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OghmaNano contient une famille de solveurs pour le calcul de la structure de bande des semi-conducteurs, des puits quantiques et des modèles k·p, permettant de déterminer les états électroniques dans les puits quantiques bidimensionnels et les semi-conducteurs massifs. Ces modèles calculent les états confinés des électrons et des trous, la dispersion de la bande électronique, les fonctions d’onde, le mélange des bandes et les éléments de matrice optiques, et peuvent être couplés à des calculs d’absorption optique, d’émission spontanée, d’émission stimulée, de gain, de diffusion des porteurs et de mobilité.
Il existe différents modèles de structure de bande adaptés aux différents matériaux semi-conducteurs et aux différentes structures cristallines :
Ensemble, ces modèles permettent à OghmaNano de calculer à la fois les sous-bandes bidimensionnelles des puits quantiques et les structures de bande tridimensionnelles des semi-conducteurs. Dans le cas des puits quantiques, les porteurs de charge sont confinés dans la direction de croissance, tout en étant libres de se déplacer parallèlement aux couches. Dans un calcul multibande de type k·p, le vecteur d’onde dans la direction de croissance est remplacé par l’opérateur de fonction d’enveloppe.
\[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \]
Les équations couplées qui en résultent sont résolues pour l’ensemble de l’hétérostructure semi-conductrice. En répétant le calcul en fonction du vecteur d’onde dans le plan, on obtient la dispersion des sous-bandes bidimensionnelles. Les modèles volumiques, tels que le solveur de pérovskite, résolvent directement l’hamiltonien en fonction du vecteur d’onde tridimensionnel \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).
Les valeurs propres et les vecteurs propres calculés fournissent plus qu’un simple diagramme de bandes. Ils constituent le point de départ pour les simulations de transitions optiques , absorption, émission spontanée, émission stimulée et amplification optiqueainsi que la diffusion par les porteurs, les temps de relaxation et la mobilité, lorsque ces paramètres sont pris en compte. Ces fonctionnalités permettent d’utiliser les solveurs de structure de bandes pour la modélisation de lasers à semi-conducteurs, DEL, photodétecteurs, hétérostructures à puits quantiques, canaux semi-conducteurs à haute mobilité, dispositifs en silicium/SiGe et matériaux pérovskites halogénés métalliques pour cellules solaires et dispositifs électroluminescents..
Pour une introduction générale aux principes physiques sous-jacents, voir puits quantiques et confinement des porteurs de charge et introduction à la théorie k·p .
Le calcul de la structure de bande électronique n’est que la première étape de la simulation. Une fois que les énergies et les fonctions d’onde des états électroniques sont connues, OghmaNano peut les utiliser pour calculer un ensemble de propriétés optiques et de transport de charge. Ces propriétés comprennent l’absorption optique, l’émission spontanée et stimulée, le gain optique, les taux de diffusion des phonons, les temps de relaxation des porteurs et la mobilité des porteurs de charge.
La même idée fondamentale est à la base de nombreux de ces calculs : un porteur passe d’un état électronique initial à un état final, et la probabilité de cette transition est déterminée par le couplage entre les deux états. Dans le régime de faible interaction, cela est décrit par la règle d’or de Fermi.
\[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \]
L’hamiltonien d’interaction \(\hat H_{\mathrm{int}}\) dépend du processus physique considéré. Pour une transition optique, il décrit l’interaction entre les états électroniques et le champ électromagnétique. Pour la diffusion des porteurs de charge, il peut plutôt décrire les interactions avec les vibrations du réseau, notamment les phonons acoustiques ou les phonons optiques longitudinaux (LO). La structure de bande calculée fournit donc une base électronique commune à partir de laquelle il est possible de déduire à la fois les propriétés optiques et les propriétés de transport.
Pour les calculs optiques, OghmaNano combine les états de bande de conduction et de valence calculés avec leurs éléments de matrice optique et les professions liées au transport. Les transitions entre les états occupés et non occupés peuvent ensuite être additionnées sur l’ensemble de la structure de bandes calculée afin d’obtenir absorption, émission stimulée, gain optique net et émission spontanée.
Étant donné que les vecteurs propres multibande de la méthode k·p conservent des informations sur le caractère orbital et de spin de chaque état, le calcul optique peut aller au-delà de la simple correspondance des niveaux d’énergie. Le mélange des bandes modifie les éléments de la matrice de transition et, par conséquent, l’intensité de la réponse optique. Dans les systèmes anisotropes, tels que les semi-conducteurs de type wurtzite, cela permet également de traiter séparément les transitions optiques polarisées TE et TM.
Les états électroniques peuvent également être utilisés pour calculer la probabilité qu’un porteur de charge soit diffusé d’une partie de la structure de bande à une autre. Selon le matériau et le modèle, OghmaNano peut inclure des mécanismes tels que : diffusion par les phonons acoustiques et Diffusion de Fröhlich sur les phonons optiques polaires. Ces processus déterminent la durée de vie des porteurs de charge, la relaxation de l’impulsion et, en fin de compte, la mobilité des porteurs de charge.
La diffusion de Fröhlich est particulièrement importante dans les semi-conducteurs polaires tels que le GaAs, l’InP, le GaN et les pérovskites à base d’halogénures métalliques. Un phonon optique longitudinal crée un champ de polarisation oscillant qui interagit avec un électron ou une lacune. L’intensité de cette interaction est décrite par l’élément de matrice de Fröhlich.
\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]
Ici, \(q\) représente le vecteur d’onde du phonon, \(\omega_{LO}\) représente la fréquence angulaire du phonon LO, et \(\varepsilon_\infty\) et \(\varepsilon_s\) décrivent le blindage diélectrique électronique et statique du matériau. La dépendance en \(1/q\) reflète la nature à longue portée de l’interaction polaire.
L’application de la règle d’or de Fermi et l’intégration sur les états finaux disponibles permettent de déterminer le taux de diffusion des porteurs. Par exemple, dans le cas de l’absorption de phonons LO,
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \]
La fonction delta de Dirac assure la conservation de l’énergie, tandis que l’intégration sur \(\mathbf{q}\) effectue une sommation sur les vecteurs d’onde des phonons capables de relier les états électroniques initiaux et finaux. L’émission de phonons LO est calculée de la même manière, à ceci près que le porteur perd une énergie \(\hbar\omega_{LO}\). En revanche, la diffusion par les phonons acoustiques décrit les interactions avec les vibrations du réseau à basse énergie associées à la déformation élastique du cristal.
Un événement de diffusion ne détruit pas nécessairement toute la quantité de mouvement dirigée d’un porteur. Par exemple, la diffusion vers l’avant ne modifie que légèrement la direction du porteur, tandis que la diffusion vers l’arrière s’oppose fortement au courant électrique. Pour les calculs de transport, OghmaNano peut donc utiliser un taux de relaxation de la quantité de mouvement plutôt que de simplement prendre l’inverse du taux de diffusion total.
Une fois que le temps de relaxation du transport a été calculé sur l’ensemble de la structure de bande électronique, la mobilité peut être obtenue en faisant la moyenne de la vitesse et des propriétés de diffusion des états électroniques qui participent au transport. Dans le cadre de l’approximation du temps de relaxation,
\[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \]
La vitesse des porteurs est obtenue directement à partir de la dispersion électronique calculée.
\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]
Cela permet de relier directement la structure de bandes calculée à une grandeur de transport mesurable expérimentalement. Au lieu de supposer une masse effective et un temps de diffusion constants, le calcul peut tenir compte de la manière dont la vitesse des porteurs et le temps de diffusion varient dans les différentes bandes électroniques.
Pour les puits quantiques Si/SiGe, OghmaNano peut calculer la diffusion par les phonons acoustiques et la mobilité bidimensionnelle des électrons ou des trous en utilisant les modèles de la vallée Δ du silicium et de Luttinger-Kohn. Pour les pérovskites métalliques halogénées massives, la structure électronique à huit bandes calculée peut être combinée à la diffusion électron-phonon de Fröhlich afin d’obtenir les temps de relaxation des porteurs et la mobilité limitée par les phonons.
Des exemples concrets sont disponibles dans le Guide sur la mobilité des électrons dans les matériaux Si/SiGe. , Guide sur la mobilité des trous dans les matériaux Si/SiGe. et guide pratique sur la structure de bande et la mobilité des pérovskites .
Les exemples fournis avec OghmaNano offrent des points de départ préétablis pour chaque modèle de structure de bandes. Pour les calculs optiques sur les puits quantiques, Guide pratique sur le modèle à huit bandes k·p pour le GaAs/AlGaAs. illustre le calcul des sous-bandes électroniques, de l’absorption, de l’émission stimulée, du gain optique et de l’émission spontanée.
Pour les calculs en grande quantité, guide pratique sur la structure de bande et la mobilité des pérovskites explique comment calculer les bandes électroniques du CsPbX.3 et MAPbX3 matériaux et utilisez les états obtenus pour calculer la diffusion de Fröhlich et la mobilité des porteurs de charge.
Des informations théoriques complémentaires sont disponibles dans Guide sur la théorie k·p , théorie des transitions optiques et Théorie de la diffusion de Fröhlich .
Pour une introduction au phénomène de confinement quantique, commencez par puits quantiques et confinement des porteurs de charge . Le tutoriel sur les bandes paraboliques présente le modèle quantique à puits de potentiel le plus simple, tandis que Guide sur la théorie k·p explique comment plusieurs bandes électroniques sont couplées dans un hamiltonien à plusieurs bandes.
Pour commencer de manière pratique, essayez de Guide pratique sur le modèle à huit bandes k·p pour le GaAs/AlGaAs. ou le guide pratique sur la structure de bande et la mobilité des pérovskites en vrac .
Découvrez les outils de modélisation quantique et des structures de bandes.
Commencez par introduction aux puits quantiques, lisez Guide sur la théorie k·pou exécutez Guide pratique sur les puits quantiques paraboliques en GaAs/AlGaAs..