Integrierte Potentialfunktion in Drift-Diffusions-Simulationen
Das inhärente Potential \(V_{bi}\) ist das interne elektrostatische Potential, das entsteht, wenn zwei Kontakte oder Halbleiterbereiche mit unterschiedlichen Fermi-Niveaus in elektrischen Kontakt gebracht werden. In Drift-Diffusions-Simulationen bestimmt das inhärente Potential die Gleichgewichtskrümmung der Energiebänder, legt das anfängliche elektrische Feld fest und definiert den Ausgangspunkt für die Lösung der Poisson-Gleichung und der Gleichungen zur Beschreibung der Ladungsträgerkontinuität.
Abbildung ?? zeigt die Entstehung eines eingebauten Potentials durch die Ausrichtung der Fermi-Niveaus. In Teil (a) sind die beiden Materialien voneinander getrennt. Das Material links enthält eine hohe Konzentration an Löchern, während das Material rechts eine hohe Konzentration an Elektronen aufweist. Da die beiden Materialien noch keinen elektrischen Kontakt haben, sind ihre elektrochemischen Potentiale unabhängig voneinander, und ihre Fermi-Niveaus müssen nicht aufeinander abgestimmt sein.
Wenn die beiden Materialien, wie in Abbildung (b) schematisch dargestellt, in Kontakt gebracht werden, können sich die Ladungsträger zwischen ihnen neu verteilen. Elektronen bewegen sich von dem Material mit dem höheren elektrochemischen Potential der Elektronen zu dem Material mit dem niedrigeren elektrochemischen Potential der Elektronen, während sich Löcher in die entgegengesetzte Richtung verteilen. Dieser Ladungstransfer kann nicht unbegrenzt fortgesetzt werden: Er hinterlässt ionisierte Ladung und erzeugt ein internes elektrisches Feld. Im thermodynamischen Gleichgewicht verschwindet die gesamte treibende Kraft für die Bewegung der Ladungsträger, und das Fermi-Niveau wird über die gesamte kombinierte Struktur hinweg räumlich konstant.
Abbildung (c) zeigt das entsprechende Energiediagramm, nachdem das Gleichgewicht erreicht wurde. Die untere Kante des Leitungsbandes \(E_C\) und die obere Kante des Valenzbandes \(E_V\) krümmen sich an der Grenzfläche, da sich das elektrostatische Potenzial mit der Position ändert. Das interne Potenzial \(\Phi_i\) ist die elektrostatische Potentialdifferenz, die erforderlich ist, um die Fermi-Niveaus der beiden ursprünglich getrennten Materialien auszurichten. Entsprechend ist es der Potentialabfall, der mit dem internen elektrischen Feld verbunden ist, das durch die Umlagerung der Ladung entsteht.
Es handelt sich hierbei um denselben physikalischen Mechanismus, der die in einer Halbleiterverbindung oder zwischen zwei asymmetrischen Kontakten in einem Bauelement entstehende interne Spannung erzeugt. Vor dem Kontakt können die beiden Seiten unterschiedliche Arbeitsfunktionen, Trägerdichten oder Fermi-Niveaus aufweisen. Nach dem Kontakt erfordert das Gleichgewicht ein einziges Fermi-Niveau, und die Differenz wird durch Bandbiegung und ein internes elektrostatischs Potential ausgeglichen. In Drift-Diffusions-Simulationen wird dieses interne Potential über das elektrostatische Potential berücksichtigt und modifiziert somit die lokalen Trägerdichten, den Stromfluss und die Injektionsbarrieren an den Kontakten.
2. Berechnung des eingebauten Potentials
Die folgende Herleitung zeigt die in der Simulation verwendete Gleichung für das interne Potential, die sich aus den Kontaktladungs- und Lochdichten ableitet und nicht aus den Dotierstoffkonzentrationen. Diese Form ist nützlich für organische Halbleiter, Dünnschicht-Solarzellen, OLEDs und andere Bauelemente, bei denen die Trägerdichte an der Oberfläche direkt angegeben wird.
Bei Drift-Diffusions-Simulationen besteht der erste Schritt darin, das in der Baustruktur des Bauelements vorhandene Potential zu bestimmen. Dieses ergibt sich aus der Anforderung, dass das Fermi-Niveau im Gleichgewichtszustand räumlich konstant sein muss (siehe ??). Wenn die beiden Kontakte unterschiedliche Trägerdichten aufweisen, kann diese Bedingung nur durch die Bildung eines internen elektrostatischen Potentials erfüllt werden. Hier werden die Bandkanten als \(E_C\) und \(E_V\) bezeichnet; in organischen Halbleitern werden diese äquivalent durch die LUMO- und HOMO-Niveaus \(E_{LUMO}\) und \(E_{HOMO}\) dargestellt.
In den folgenden Gleichungen bezeichnet \(\phi\) die Änderung des elektrostatischen Potentials und \(V_{bi}\) das gesamte, in der Komponente vorhandene Potential.
Um das vorhandene Potenzial zu bewerten, sind die folgenden Größen erforderlich:
- Die Trägerkonzentrationen an den Kontakten \(n\) und \(p\).
- Die effektiven Zustandsdichten, \(N_c\) und \(N_v\).
- Die effektive Bandlücke, \(E_g\).
Der linke Kontakt wird als Referenzpunkt mit einem elektrostatischen Potenzial von \(0\) V verwendet. Die entsprechenden Bandkanten sind daher
\[ E_C = -\chi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g \]
Unter der Annahme der Maxwell-Boltzmann-Statistik betragen die Trägerkonzentrationen auf der linken Seite:
\[ n_l = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_l = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]
Im Gleichgewichtszustand ist das Fermi-Niveau \(F\) im gesamten Bauelement konstant. Wenn der rechte Kontakt unterschiedliche Trägerdichten vorgibt, wird diese Bedingung durch eine Verschiebung der Bandkanten mittels eines elektrostatischen Potentials \(\phi\) erfüllt:
\[ E_C = -\chi - q\phi \quad,\quad E_V = -\chi - E_g - q\phi \]
Die Trägerkonzentrationen auf der rechten Seite werden dann zu:
\[ n_r = N_c \exp\!\left(\frac{F - E_C}{kT}\right) \quad,\quad p_r = N_v \exp\!\left(\frac{E_V - F}{kT}\right) \]
Das im Drift-Diffusions-Modell enthaltene Potenzial ist daher die elektrostatische Verschiebung, die erforderlich ist, um die vorgegebenen Trägerdichten an den Rändern mit einem einzigen, räumlich konstanten Fermi-Niveau in Einklang zu bringen. Der explizite Ausdruck für \(\phi\) ergibt sich direkt aus dieser Bedingung.
2.1 In das System integrierte Potentialgleichung, die auf Trägerdichten basiert.
Durch Umordnung des Ausdrucks für die Elektronendichte.
\[ n = N_c \exp\!\left(\frac{F-E_C}{kT}\right) \quad \Rightarrow \quad F - E_C = kT \ln\!\left(\frac{n}{N_c}\right) \]
Wenn man dies bei jeder Berührung (vor der elektrostatischen Ausrichtung) überprüft, erhält man
\[ F_l = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \quad,\quad F_r = -\chi + kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) \]
Im Gleichgewichtszustand müssen die Fermi-Niveaus übereinstimmen, wodurch ihre anfängliche Differenz in eine elektrostatische Potentialdifferenz umgewandelt wird:
\[ qV_{bi} = F_r - F_l \]
Durch Einsetzen erhält man:
\[ qV_{bi} = kT \ln\!\left(\frac{n_r}{N_c}\right) - kT \ln\!\left(\frac{n_l}{N_c}\right) \]
und daher
\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{n_r}{n_l}\right) \]
Alternativ kann man die Lochdichte verwenden.
\[ V_{bi} = \frac{kT}{q} \ln\!\left(\frac{p_l}{p_r}\right) \]
Diese Form der eingebauten Potentialgleichung wird intern in Drift-Diffusions-Simulationen verwendet, wobei die Trägerdichten an den Kontakten direkt angegeben werden.
Dieses Verfahren bestimmt sowohl das in der Struktur vorhandene Potential als auch die zugehörigen Konzentrationen von Minoritätsträgern an den Kontakten. Es wird eine unendliche Rekombinationsgeschwindigkeit angenommen, sodass die Trägerkonzentrationen durch das lokale Gleichgewicht festgelegt werden. Endliche Rekombinationsgeschwindigkeiten führen zusätzliche Parameter ein und sind in der Regel nicht erforderlich, um die experimentellen Eigenschaften der Bauelemente nachzubilden.
Warum ist das vorhandene Potenzial von Bedeutung?
Das eingebaute Potential bestimmt das interne elektrische Feld des Bauelements und steuert somit die Ladungstrennung, -injektion und -extraktion. Fehler bei der Berechnung wirken sich direkt auf die vorhergesagten Strom-Spannungs-Kennlinien und die Rekombinationsprofile aus.
Da wir das vorhandene Potenzial kennen, können wir eine erste Schätzung des Potenzialprofils über das gesamte Bauelement mithilfe einer linearen Approximation erstellen. Daraus lassen sich ungefähre Ladungsträgerdichten ableiten. Diese dienen als Ausgangswerte für den Haupt-Newton-Solver, der dann das selbstkonsistente Potenzial und die Ladungsträgerverteilungen berechnet. Der Newton-Solver wird im folgenden Abschnitt beschrieben.