반도체에서의 페르미-디랙 통계와 맥스웰-볼츠만 통계 비교

페르미-디랙 통계와 맥스웰-볼츠만 통계는 반도체 소자 모델링에서 캐리어 밀도와 준페르미준위의 위치 간의 관계를 규명하는 데 사용된다. 이들 통계는 전자들이 상태밀도 내의 가용 에너지 준위를 어떻게 점유하는지를 결정하며, 이에 따라 캐리어 농도, 정전기적 특성, 재결합률 및 전하 캐리어 이동도와 같은 물리적 현상들이 직접적으로 지배된다.

이 페이지에서는 상태밀도와 페르미-디랙 분포를 이용해 반도체 내 캐리어 밀도를 산출하는 방법을 설명하며, 이후 드리프트-확산 반도체 소자 모델링에 흔히 사용되는 맥스웰-볼츠만 근사법을 유도합니다. 그 다음 페르미-디랙 통계와 맥스웰-볼츠만 통계 간의 차이점, 물리적 의미, 계산 비용 및 축퇴 반도체와 비축퇴 반도체에서의 적용 가능성에 대해 논의합니다.

1. 상태밀도

상태밀도는 전도대 내에서 각 에너지 수준에 존재하는 전자 상태의 수를 나타낸다. 각 상태는 하나의 전자를 수용할 수 있으며, 스핀을 고려할 경우 두 개의 전자도 수용 가능하다. 이용 가능한 상태들의 분포는 ??에서 개략적으로 보여준다.

포물선형 전도대를 갖는 3차원 반도체의 경우, 상태밀도는 다음과 같이 표현된다.

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

여기서 \(g_{c}(E)\)은 상태밀도를, \(m_{n}^{*}\)는 전자의 유효질량을, \(\hbar\)은 환산 플랑크 상수를, 그리고 \(E_{c}\)는 전도대 가장자리를 나타냅니다.

전도대 가장자리 아래에서는 전도대 상태가 존재하지 않으므로 상태밀도 값은 0입니다. \(E_{c}\)보다 높은 에너지 영역에서는 이용 가능한 상태의 수가 에너지와 함께 증가합니다.

2. 페르미-디랙 통계

상태밀도는 각 에너지에서 이용 가능한 전자 상태의 수를 나타내는 반면, 페르미-디랙 분포는 그러한 상태들이 전자에 의해 점유될 확률을 나타냅니다. 이 분포는 ??에서 개략적으로 설명되어 있습니다.

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

여기서 \(f(E)\)은 에너지가 \(E\)인 상태가 전자에 의해 점유될 확률이며, \(E_{F}\)은 페르미 준위, \(k_{B}\)는 볼츠만 상수, \(T\)는 온도입니다.

페르미 준위보다 훨씬 낮은 에너지를 갖는 상태들은 전자에 의해 점유될 가능성이 매우 높은 반면, 페르미 준위보다 훨씬 높은 에너지를 갖는 상태들은 전자가 존재할 가능성이 낮습니다. 페르미 준위 근처에서는 점유확률이 채워진 상태와 비어있는 상태 사이에서 매끄럽게 변화합니다.

3. 페르미-디랙 통계를 이용한 전도대 내 전자 밀도 계산

전도대 내 전자 밀도는 상태밀도와 페르미-디랙 점유확률을 곱한 뒤 에너지에 대해 적분함으로써 구할 수 있으며, 이 과정은 ??에서 설명되어 있습니다.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

전도대의 상태밀도와 페르미-디랙 점유확률 함수를 대입하면 다음과 같다

4. 페르미-디랙 적분 표기법

앞서 도출된 캐리어 밀도 적분식은 일반적으로 간단한 해석적 해를 갖지 않는다. 따라서 이 식은 페르미-디랙 적분이라는 축약 표기법을 활용해 다시 표현되는 것이 일반적이다.

이 표기법은 축퇴 상태에서의 캐리어 통계를 간결하게 표현할 수 있기 때문에 반도체 물리학에서 자주 사용된다.

여기서 \(F_{1/2}\)은 1/2 차수의 페르미-디랙 적분이며 \(N_c\)는 전도대의 유효상태밀도입니다.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

여기서 파란색 항은 각 에너지에서 이용 가능한 전자 상태의 수를 나타내며, 빨간색 항은 그러한 상태들이 전자에 의해 점유될 확률을 나타냅니다.

3. 맥스웰-볼츠만 근사법의 유도

맥스웰-볼츠만 근사는 반도체가 비축퇴 상태일 때 적용 가능한데, 이는 전자 밀도가 충분히 낮아 전도대 내 대부분의 전자 상태가 비어 있는 경우를 의미한다. 이러한 조건 하에서는 페르미 준위가 전도대 가장자리보다 수 \(k_{B}T\)만큼 낮게 위치하므로 \(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\)가 성립하며 점유확률 역시 \(f(E)\ll1\)을 만족한다. 물리적으로 이는 전자들이 충분히 희박하여 파울리 배타 원리가 상태 점유에 큰 제약을 주지 않는다는 뜻이다. 다시 말해, 이용 가능한 상태의 수가 전자 수보다 훨씬 많기 때문에 전자들은 거시적 기체와 유사하게 거동한다. 이 근사는 실리콘 다이오드, 태양전지, 유기 반도체 소자 등을 포함한 대부분의 일반적인 반도체 소자에서 적절한 캐리어 밀도 범위 내에서 정확한 결과를 제공한다. 그러나 매우 높은 캐리어 밀도나 강한 캐리어 축적 현상, 또는 고농도 도핑 조건에서는 이용 가능한 상태의 상당 부분이 이미 점유되게 되며 이 근사법의 타당성이 상실된다. 이 경우 \[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \]가 성립하고 페르미-디랙 분포식은 다음과 같이 단순화된다.

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

이를 캐리어 밀도 적분식에 대입하면 다음과 같은 결과가 도출된다.

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

적분을 수행하면 다음과 같은 결과가 도출된다

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

여기서 \(N_c\)은 전도대의 유효상태밀도를 나타냅니다. 이 식은 대부분의 드리프트-확산 반도체 소자 모델에서 사용되는 표준적인 맥스웰-볼츠만 캐리어 밀도 방정식입니다.

4. 언제 맥스웰-볼츠만 통계를 사용해야 하며, 언제 페르미-디랙 통계를 사용해야 합니까?

맥스웰-볼츠만 통계는 반도체가 비축퇴 상태일 때 사용되어야 한다. 즉, 자유 캐리어 밀도가 충분히 낮아서 전도대와 가전대 내 대부분의 상태들이 비어 있는 경우이다. 이러한 조건 하에서는 준페르미준위가 각 대역 가장자리로부터 수\(k_{B}T\)만큼 떨어져 있으며 상태 점유 효과 역시 무시할 수 있다. 이 근사법은 캐리어 밀도가 낮은 범위에서 작동하는 대부분의 기존 반도체 소자, 예컨대 실리콘 pn 접합, OLED 드리프트-확산 시뮬레이션, 유기 광전지 소자 및 축퇴 현상이 거의 발생하지 않는 박막 태양전지들에도 적용 가능하다.

반면에 축퇴 반도체의 경우에는 페르미-디랙 통계를 사용해야만 한다. 이때 캐리어 밀도가 매우 높아져서 이용 가능한 전자 상태의 상당 부분이 점유되는 현상이 나타난다. 이러한 조건에서는 준페르미준위가 전도대 또는 가전대에 근접하거나 그 안으로 진입하게 되며, 파울리 배타 원리가 캐리어 분포에 지대한 영향을 미친다. 페르미-디랙 통계가 필수적으로 요구되는 대표적인 예로는 고농도 도핑된 반도체, 양자우물 구조, 고전류 주입 상태의 LED, 캐리어가 대량으로 축적된 층 및 일부 무기 레이저 구조 등이 있다.

수치적 반도체 시뮬레이션에서는 결과적으로 얻어지는 캐리어 밀도 방정식을 해석적으로 매우 효율적으로 계산할 수 있기 때문에 가능한 한 맥스웰-볼츠만 통계가 주로 사용된다. 이를 통해 방정식이 더 단순해지고 계산 속도가 빨라지며 수치적 안정성도 향상된다. 반면 페르미-디랙 통계의 경우 캐리어 밀도를 구하기 위해 페르미-디랙 적분을 직접 계산해야 하므로 수치적 계산 속도가 현저히 느려진다. 실제로는 에너지 값에 대한 수치적 반복 루프나 미리 계산된 적분값의 반복적 활용이 필요한데, 이는 해석적 맥스웰-볼츠만 근사법에 비해 상당한 계산 부하를 초래한다.

따라서 축퇴된 캐리어 분포를 모델링할 필요가 없는 경우에는 일반적으로 맥스웰-볼츠만 통계를 사용하는 것이 바람직하다. 그러나 축퇴된 캐리어 분포가 물리적으로 중요한 경우에는 상태 점유 및 캐리어 점유 현상을 정확히 반영하기 위해 반드시 페르미-디랙 통계를 사용해야 한다. 본 문서에서는 오직 전도대와 가전대 내의 자유 캐리어 분포에 관해서만 논의한다. 매우 깊은 에너지 준위를 갖는 트랩 상태의 경우에는 자유 캐리어가 축퇴 상태인지 여부와 무관하게 페르미-디랙 점유 통계가 필요하지만, 이는 본 논의의 범위를 벗어난다.

5. 페르미-디랙 통계와 맥스웰-볼츠만 통계를 그래프로 나타내는 예제 스크립트

맥스웰-볼츠만 통계와 페르미-디랙 통계 간의 차이점은 아래에 제시된 Python 및 MATLAB/Octave 예제 스크립트를 통해 살펴볼 수 있다. 이 스크립트들은 ??에서 나타난 현상을 재현하며 온도, 캐리어 밀도, 준페르미 준위의 변화가 미치는 영향을 대화형으로 분석할 수 있게 해준다.

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;