Fermi-Dirac- und Maxwell-Boltzmann-Statistik in Halbleitern

Die Fermi-Dirac- und die Maxwell-Boltzmann-Statistik werden bei der Modellierung von Halbleiterbauelementen verwendet, um die Beziehung zwischen Trägerdichten und der Position der Quasi-Fermi-Niveaus zu beschreiben. Diese Statistiken bestimmen, wie Elektronen die verfügbaren Energiezustände innerhalb der Zustandsdichte besetzen, und beeinflussen somit direkt die Trägerkonzentrationen, die elektrostatischen Eigenschaften, die Rekombinationsraten und das Transportverhalten.

Auf dieser Seite wird erläutert, wie die Trägerdichte in Halbleitern aus der Zustandsdichte und der Fermi-Dirac-Verteilung abgeleitet wird, bevor die Maxwell-Boltzmann-Näherung hergeleitet wird, die üblicherweise bei der Modellierung von Halbleiterbauelementen unter Verwendung des Drift-Diffusions-Modells verwendet wird. Anschließend werden die Unterschiede zwischen der Fermi-Dirac- und der Maxwell-Boltzmann-Statistik, ihre physikalische Bedeutung, der Rechenaufwand und ihre Gültigkeit in degenerierten und nicht-degenerierten Halbleitern diskutiert.

1. Die Zustandsdichte

Die Zustandsdichte beschreibt, wie viele elektronische Zustände bei einer bestimmten Energie innerhalb des Leitungsbandes verfügbar sind. Jeder Zustand kann ein Elektron aufnehmen, oder zwei Elektronen, wenn der Spin berücksichtigt wird. Die Verteilung der verfügbaren Zustände wird schematisch in ?? dargestellt.

Für einen dreidimensionalen Halbleiter mit einem parabelförmigen Leitungsband wird die Zustandsdichte wie folgt angegeben:

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

wobei \(g_{c}(E)\) die Zustandsdichte, \(m_{n}^{*}\) die effektive Masse der Elektronen, \(\hbar\) die reduzierte Planck-Konstante und \(E_{c}\) der Rand des Leitungsbandes ist.

Die Zustandsdichte ist unterhalb der Leitbandkante null, da es dort keine Zustände im Leitband gibt. Oberhalb von \(E_{c}\) nimmt die Anzahl der verfügbaren Zustände mit zunehmender Energie zu.

2. Fermi-Dirac-Statistik

Während die Zustandsdichte angibt, wie viele elektronische Zustände bei einer bestimmten Energie verfügbar sind, beschreibt die Fermi-Dirac-Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass jeder dieser Zustände von einem Elektron besetzt ist. Diese Verteilung wird schematisch in ?? dargestellt.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

Hierbei ist \(f(E)\) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Energiezustand \(E\) von einem Elektron besetzt ist, \(E_{F}\) ist das Fermi-Niveau, \(k_{B}\) ist die Boltzmann-Konstante und \(T\) ist die Temperatur.

Energiezustände, die deutlich unterhalb des Fermi-Niveaus liegen, sind mit großer Wahrscheinlichkeit besetzt, während Energiezustände, die weit oberhalb des Fermi-Niveaus liegen, wahrscheinlich keine Elektronen enthalten. In der Nähe des Fermi-Niveaus ändert sich die Wahrscheinlichkeit der Besetzung allmählich von besetzten zu unbesetzten Zuständen.

3. Elektronendichte im Leitungsband unter Verwendung der Fermi-Dirac-Statistik

Die Elektronendichte im Leitungsband wird durch Multiplikation der Zustandsdichte mit der Fermi-Dirac-Belegungswahrscheinlichkeit und anschließende Integration über die Energie erhalten, wie in ?? dargestellt.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

Setzt man die Zustandsdichte des Leitungsbandes und die Fermi-Dirac-Belegungsfunktion ein, so erhält man:

4. Notation für das Fermi-Dirac-Integral

Das vollständige Trägerdichte-Integral, das oben hergeleitet wurde, besitzt im Allgemeinen keine einfache analytische Lösung. Stattdessen wird es üblicherweise unter Verwendung der Kurzschreibweise des Fermi-Dirac-Integrals neu formuliert.

Diese Notation kommt in der Halbleiterphysik häufig vor, da sie eine prägnante Möglichkeit bietet, die Trägerstatistik unter entarteten Bedingungen darzustellen.

Hierbei ist \(F_{1/2}\) das Fermi-Dirac-Integral erster Ordnung und \(N_c\) die effektive Zustandsdichte des Leitungsbandes.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

Hierbei steht der blaue Term für die Anzahl der verfügbaren elektronischen Zustände bei einer bestimmten Energie, während der rote Term die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der diese Zustände von Elektronen besetzt sind.

3. Herleitung der Maxwell-Boltzmann-Näherung

Die Maxwell-Boltzmann-Näherung ist gültig, wenn der Halbleiter nicht entartet ist, d. h., wenn die Elektronendichte so gering ist, dass die meisten elektronischen Zustände im Leitungsband leer bleiben. Unter diesen Bedingungen liegt das Fermi-Niveau einige \(k_{B}T\) unterhalb der Leitungsbandkante, sodass \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\) gilt und die Besetzungswahrscheinlichkeit \(f(E)\ll1\) erfüllt ist. Physikalisch bedeutet dies, dass die Elektronen so verteilt sind, dass das Pauli-Prinzip die Besetzung der Zustände nicht stark einschränkt. Mit anderen Worten, die Elektronen verhalten sich annähernd wie ein klassisches Gas, da es viel mehr verfügbare Zustände gibt als Elektronen, die diese besetzen. Diese Näherung ist für die meisten herkömmlichen Halbleiterbauelemente, die bei moderaten Trägerdichten arbeiten, genau, einschließlich vieler Siliziumdioden, Solarzellen und organischer Halbleiterbauelemente. Sie beginnt jedoch bei sehr hohen Trägerdichten, starker Dotierung oder starker Trägerakkumulation zu versagen, wenn ein erheblicher Teil der verfügbaren Zustände besetzt wird. Unter diesen Bedingungen gilt \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \], und die Fermi-Dirac-Verteilung reduziert sich auf

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

Wenn man dies in das Integral für die Trägerdichte einsetzt, erhält man:

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

Die Ergebnisse der Berechnung des bestimmten Integrals bewerten.

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

wobei \(N_c\) die effektive Zustandsdichte des Leitungsbandes ist. Dies ist die Standard-Maxwell-Boltzmann-Gleichung für die Trägerdichte, die in den meisten Drift-Diffusions-Halbleiterbauelementmodellen verwendet wird.

4. Wann sollte ich die Maxwell-Boltzmann-Statistik und wann die Fermi-Dirac-Statistik verwenden?

Die Maxwell-Boltzmann-Statistik sollte verwendet werden, wenn der Halbleiter sich in einem Zustand befindet, in dem nicht entartetwas bedeutet, dass die Konzentration an freien Ladungsträgern niedrig genug ist, sodass die meisten Energiezustände in den Leitungs- und Valenzbändern leer bleiben. Unter diesen Bedingungen bleiben die quasi-Fermi-Niveaus auf einem bestimmten Wert. \(k_{B}T\) Die Auswirkungen sind vernachlässigbar, wenn man sich von den Rändern der Bandstruktur entfernt und den Zustand der Ladungsträgerfüllung betrachtet. Diese Näherung ist für die meisten herkömmlichen Halbleiterbauelemente gültig, die bei moderaten Ladungsträgerdichten arbeiten, darunter viele Silizium-pn-Übergänge, OLED-Drift-Diffusions-Simulationen, organische photovoltaische Bauelemente und Dünnschicht-Solarzellen, die weit entfernt vom Entartungszustand betrieben werden.

Im Gegensatz dazu müssen für entartete Halbleiter die Fermi-Dirac-Statistiken verwendet werden, da die Trägerdichte so hoch wird, dass ein erheblicher Teil der verfügbaren elektronischen Zustände besetzt wird. In diesen Fällen nähert sich das Quasi-Fermi-Niveau einer Energiezustandsbande an oder tritt in diese ein, und das Pauli-Ausschlussprinzip beeinflusst die Trägerverteilung stark. Beispiele, bei denen häufig Fermi-Dirac-Statistiken erforderlich sind, sind stark dotierte Halbleiter, Quantenpotentialtöpfe, stark angeregte Leuchtdioden (LEDs), Bereiche mit starker Trägerakkumulation und einige anorganische Laserstrukturen.

Bei numerischen Halbleitersimulationen werden die Maxwell-Boltzmann-Statistiken in der Regel bevorzugt, wann immer dies möglich ist, da die daraus resultierenden Gleichungen für die Trägerdichte analytisch und sehr effizient ausgewertet werden können. Dies macht die Gleichungen einfacher, schneller und numerisch stabiler. Im Gegensatz dazu ist die numerische Auswertung der Fermi-Dirac-Statistiken deutlich langsamer, da die Trägerdichte in der Regel durch die explizite Auswertung des Fermi-Dirac-Integrals ermittelt werden muss. In der Praxis erfordert dies oft eine numerische Schleife über die Energie oder die wiederholte Auswertung tabellarischer Integrale, was im Vergleich zur analytischen Maxwell-Boltzmann-Approximation einen erheblichen zusätzlichen Rechenaufwand verursacht.

Daher ist es im Allgemeinen vorzuziehen, die Maxwell-Boltzmann-Statistik zu verwenden, wenn es nicht erforderlich ist, die Verteilung von entarteten Ladungsträgerpopulationen zu modellieren. Wenn entartete Ladungsträgerpopulationen jedoch physikalisch relevant sind, muss die vollständige Fermi-Dirac-Statistik verwendet werden, um die Besetzung der Zustände und die Auswirkungen der Ladungsträgerkonzentration korrekt zu erfassen. Die hier diskutierten statistischen Methoden beziehen sich ausschließlich auf die Verteilung der freien Ladungsträger in den Leitungs- und Valenzbändern. Sehr tiefe Fallezustände erfordern im Allgemeinen die Fermi-Dirac-Besetzungsstatistik, unabhängig davon, ob die freien Ladungsträger entartet sind oder nicht, obwohl dies nicht zum Gegenstand der vorliegenden Diskussion gehört.

5. Beispielskripte zum Erstellen von Diagrammen für die Fermi-Dirac- und die Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Der Unterschied zwischen der Maxwell-Boltzmann- und der Fermi-Dirac-Ladungsträgerstatistik kann mithilfe der unten aufgeführten Python- und MATLAB/Octave-Beispielskripte untersucht werden. Diese Skripte reproduzieren das in ?? dargestellte Verhalten und ermöglichen die interaktive Untersuchung des Einflusses von Temperaturänderungen, Ladungsträgerdichte und Quasi-Fermi-Niveau.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;