Diffusion, temps de relaxation et mobilité.

La mobilité des porteurs de charge dans un puits quantique est limitée par la diffusion. OghmaNano met actuellement en œuvre la diffusion par les phonons acoustiques par le biais du potentiel de déformation, évalué à l’aide de la règle d’or de Fermi, et convertit les temps de relaxation obtenus en une mobilité en utilisant l’approximation du temps de relaxation. Cette page décrit ce mécanisme et précise ce qui est inclus et ce qui ne l’est pas.

1. La règle d’or de Fermi

Le taux de transition d’un état initial \(|i\rangle\) vers des états finaux \(|f\rangle\) sous l’effet d’une perturbation \(\delta H\) est de :

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

la fonction delta assure la conservation de l’énergie lors d’une diffusion élastique. Pour les phonons acoustiques aux températures de fonctionnement des dispositifs, le processus est presque élastique et, dans la limite de l’équipartition, l’occupation des phonons contribue au facteur \(k_B T\). La perturbation est le champ de contrainte du phonon acoustique, qui interagit avec les bandes par le biais du potentiel de déformation.

2. Le potentiel de déformation acoustique.

Un phonon acoustique déforme localement le réseau cristallin, et cette déformation modifie les limites des bandes d’énergie par le biais du potentiel de déformation. \(D\)OghmaNano construit le champ de déformation d’un phonon dont le vecteur d’onde est donné. \(\mathbf{q}\) et polarisation \(\hat{\mathbf{e}}\)puis il les associe aux bandes — pour les bandes de valence, en utilisant la même méthode. Bir-Pikus déformation potentiels utilisés pour la déformation statique. En faisant la moyenne de l’élément carré de la matrice sur l’occupation des phonons dans la limite de l’équipartition, on obtient le préfacteur.

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

où \(\rho\) représente la masse volumique et \(v_s\) la vitesse du son. Cette valeur augmente linéairement avec la température, ce qui est caractéristique de la diffusion acoustique due au potentiel de déformation.

3. Densité des états finaux et facteur de forme.

Deux facteurs supplémentaires permettent de déterminer la valeur de ce taux. La fonction delta d’énergie est calculée en déterminant, pour chaque sous-bande finale, le vecteur d’onde \(k_f\) auquel \(E_f(k_f)=E_i\), puis en appliquant une pondération en fonction de la densité d’états bidimensionnelle correspondante, qui est proportionnelle à \(k_f/|dE/dk|\). De plus, le recouvrement des enveloppes initiales et finales, soit le facteur de forme \(G\), mesure dans quelle mesure les deux états partagent la même région du puits quantique ; la diffusion inter-sous-bandes est réduite lorsque les états présentent peu de recouvrement spatial. Le taux pour l’état \(i\) est donc :

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

Le temps de relaxation \(\tau_i\) correspond simplement à l’inverse du taux total de transition hors de l’état \(i\).

4. Du temps de repos à la mobilité.

La mobilité découle de l’équation de Boltzmann linéarisée, dans le cadre de l’approximation du temps de relaxation. Chaque état contribue à la conductivité en proportion du carré de sa vitesse de groupe, de son temps de relaxation et de la dérivée de la fonction d’occupation. La vitesse de groupe est

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

et la dérivée de la fonction d’occupation, qui limite le transport aux états proches du niveau de Fermi, est \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). En intégrant sur les sous-bandes,

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

et la mobilité correspond à la conductivité par unité de charge et à la densité surfacique.

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

en utilisant la densité de la couche \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) évaluée sur la même dispersion. Cela permet d’obtenir une mobilité effective qui reflète la structure réelle, non parabolique, des sous-bandes, plutôt qu’une estimation basée sur une seule masse.

5. Hypothèses et limites

Le modèle mis en œuvre est délibérément spécifique. Il traite de la diffusion des phonons acoustiques par le biais du potentiel de déformation dans le régime élastique, où l’énergie est équitablement répartie, et évalue le transport en utilisant l’approximation du temps de relaxation. Il ne prend pas en compte la diffusion polaire-optique (de Fröhlich), la diffusion due aux impuretés ionisées, la rugosité de l’interface ou le désordre des alliages, ni l’émission/absorption inélastique de phonons au-delà du traitement de l’équilibre énergétique. Dans les cas où ces mécanismes prédominent (matériaux polaires à température ambiante, puits fortement dopés ou à surface rugueuse), la mobilité calculée doit être interprétée comme la contribution limitée par la diffusion des phonons acoustiques, plutôt que comme une prédiction complète du transport.