Poisson-Gleichung und Elektrostatik in Drift-Diffusionsmodellen

Die Elektrostatik ist eine zentrale Komponente der Drift-Diffusions-Modellierung und bestimmt, wie sich das elektrische Potenzial, die Ladungsdichte und die Energieniveaus innerhalb eines Bauelements verändern. Das elektrostatische Potenzial beeinflusst die Bandbiegung, die Ladungsträgerverteilung und letztendlich die Rekombinations- und Transportprozesse.

1. Definition

Das in ?? dargestellte Energiediagramm veranschaulicht, wie sich die Ränder des Leitungs- und Valenzbandes innerhalb eines Bauelements verändern. Die rote Linie entspricht dem Rand des Leitungsbandes \(E_C\), während die blaue Linie dem Rand des Valenzbandes \(E_V\) entspricht. Die Trennung zwischen ihnen definiert die Bandlücke \(E_g\).

Um die absolute Energieskala zu definieren, führen wir die Elektronenaffinität \(\chi\) ein, die die Energiedifferenz zwischen dem Vakuumniveau und dem Rand des Leitungsbandes in Abwesenheit eines elektrostatischen Potentials festlegt. Dies stellt eine materialabhängige Referenz für die Bandstruktur dar.

In Anwesenheit eines elektrostatischen Potentials \(\phi(x)\) (das durch eine Ladung verursacht wird), wird der Rand des Leitungsbandes um die elektrostatische Energie \(-q\phi(x)\) verschoben, sodass

\[E_{\mathrm{C}}(x) = -\chi - q\phi(x)\]

Die Energie des Bandrandes des Valenzbandes wird dann durch Subtraktion der Bandlücke \(E_g\) ermittelt.

\[E_{\mathrm{V}}(x) = -\chi - E_g - q\phi(x)\]

Die räumliche Variation von \(E_C(x)\) und \(E_V(x)\), wie in ?? dargestellt, ergibt sich aus der Positionsabhängigkeit des elektrostatischen Potentials \(\phi(x)\) (in Abwesenheit von Heteroübergängen). Dieses Potential wird selbstkonsistent durch die Lösung der Poisson-Gleichung über das gesamte Bauelement ermittelt und bestimmt direkt die Bandbiegung, die den Ladungsträgertransport und die Rekombination steuert.

2. Berechnung des elektrostatischen Potenzials aus der Ladungsverteilung

In der Physik von Halbleiterbauelementen wird das elektrostatische Potenzial mithilfe der Poisson-Gleichung berechnet, die die Divergenz des elektrischen Feldes mit der lokalen Ladungsdichte in Beziehung setzt:

\[ \nabla \cdot \bigl( \epsilon_0 \epsilon_r \nabla \phi \bigr) = -q \left( n_f + n_t - p_f - p_t - N_{ad} + N_{ion} + a \right), \]

wobei \(n_f\) und \(p_f\) die Konzentrationen freier Elektronen bzw. Löcher darstellen, während \(n_t\) und \(p_t\) die entsprechenden Konzentrationen der eingeschlossenen Ladungsträger sind. Der Begriff \(N_{ad}\) steht für die Konzentration der ionisierten Dotierstoffe, \(N_{ion}\) berücksichtigt die Hintergrund-Ionenladung (z. B. fixierte Ionen in Perowskitschichten), und \(a\) bezeichnet mobile Ionen, die sich als Reaktion auf das lokale Feld bewegen können. Die Permittivitäten \(\epsilon_0\) und \(\epsilon_r\) bestimmen die Stärke der elektrostatischen Reaktion.

Diese Formulierung berücksichtigt alle relevanten Beiträge zur Raumladung: freie und gebundene Ladungsträger, gezieltes Dotieren sowie sowohl statische als auch mobile ionische Spezies. Sie ist besonders wichtig für Hybridmaterialien wie organische Materialien und Halogenid-Perowskite, bei denen die Bewegung von Ionen und die Anwesenheit von Ladungsträgerfallen das elektrostatische Potenzial stark beeinflussen und Phänomene wie Hysterese und langsame Übergangsprozesse verursachen.