半導体におけるフェルミ–ディラック統計とマクスウェル–ボルツマン統計

フェルミ–ディラック統計およびマクスウェル–ボルツマン統計は、半導体デバイスモデリングにおいて、キャリア密度と準フェルミ準位の位置との関係を記述するために用いられる。これらの統計法則により、電子が状態密度内の各エネルギー準位をどのように占有するかが決定され、それがキャリア濃度、静電的性質、再結合率、および輸送挙動に直接的な影響を与える。

このページでは、状態密度およびフェルミ・ディラック分布から半導体中のキャリア密度がどのように求められるかを説明した後、ドリフト拡散型半導体デバイスモデリングで広く用いられるマクスウェル・ボルツマン近似の導出過程を示します。さらに、フェルミ・ディラック統計とマクスウェル・ボルツマン統計の相違点、それぞれの物理的意味、計算コスト、および縮退状態および非縮退状態の半導体における適用性についても論じます。

1. 状態密度

状態密度とは、伝導帯内の各エネルギー準位において利用可能な電子状態の数を示すものである。各状態には電子が1個存在可能であり、スピンを考慮すれば2個まで存在できる。利用可能な状態の分布は??に模式的に示されている。

放物線型の伝導帯を持つ三次元半導体において、状態密度は次式で与えられる

\[ g_{c}(E)=\frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} \]

ここで \(g_{c}(E)\) は状態密度、\(m_{n}^{*}\) は電子の有効質量、\(\hbar\) は換算プランク定数、そして \(E_{c}\) は伝導帯端を表します。

伝導帯の下端よりも低いエネルギー領域では伝導帯状態が存在しないため、状態密度はゼロとなる。\(E_{c}\)より高いエネルギー領域では、利用可能な状態の数がエネルギーと共に増加する。

2. フェルミ–ディラック統計

状態密度が各エネルギー準位において利用可能な電子状態の数を示すのに対し、フェルミ–ディラック分布はそれらの状態が電子によって占有される確率を表します。この分布の様子は??に模式的に示されています。

\[ f(E)=\frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)} \]

ここで\(f(E)\)はエネルギー\(E\)を持つ状態が電子によって占有される確率であり、\(E_{F}\)はフェルミ準位、\(k_{B}\)はボルツマン定数、\(T\)は温度を表す。

フェルミ準位よりもはるかに低いエネルギーを持つ状態は電子によって占められる可能性が極めて高く、一方でフェルミ準位よりもはるかに高いエネルギーを持つ状態には電子が存在する可能性は低い。フェルミ準位付近では、状態が電子で満たされているか空いているかの確率が滑らかに変化する。

3. フェルミ–ディラック統計を用いた伝導帯内の電子密度の算出

伝導帯内の電子密度は、状態密度にフェルミ–ディラック占有確率を乗じ、エネルギーについて積分することで求められる。この様子は??に示されている。

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red} f(E)} \,dE \]

伝導帯の状態密度およびフェルミ–ディラック占有関数を代入すると以下のようになる

4. フェルミ・ディラック積分の表記法

前述の通り、キャリア密度を求めるための積分式は一般的に単純な解析解を持たない。そのため、縮退状態におけるキャリア統計を簡潔に表現するために、フェルミ・ディラック積分という略記法が用いられるのが通例である。

この記法は、縮退状態下におけるキャリア統計を簡潔に記述できるため、半導体物理学において頻繁に用いられる。

ここで\(F_{1/2}\)は1/2次のフェルミ・ディラック積分であり、\(N_c\)は伝導帯の有効状態密度です。

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue}{ \frac{1}{2\pi^{2}} \left(\frac{2m_{n}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{3/2} \sqrt{E-E_{c}} }} {\color{red}{ \frac{1}{ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right)} }} \,dE \]

ここで、青色の項は各エネルギー準位において利用可能な電子状態の数を表し、赤色の項はそれらの状態が電子によって占有される確率を表しています。

3. マックスウェル–ボルツマン近似の導出

マックスウェル–ボルツマン近似は、半導体が非縮退状態にある場合に有効である。つまり、電子密度が十分に低く、伝導帯内のほとんどの電子状態が空いたままである状態を指す。このような条件下では、フェルミ準位は伝導帯端よりも数\(k_{B}T\)下に位置し、その結果\(E-E_{F_n} \gg k_{B}T\)および占有確率は\(f(E)\ll1\)を満たす。物理的には、電子の密度が十分に低いため、パウリの排他律が状態の占有に大きな制限を与えないことを意味する。言い換えれば、利用可能な状態の数が電子の数よりもはるかに多いため、電子は古典的な気体のように振る舞う。この近似は、適度な電子密度で動作するほとんどの従来型半導体デバイス、例えばシリコン製ダイオードや太陽電池、有機半導体デバイスなどに適用可能である。ただし、極めて高い電子密度、強い不純物ドーピング、あるいは著しい電子蓄積が生じる場合には近似の精度が低下し、利用可能な状態の大部分が占有されるようになる。このような状況下では\[ 1+\exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \approx \exp\left(\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T}\right) \]となり、フェルミ–ディラック分布は次のように簡略化される

\[ f(E)\approx \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) \]

これをキャリア密度の積分式に代入すると

\[ {\color{green} n} = \int_{E_{c}}^{\infty} {\color{blue} g_{c}(E)} {\color{red}{ \exp\left( -\frac{E-E_{F_n}}{k_{B}T} \right) }} \,dE \]

この積分を計算すると

\[ {\color{green} n} = N_{c} \exp\left( \frac{E_{F_n}-E_{c}}{k_{B}T} \right) \qquad N_{c}=2 \left( \frac{2\pi m_{n}^{*}k_{B}T}{h^{2}} \right)^{3/2} \]

ここで\(N_c\)は伝導帯の有効状態密度を表す。これが、ほとんどのドリフト拡散型半導体デバイスモデルで用いられる標準的なマクスウェル–ボルツマン型のキャリア密度方程式である。

4. いつマクスウェル–ボルツマン統計を使用し、いつフェルミ–ディラック統計を使用すべきか？

半導体が非縮退状態にある場合、すなわち伝導帯および価電子帯内のほとんどの状態が空いたままで自由キャリア密度が十分に低い場合には、マクスウェル–ボルツマン統計を適用すべきである。このような条件下では準フェルミ準位はバンド端から数\(k_{B}T\)離れた位置にあり、状態占有の影響は無視できるほど小さい。この近似は、シリコン製pn接合やOLEDのドリフト–拡散シミュレーション、有機太陽電池、および縮退状態に至っていない薄膜太陽電池を含め、通常のキャリア密度で動作するほとんどの半導体デバイスに適用可能である。

一方、縮退状態にある半導体の場合にはフェルミ–ディラック統計を用いる必要がある。このような状態ではキャリア密度が非常に高くなり、利用可能な電子状態の大部分が占有される。その結果、準フェルミ準位は伝導帯または価電子帯に近接、あるいはそれに入り込み、パウリの排他律がキャリア分布に強い影響を与える。フェルミ–ディラック統計が不可欠となる例としては、高濃度にドーピングされた半導体、量子井戸構造、高注入状態にあるLED、キャリアが大量に蓄積した層、および一部の無機レーザー構造などが挙げられる。

数値的な半導体シミュレーションにおいては、得られるキャリア密度の式が解析的にかつ極めて効率的に評価可能であるため、可能な限りマクスウェル–ボルツマン統計が好んで用いられる。このため、計算処理がより単純かつ迅速かつ数値的に安定するのである。一方、フェルミ–ディラック統計ではキャリア密度を求める際に通常フェルミ・ディラック積分を明示的に評価する必要があり、数値計算上は著しく時間がかかる。実際にはエネルギー値に対する数値ループや既知の積分表の繰り返し評価が必要となり、これがマクスウェル–ボルツマン近似に比べて多大な計算負荷をもたらすのである。

したがって、縮退状態にあるキャリア分布をモデル化する必要がない場合には、一般的にマクスウェル–ボルツマン統計を利用する方が望ましい。一方で、縮退状態にあるキャリア分布が物理的に重要な場合には、状態の占有状況やキャリアの分布を正確に記述するために完全なフェルミ–ディラック統計を用いなければならない。ここでの議論は、伝導帯および価電子帯内の自由キャリア分布に限定される。極めて深いトラップ準位の場合、自由キャリアが縮退状態にあるか否かに関わらず、通常はフェルミ–ディラック占有統計が必要となるが、これは本稿の範囲外である。

5. フェルミ–ディラック統計およびマクスウェル–ボルツマン統計をプロットするためのサンプルスクリプト

マクスウェル–ボルツマン統計とフェルミ–ディラック統計の違いは、以下に示すPythonおよびMATLAB/Octaveのサンプルスクリプトを用いて調査可能である。これらのスクリプトは??で示された挙動を再現しており、温度、キャリア密度、準フェルミ準位の変化が与える影響を対話的に調べることができる。

import math
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
k_B = 8.617333262e-5
T = 300.0
Nc = 2.8e19

# Generate energy axis
Ef_minus_Ec = []

x = -0.4

while x <= 0.2:
    Ef_minus_Ec.append(x)
    x += 0.002

# Maxwell-Boltzmann carrier density
n_mb = []

for eta in Ef_minus_Ec:
    n = Nc * math.exp(eta / (k_B * T))
    n_mb.append(n)

# Approximate Fermi-Dirac carrier density
n_fd = []

for eta in Ef_minus_Ec:

    arg = eta / (k_B * T)

    fd = Nc * math.log(1.0 + math.exp(arg))

    n_fd.append(fd)

# Plot
plt.figure(figsize=(7,5))

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_mb,
    color='#d00000',
    linewidth=3,
    label='Maxwell-Boltzmann'
)

plt.semilogy(
    Ef_minus_Ec,
    n_fd,
    color='#0044ff',
    linewidth=3,
    label='Fermi-Dirac'
)

plt.xlabel(r'$E_{F_n}-E_c$ (eV)')
plt.ylabel(r'Electron density (cm$^{-3}$)')

plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

k_B = 8.617333262e-5;
T = 300.0;
Nc = 2.8e19;

Ef_minus_Ec = -0.4:0.002:0.2;

n_mb = Nc .* exp(Ef_minus_Ec ./ (k_B*T));

arg = Ef_minus_Ec ./ (k_B*T);
n_fd = Nc .* log(1.0 + exp(arg));

semilogy(Ef_minus_Ec, n_mb, 'r', 'LineWidth', 3);
hold on;
semilogy(Ef_minus_Ec, n_fd, 'b', 'LineWidth', 3);

xlabel('E_F - E_c (eV)');
ylabel('Electron density');

legend('Maxwell-Boltzmann', 'Fermi-Dirac');

grid on;