Halbleiter-Schnittstellenmodelle in OghmaNano: Drift-Diffusions-Modell, Tunnelmodell und Dotierung mit Ladungsträgern
1. Einführung in Schnittstellen
Grenzflächen spielen eine zentrale Rolle in der Physik von Halbleiterbauelementen, da sie bestimmen, wie sich Ladungsträger innerhalb eines Bauelements bewegen. Durch die gezielte Gestaltung von Energieunterschieden zwischen Materialien können Grenzflächen Elektronen und Löcher einschließen, unerwünschte Ladungsträgerbewegungen blockieren oder die Ladungsextraktion selektiv unterstützen. Nahezu alle modernen Halbleiterbauelemente nutzen Grenzflächen zur Steuerung des Ladungstransports, darunter Heterostruktur-Solarzellen, OLEDs, OFETs, Tunnelübergänge, Perowskit-Bauelemente und Quantenwellenstrukturen.
Im Rahmen einer Drift-Diffusions-Simulation werden Grenzflächen durch Diskontinuitäten in Materialparametern wie Elektronenaffinität, Bandlücke, Zustandsdichte, Beweglichkeit oder Permittivität dargestellt. Diese Diskontinuitäten erzeugen Versetzungen in den Leitungs- und Valenzbändern, wodurch der lokale Ladungsträgertransport verändert wird. Je nach energetischer Ausrichtung kann eine Grenzfläche entweder die Ladungsträgerübertragung unterstützen oder den Stromfluss unterdrücken.
In OghmaNano besteht die einfachste Methode zur Behandlung der Grenzfläche darin, überhaupt kein zusätzliches Modell für den Ladungstransport an der Grenzfläche zu verwenden und stattdessen die Standard-Drift-Diffusions-Gleichungen zu nutzen, um den Ladungstransport auf natürliche Weise anhand der lokalen Bandstruktur und der Gradienten des quasi-Fermi-Niveaus zu bestimmen. Zusätzliche Modelle, wie z. B. Tunnel- oder Sprungeffekte, können dann bei Bedarf zusätzlich zu dieser grundlegenden Beschreibung hinzugefügt werden, wenn weitere Transportmechanismen erforderlich sind.
2. Drift-Diffusionsprozess an Grenzflächen
Das einfachste Schnittstellenmodell geht davon aus, dass sich Ladungsträger direkt über eine Heteroverbindung hinweg bewegen und diffundieren können, und zwar in Abhängigkeit vom lokalen elektrostatischen Potenzial und den Gradienten der Ladungsträgerdichte. In diesem Fall werden an der Schnittstelle keine expliziten Tunnel- oder Sprungströme berücksichtigt. Stattdessen bestimmen die Drift-Diffusions-Gleichungen den Ladungsträgertransport selbstkonsistent ausgehend von der lokalen Bandstruktur.
Ein Beispiel dafür ist in ?? dargestellt. Hier weist das Leitungsband einen abrupten Energiesprung mit einer Höhe von \(\phi\) auf. Elektronen, die sich der Grenzfläche nähern, müssen diese Barriere durch herkömmliche Drift- und Diffusionsprozesse überwinden. Wenn die Energiedifferenz zunimmt, nimmt die Trägerdichte oberhalb der Barriere exponentiell ab, was den Stromfluss über die Grenzfläche auf natürliche Weise reduziert.
Die numerische Darstellung der Heteroverbindung hängt stark von der räumlichen Auflösung des verwendeten Gitters ab. Wenn die Grenzfläche mit einem sehr feinen Gitter dargestellt wird, wird der Energieunterschied größer und das resultierende elektrische Feld an der Grenzfläche nimmt deutlich zu. Unter diesen Bedingungen können die Drift-Diffusions-Gleichungen ein sehr starkes Verhalten der Ladungsträgerblockade vorhersagen. Umgekehrt wird, wenn die Grenzfläche mit weniger Gitterpunkten dargestellt wird, der Energieübergang flacher, wodurch der lokale Gradient reduziert und es den Ladungsträgern ermöglicht wird, leichter über die Verbindung zu diffundieren.
In der Praxis bedeutet dies, dass Grenzflächen oft eine relativ feine Rasterung erfordern, wenn ihr vollständiges Blockierverhalten präzise erfasst werden soll. Dies ist besonders wichtig für stark variierende Heteroübergänge, dünne Transportschichten und stark lokalisierte elektronische Strukturen.
Standardmäßig driften und diffundieren Ladungsträger in OghmaNano bereits über die Grenzflächen hinweg, und zwar entsprechend den Gradienten der Leitungs- und Valenzbänder. Aufwärtsgerichtete Bandversätze unterdrücken den Ladungsträgerfluss, während abwärtsgerichtete Ausrichtungen eine einfache Ladungsträgerübertragung ermöglichen. Die unten beschriebenen zusätzlichen Grenzflächenmodelle ergänzen dieses grundlegende Drift-Diffusions-Modell und bieten zusätzliche Transportkanäle, die Ladungsträgern dabei helfen können, energetische Barrieren zu überwinden.
3. Direkter Tunnelbau
Bei ausreichend dünnen Grenzschichten kann der quantenmechanische Tunneleffekt einen zusätzlichen Transportweg über eine energetische Barriere ermöglichen. Anstatt dass Ladungsträger die gesamte Bandverschiebung thermisch überwinden müssen, kann die Wellenfunktion der Ladungsträger in den klassisch verbotenen Bereich eindringen, was zu einer endlichen Wahrscheinlichkeit für die Übertragung über die Grenzschicht führt.
Ein Beispiel für diesen Prozess ist in ?? dargestellt. Hier enthält das Leitungsband einen heterostrukturellen Energiesprung mit einer Höhe von \(\phi\). Der schattierte Bereich oberhalb der Barriere stellt die exponentiell abklingende Wellenfunktion der Ladungsträger innerhalb des verbotenen Bereichs dar. Obwohl die Energie der Ladungsträger unterhalb der Barrierenhöhe liegt, bleibt die Wellenfunktion an der Grenzfläche endlich, was das Entstehen eines geringen Tunnelstroms ermöglicht.
Die Stromdichte beim Tunnelvorgang lässt sich durch eine WKB-Formel der folgenden Art annähern:
\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2mq\phi} \right) \]
Hierbei ist \(A\) ein Präfaktor, der Material- und geometrische Konstanten enthält, \(V\) ist die angelegte Vorspannung, \(\phi\) ist die Barrierehöhe, \(m\) ist die effektive Masse der Ladungsträger, \(d\) ist die effektive Barrieredicke, \(q\) ist die Elementarladung und \(\hbar\) ist die reduzierte Planck-Konstante. Die exponentielle Abhängigkeit ergibt sich aus dem Abklingen der Wellenfunktion der Ladungsträger innerhalb des verbotenen Bereichs. Dickere Barrieren oder größere energetische Unterschiede unterdrücken den Tunnelstrom daher exponentiell.
In OghmaNano wird dieser Ausdruck in einer vereinfachten Form implementiert:
\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -B\sqrt{\phi} \right) \]
Hier fasst der Parameter \(B\) die Barrieredicke, die effektive Masse und andere physikalische Konstanten in einem einzigen Anpassungsparameter zusammen. Diese vereinfachte Form erfasst die vorherrschende exponentielle Abhängigkeit des Tunnelstroms von der Barrierenhöhe und bleibt dabei numerisch effizient. Die mit diesem Modell verbundenen Parameter können mithilfe des Interface-Editors konfiguriert werden.
4. Transport durch Grenzflächenvermittlung (organisch–organisch)
An organischen Heteroübergängen wird der Ladungsträgertransport über die Grenzfläche häufig durch lokalisierte Zustände und nicht durch einen direkten Bandtransport vermittelt. In diesem Regime verhält sich die Grenzfläche wie eine begrenzte Leitfähigkeit, die es den Ladungsträgern ermöglicht, zwischen den beiden Materialien durch gefangene Zustände oder durch einen Art „Hüpfen“ zu wandern.
Das OghmaNano-Modell stellt dieses Verhalten phänomenologisch als eine lineare Reaktion auf die Abweichung vom Gleichgewicht dar, wobei sichergestellt wird, dass der Transferstrom im Gleichgewichtszustand verschwindet und mit zunehmender Ladungsträgerungleichheit über die Grenzfläche hinweg ansteigt.
Für Löcher: \[\boldsymbol{J_p} = q T_{h}\,\big((p_{1}-p_{1}^{eq})-(p_{0}-p_{0}^{eq})\big),\] und für Elektronen: \[\boldsymbol{J_n} = -q T_{e}\,\big((n_{1}-n_{1}^{eq})-(n_{0}-n_{0}^{eq})\big).\]
Hierbei sind \(T_{h}\) und \(T_{e}\) phänomenologische Transferkoeffizienten, die die Stärke der Kopplung über die Grenzfläche beschreiben. Diese Formulierung entspricht der Einführung einer zweiseitigen Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeit oder einer Grenzflächenleitfähigkeit und kann als die linearisierte Form des durch Fallen unterstützten oder durch Sprung vermittelten Transfers zwischen lokalisierten Zuständen interpretiert werden.
Das Modell sollte daher als ein effektiver Transportkanal betrachtet werden, der den Drift-Diffusions-Gleichungen überlagert ist und einen Stromfluss über energetische Barrieren ermöglicht, die ansonsten den Ladungsträgertransport stark unterdrücken würden. Die mit diesem Modell verbundenen Parameter können mithilfe des Interface-Editors konfiguriert werden.
Fowler-Nordheim-Tunneling
Bei ausreichend starken elektrischen Feldern kann sich die Form einer Grenzflächenenergiebarriere stark verformen und von einer annähernd rechteckigen Barriere in eine dreieckige Barriere übergehen. Unter diesen Bedingungen können Ladungsträger durch die verengte Barriere hindurchtunneln, und zwar durch einen Prozess, der als Fowler-Nordheim-Tunneln bekannt ist. Dieser Mechanismus ist besonders wichtig in dünnen dielektrischen Schichten, Tunnelübergängen und Halbleitergrenzflächen mit hohen elektrischen Feldern, wo der herkömmliche Drift-Diffusions-Transport nicht mehr ausreicht, um den Ladungsträgerstrom zu beschreiben.
Eine vereinfachte Formel für die Fowler–Nordheim-Stromdichte lautet:
\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V^2 \exp\left( -\frac{4d\sqrt{2m}q\phi^{3/2}} {3\hbar V} \right) \]
Hierbei ist \(A\) ein Vorfaktor, der Material- und geometrische Konstanten enthält, \(V\) ist die angelegte Vorspannung, \(d\) ist die effektive Barrieredicke, \(m\) ist die effektive Masse der Ladungsträger, \(q\) ist die Elementarladung, \(\phi\) ist die Barrierehöhe, die aus der lokalen Bandstruktur berechnet wird, und \(\hbar\) ist die reduzierte Planck-Konstante. Die charakteristische Abhängigkeit \(\phi^{3/2}/V\) ergibt sich aus der dreieckigen Form der Barriere, die unter starken elektrischen Feldern entsteht.
Innerhalb von OghmaNano kann dieser Transportmechanismus mithilfe der vereinfachten, phänomenologischen Formel dargestellt werden:
\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V^2 \exp\left( -\frac{B\phi^{3/2}}{V} \right) \]
Hierbei fasst der Anpassungsparameter \(B\) die Barrieredicke, die effektive Masse und andere physikalische Konstanten in einem einzigen numerischen Parameter zusammen. Diese vereinfachte Form bewahrt die vorherrschende Feldabhängigkeit des Fowler-Nordheim-Transports und bleibt gleichzeitig recheneffizient.
In zukünftigen Versionen von OghmaNano könnte die Unterstützung für das Fowler-Nordheim-Tunneln hinzugefügt werden.
Thermoelektronische Emission
Die thermionische Emission beschreibt den Transport von Ladungsträgern über eine Energiebarriere hinweg durch thermische Aktivierung. Bei diesem Mechanismus erlangen die Ladungsträger ausreichend thermische Energie, um die Grenzflächenbarriere zu überwinden, anstatt sie durch Quantentunnelung zu durchdringen. Die thermionische Emission wird häufig bei Schottky-Kontakten, Halbleiter-Heteroübergängen und Metall-Halbleiter-Grenzflächen beobachtet.
Eine vereinfachte Formel für die thermionische Emissionsstromdichte lautet:
\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})T^2 \exp\left( -\frac{ q\phi - q\sqrt{\frac{qV}{4\pi\epsilon d}} } {kT} \right) \]
Hierbei ist \(A\) ein Vorfaktor, der Material- und geometrische Konstanten enthält, \(T\) die Temperatur, \(V\) die angelegte Vorspannung, \(\phi\) die Barrierehöhe, \(\epsilon\) die Permittivität, \(d\) die effektive Barrieredicke, \(q\) die Elementarladung und \(k\) die Boltzmann-Konstante. Die Abhängigkeit von \(\sqrt{V}\) beschreibt die Verringerung der Barrierehöhe durch Bildkraft unter dem Einfluss eines angelegten elektrischen Feldes.
Innerhalb von OghmaNano kann dieser Mechanismus mithilfe der vereinfachten Form dargestellt werden:
\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})T^2 \exp\left( -\frac{ q\phi - B\sqrt{V} }{kT} \right) \]
Hier erfasst der Parameter \(B\) die effektive, durch das angelegte Feld verursachte Absenkung der Potentialbarriere sowie die damit verbundenen Materialkonstanten. Diese vereinfachte Form behält die vorherrschende Temperatur- und Feldabhängigkeit der thermionischen Emission bei, reduziert aber gleichzeitig die numerische Komplexität.
In zukünftigen Versionen von OghmaNano könnte die Unterstützung für den Ladungstransport über thermionische Emission hinzugefügt werden.
Hopfenleitung
In stark ungeordneten Halbleitern können Ladungsträger in bestimmten Fallenstellen oder molekularen Orbitalen lokalisiert werden, was einen konventionellen, bandartigen Ladungstransport verhindert. Unter diesen Bedingungen kann der Ladungstransport durch thermisch aktivierte Sprungbewegungen zwischen lokalisierten Zuständen erfolgen. Der Sprungtransport ist besonders wichtig in organischen Halbleitern, amorphen Materialien und stark ungeordneten Grenzflächen.
Eine vereinfachte Formel für die Stromdichte beim Hüpf-Transport kann wie folgt dargestellt werden:
\[ \boldsymbol{J} = A(n-n^{eq})V \exp\left( -\frac{q\phi}{kT} \right) \]
Hierbei ist \(A\) ein Vorfaktor, der Material- und geometrische Konstanten enthält, \(V\) ist die angelegte Vorspannung, \(\phi\) ist die Aktivierungsenergie, die mit dem Übergang zwischen lokalisierten Zuständen verbunden ist, \(q\) ist die Elementarladung, \(k\) ist die Boltzmann-Konstante und \(T\) ist die Temperatur. Die exponentielle Temperaturabhängigkeit spiegelt den thermisch aktivierten Charakter des Sprungtransports wider.
In zukünftigen Versionen von OghmaNano könnte die Unterstützung für auf „Hopping“-basierten Schnittstellenübertragungsmodellen hinzugefügt werden.
Oberflächenrekombination von SRH-Zentren
Die Shockley-Read-Hall-Rekombination (SRH) kann über Defektzustände stattfinden, die an der Grenzfläche zwischen zwei Halbleitermaterialien lokalisiert sind. Diese Zustände bieten einen zusätzlichen, nicht-strahlenden Rekombinationsweg und können die Leistung von Heterostruktur-Solarzellen, LEDs, Perowskit-Bauelementen und anderen mehrschichtigen Halbleiterstrukturen erheblich beeinflussen.
In OghmaNano werden Grenzflächenfallen durch eine zweidimensionale Flächenkonzentration \(N_{t,\mathrm{interface}}\) mit der Einheit m-2 beschrieben. Die Fallen sind gleichmäßig zwischen den beiden Gitterpunkten verteilt, die sich unmittelbar an der Materialgrenzfläche befinden. Für die linken und rechten Gitterabstände \(\Delta x_L\) bzw. \(\Delta x_R\) lauten die entsprechenden lokalen Fallendichten:
\[ N_{t,L} = \frac{N_{t,\mathrm{interface}}}{2\Delta x_L}, \qquad N_{t,R} = \frac{N_{t,\mathrm{interface}}}{2\Delta x_R}. \]
Die integrierte Ladungsträgerdichte erfüllt daher folgende Bedingung:
\[ N_{t,L}\Delta x_L + N_{t,R}\Delta x_R = N_{t,\mathrm{interface}}. \]
Die SRH-Rekombinationsrate wird auf jeder Seite der Grenzfläche unter Verwendung der lokalen Elektron- und Lochdichten separat ermittelt:
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{ np-n_{\mathrm{eq}}p_{\mathrm{eq}} }{ \tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1) }. \]
Hierbei sind \(n\) und \(p\) die lokalen Konzentrationen an freien Elektronen bzw. Löchern, \(n_{\mathrm{eq}}\) und \(p_{\mathrm{eq}}\) sind ihre Gleichgewichtswerte, und \(n_1\) und \(p_1\) beschreiben die energetische Position der Grenzflächenladungsträger.
Die Lebensdauer der Elektronen- und Loch-Rekombination beträgt:
\[ \tau_n = \frac{1} {\sigma_n v_{\mathrm{th},n}N_t}, \qquad \tau_p = \frac{1} {\sigma_p v_{\mathrm{th},p}N_t}, \]
wobei \(\sigma_n\) und \(\sigma_p\) die Querschnitte für die Einfangung von Elektronen bzw. Löchern sind und \(v_{\mathrm{th},n}\) und \(v_{\mathrm{th},p}\) die entsprechenden thermischen Geschwindigkeiten der Ladungsträger darstellen.
Die Energie der Falle wird relativ zum Zentrum der lokalen Bandlücke definiert:
\[ E_t = \frac{E_g}{2} + \Delta E_t. \]
Die entsprechenden Konzentrationen des SRH-Hilfsträger-Materials sind:
\[ n_1 = n_i \exp\left( \frac{q(E_t-E_g/2)} {k_B T} \right), \qquad p_1 = n_i \exp\left( \frac{q(E_g/2-E_t)} {k_B T} \right). \]
Der Beitrag der Grenzfläche SRH wird zu den lokalen Gleichungen für die Kontinuität von Elektronen und Löchern auf beiden Seiten der Materialgrenzfläche addiert. Eine Erhöhung der Dichte der Grenzflächenfallen, der Einfangquerschnittsfläche oder der Trägerkonzentration an der Grenzfläche führt daher zu einer Erhöhung der nicht-strahlenden Rekombinationsrate.
Dieses Modell ist besonders nützlich für die Untersuchung der Grenzflächenpassivierung. Eine Verringerung von \(N_{t,\mathrm{interface}}\), \(\sigma_n\) oder \(\sigma_p\) reduziert die mit der Materialgrenze verbundene SRH-Rekombination und kann folglich die Leerlaufspannung, den Füllfaktor, die Elektrolumineszenzeffizienz und andere Geräteparameter verändern. Die SRH-Parameter der Grenzfläche können mithilfe des Grenzflächeneditors konfiguriert werden.
Quellenangaben
- S. M. Sze und K. K. Ng, Physik von Halbleiterbauelementen, 3. Auflage, Wiley-Interscience, Hoboken, NJ, 2007. ISBN: 978-0-471-14323-9. DOI: 10.1002/0470068329.
- J. G. Kushmerick und J. C. Love, „Elektronische Eigenschaften von Alkanthiol-Molekülverbindungen: Leitmechanismen, Metall-Molekül-Kontakte und inelastischer Transport“, in: Comprehensive Nanoscience and Technology, Elsevier, 2011. Verfügbar unter: ScienceDirect.