을 규정합니다. 이러한 전이 과정들은 열평형 상태에서 세부균형 조건을 만족하며 ??에 그림으로 나타나 있습니다.
네 가지 과정은 다음과 같습니다:
- \(r_{ec}\): 트랩 상태로의 전자 포획 과정.
- \(r_{ee}\): 트랩 상태로부터 전자의 열적 방출 현상.
- \(r_{hc}\): 트랩 상태로의 정공 포획.
- \(r_{he}\): 트랩 상태로부터의 정공 열적 방출.
이 네 가지 속도를 이용하면 트랩 상태의 점유 확률을 전하 캐리어 포획률 방정식을 통해 기술할 수 있다.
\[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]
정상상태 조건 하에서 이 방정식을 수학적으로 풀어냄으로써 쇼클리, 리드, 홀은 앞서 제시된 전형적인 SRH 재결합 식을 도출해냈다. 아래의 유도 과정은 SRH 모델의 기본 가정들로부터 시작하여 정상상태 재결합 방정식에 이르기까지 체계적으로 진행된다. 이 과정에서 SRH 방정식의 과도상태 혹은 비평형 형태가 자연스럽게 도출된다. 이 비평형 형태가 바로 OghmaNano 내부에 구현된 트랩 모델의 기초가 된다.
2. 트랩 상태에서의 캡처 및 방출 과정
쇼클리-리드-홀(SRH) 모델은 반도체의 밴드갭 내에 존재하는 국소화된 트랩 상태를 통한 재결합 현상을 설명한다. ??에 나타난 바와 같이, 에너지가 \(E_t\)인 단일 트랩 레벨을 가정해보자. 이 트랩은 캡처 및 열적 방출 과정을 통해 전도대와 가전대 양쪽 모두와 전하 캐리어를 교환할 수 있다.
전도대에 있는 전자는 트랩 상태로 이동할 수 있으며, 마찬가지로 가전도대에 있는 정공도 해당 트랩 상태에 의해 포획될 수 있다. 이러한 포획 과정은 전하 캐리어들이 에너지가 더 높은 상태에서 에너지가 낮은 국소화된 상태로 이동하는 현상을 의미한다.
반면에 트랩 상태에 갇힌 전하 캐리어 역시 열적 작용에 의해 다시 전도대나 가전대로 탈출할 수 있다. 전자 방출 과정에서는 트랩 상태에 있는 전자가 충분한 열에너지를 얻어 트랩 준위에서 전도대 가장자리로 이동해야 한다. 마찬가지로 정공 방출은 트랩 준위에서 가전대로의 여기를 의미한다.
에너지적으로 더 높은 준위로 이동해야 하는 전하 캐리어의 이동 과정들은 열적으로 활성화되므로, 볼츠만 분포에 따른 확률에 비례하여 발생한다.
\[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \]
여기서 \(\Delta E\)은 극복해야 할 에너지 장벽을 의미합니다. 따라서 높은 에너지 장벽은 열적 방출 과정을 지수함수적으로 억제합니다. 반면에 에너지가 낮은 트랩 상태로의 캡처 과정은 에너지적으로 하향 과정이므로 열적 활성화가 필요하지 않습니다. 그러므로 캡처 과정에는 에너지 장벽을 극복하는 데 따른 지수함수적 억제 인자가 존재하지 않습니다.
따라서 에너지 준위가 깊은 트랩 상태는 캐리어를 효과적으로 포획하지만 방출은 매우 느리게 일어납니다. 반면에 전도대 또는 가전자대 가장자리에 가까이 위치한 얕은 트랩 상태는 캐리어와 대역 간의 교환을 훨씬 빠르게 수행합니다.
전자 및 정공의 캡처 계수는 다음과 같이 표현됩니다.
\[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \]
여기서 \(v_{th}\)은 열속도를 나타내며, \(\sigma_n\)와 \(\sigma_p\)는 각각 전자 및 정공의 캡처 단면적입니다.
열적 방출 계수는 다음과 같이 표현된다.
\[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \]
\[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]
3. 트랩 점유 상태와 SRH 전이율
위에서 언급한 캡처 계수와 방출 계수는 단일 트랩 상태와 관련된 전이 확률을 나타냅니다. 하지만 실제 전이 속도는 해당 트랩이 점유 상태인지 비점유 상태인지에 따라서도 달라집니다.
트랩의 점유 확률을 \(f\)로 표기하자. 트랩은 국소화된 전자 상태이므로, 캐리어들이 트랩 내 에너지 분포에 따라 열적으로 평형 상태에 도달할 수 있다는 가정 하에 그 점유 상태는 페르미-디랙 통계를 따른다.
\[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \]
따라서 점유된 트랩 상태의 수 밀도는
\[ n_t=N_t f, \]
한편 빈 트랩 상태의 상태밀도는
\[ N_t(1-f). \]
전자의 포획 과정에는 빈 트랩 상태가 필요하므로 이는 \(f\)에 비례합니다. 정공의 포획 과정에는 전자로 이미 점유된 트랩 상태가 필요하므로 이는 \(1-f\)에 비례합니다. 이러한 점유 상태에 따른 의존성이 바로 SRH 모델의 핵심적인 통계적 특징입니다.
??에 제시된 네 가지 기본 전이율은 다음과 같이 표현된다.
\[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \]
\[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \]
4. 트랩 점유도의 과도 상태 방정식
시간 의존적 SRH 방정식은 트랩 상태의 점유 변화율을 수식화함으로써 도출된다. 전자의 포획 과정은 트랩을 채우는 반면 전자의 방출은 트랩을 비우게 된다. 정공의 포획은 재결합을 통해 트랩을 비우며, 정공의 방출은 원자가대 전자를 제거함으로써 트랩을 채우게 된다. 따라서 ??에서 사용된 표기법을 적용하면 다음과 같다.
이제 드리프트-확산 연속 방정식에 등장하는 재결합률을 유도하는 과정을 이어가겠습니다. 이 항들은 앞서 설명한 SRH 재결합 과정을 통해 전도대, 가전자대 및 트랩 상태 간에서 발생하는 캐리어의 순손실 및 순증가를 나타냅니다.
\(n_t=N_t f\) 이후로 이는 동일한 의미를 갖는다.
\[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]
네 가지 기본 반응률을 대입하면
\[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \]
\(N_t\)로 양변을 나누면 트랩 점유 방정식은 다음과 같이 된다.
\[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \]
이것은 단일 레벨 SRH 모델의 과도 상태 방정식이다. 트랩 점유도가 동적으로 변하는 변수인 경우, 예컨대 과도 상태 시뮬레이션, 느린 트랩 포획 현상, 트랩 충전 과정 또는 트랩에 포획된 전하가 포아송 방정식에 영향을 미치는 비평형 상태 시뮬레이션에서 이 방정식을 사용해야 한다.
해당하는 과도 상태의 재결합 항들은 다음과 같습니다.
\[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \]
\[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \]
평형 상태가 아닐 때는 \(R_n\)과 \(R_p\)가 반드시 같을 필요는 없으며, 이 둘의 차이는 트랩에 포획된 전하 밀도에 영향을 미친다. 평형 상태에서는 트랩의 점유 확률이 일정하게 유지되므로 두 순 재결합률 역시 서로 같아진다.
드리프트-확산 연속 방정식과의 연계: 앞서 도출된 순 재결합률 \(R_n\) 및 \(R_p\)는 전자 및 정공의 드리프트-확산 연속 방정식에 직접 입력된다. 참고 항목: 드리프트-확산 연속 방정식.
유한차분 시간영역법(FDTD) 기반의 과도 상태 SRH 방정식이 무질서한 반도체 소자 내 분포형 트랩 상태에 대해 어떻게 적용되는지 확인하려면 무질서한 반도체 내 분포형 트랩 상태 모델링을 참조하십시오.
5. 평형 상태에서의 트랩 점유도
이후의 유도 과정에서는 앞서 도출된 과도 상태의 SRH 속도 방정식에 대한 해석적인 정상상태 해를 구하는 데 중점을 둡니다. 트랩의 점유 확률이 시간에 따라 더 이상 변하지 않는다고 가정하면, 포획 및 방출 과정을 분석적으로 단순화하여 반도체 소자 물리학 및 드리프트-확산 모델링 전반에서 사용되는 전형적인 쇼클리-리드-홀 재결합 방정식을 얻을 수 있습니다. 전형적인 SRH 재결합 방정식을 도출하기 위해, 이제 정상상태에서의 트랩 점유 확률을 가정합니다.
\[ \frac{df}{dt}=0. \]
따라서 과도 상태에서의 속도 방정식은 다음과 같다.
\[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]
이 등식은 전자의 순 포획률이 정공의 순 포획률과 같다는 것을 의미합니다. 다시 말해, 평형 상태에서는 트랩 상태에 전하가 축적되지 않으며 오직 ??에 나타난 재결합 과정만을 매개할 뿐입니다.
열적 방출 계수들은 평형 상태의 기준 캐리어 밀도인 \(n_1\) 및 \(p_1\)를 이용해 다시 표현할 수 있다.
\[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \]
여기서
\[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]
변수 \(n_1\)와 \(p_1\)는 트랩 에너지에 대응하는 평형 기준 캐리어 밀도입니다. 물리적으로 이 값들은 트랩 상태로부터 전자 및 정공이 방출되는 과정을 조절하는 열적 활성화 장벽을 나타냅니다.
\(e_n=c_n n_1\)과 \(e_p=c_p p_1\)를 정상상태 트랩 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과가 도출된다.
\[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \]
\(1-f\) 및 \(f\)에 비례하는 항들을 모아보면
\[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \]
점유된 트랩 상태의 비율을 구하면 다음과 같다
\[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
빈 트랩 상태의 비율은
\[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
6. 고전적인 정상상태 SRH 방정식의 유도
평형 상태에서의 SRH 재결합률은 전자 균형식 또는 정공 균형식을 이용해 표현할 수 있다.
\[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]
전자 균형식을 활용하여
\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \]
\(f\) 및 \(1-f\)의 평형 상태 값들을 대입하면
\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \]
\(c_n n n_1\) 항들은 상쇄되어 사라집니다.
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
열평형 상태에 있는 반도체의 경우
\[ n_1p_1=n_i^2. \]
따라서 고전적인 정상상태에서의 쇼클리-리드-홀 재결합률은 다음과 같이 표현된다.
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
마지막으로, SRH 수명을 다음과 같이 정의한다.
\[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \]
표준 교과서 형태가 도출된다:
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \]
이 최종 식은 앞서 제시된 속도 방정식의 간결한 정상상태 형태입니다. 이 식에는 ??에서 설명된 바와 같이 캡처 및 방출 과정이 포함되어 있으나, 트랩의 점유 확률은 수학적으로 제거된 형태로 표현됩니다.
7. 역사적 배경
여기서 도출된 트랩 매개 재결합 모델은 W. Shockley와 W. T. Read, Jr.가 1952년에 발표한 반도체 내 전자와 정공의 재결합에 관한 논문에서 제시된 통계적 접근법을 기반으로 한다. 본 페이지에서 제시된 유도 과정은 원본 문헌의 재현이 아니라, 본 매뉴얼 내 다른 부분에서 사용되는 반응률 표기법을 활용하여 작성된 현대적인 소자 시뮬레이션용 유도 과정이다.
유한차분 시간영역법(FDTD) 시뮬레이션에서 트랩 상태에 의한 캐리어 포획 과정을 직접 확인하려면 무질서한 반도체 소자 내 분포형 트랩 상태 모델링을 참조하십시오.
참고문헌: W. Shockley와 W. T. Read, Jr., “정공과 전자의 재결합 통계”, Physical Review, 제87권, 제5호, 835–842쪽, 1952년.