Structure de bandes d’un puits quantique et approximation de la bande parabolique.
Des puits quantiques aux bandes électroniques.
Dans notre introduction aux puits quantiquesnous avons utilisé l’équation de Schrödinger pour calculer les valeurs d’énergie et les fonctions d’onde autorisées d’un électron confiné dans un puits de potentiel. Un exemple de ces solutions est illustré dans ??.
Cependant, ce calcul ne décrit que le comportement de l’électron sur la largeur du puits. Un puits quantique semi-conducteur est généralement constitué d’une couche de matériau très mince qui s’étend sur une zone beaucoup plus vaste. Si nous définissons la direction \(z\) comme étant perpendiculaire aux couches semi-conductrices, alors l’électron est confiné le long de \(z\), mais il reste libre de se déplacer dans les directions \(x\) et \(y\), parallèles aux couches.
En d’autres termes, l’électron est confiné dans une seule dimension, mais il peut toujours se déplacer dans les deux autres. C’est pourquoi les puits quantiques sont généralement décrits comme des systèmes électroniques bidimensionnels.
Pour comprendre les conséquences de ce phénomène, il est nécessaire de relier les niveaux d’énergie discrets obtenus à partir de l’équation de Schrödinger à la structure de bande électronique du semi-conducteur.
🧪 Essayez ceci dans OghmaNano : Le Guide pratique sur les puits quantiques paraboliques en GaAs/AlGaAs. calcule les états confinés des électrons et des trous, les fonctions d’onde et les sous-bandes bidimensionnelles décrits dans cette page. Une présentation générale des modèles de puits quantiques et des modèles à plusieurs bandes disponibles est fournie dans le solveur pour la structure de bandes k·p, les puits quantiques et la mobilité.
Des niveaux d’énergie discrets aux bandes paraboliques.
Considérons le puits quantique représenté dans la partie gauche de la figure ??. La résolution de l’équation de Schrödinger dans ce puits donne lieu à une série d’états confinés, avec les énergies \(E_1\), \(E_2\) et \(E_3\).
Ces valeurs d’énergie décrivent le confinement de l’électron dans la direction \(z\). Toutefois, l’électron peut également se déplacer parallèlement aux couches, dans les directions \(x\) et \(y\). En gagnant de l’élan dans ce plan, son énergie totale augmente.
Pour décrire ce mouvement, nous introduisons le vecteur d’onde dans le plan, que nous notons \(k_{\parallel}\). Son amplitude est liée aux composantes du vecteur d’onde le long des deux directions non contraintes :
\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]
Pour un semi-conducteur simple doté d’une bande électronique parabolique, l’énergie supplémentaire associée à ce mouvement dans le plan est la suivante :
\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]
où \(m^{*}\) représente la masse effective de l’électron. La masse effective décrit la manière dont l’électron réagit aux forces à l’intérieur du cristal, en tenant compte de l’influence de la structure électronique du semi-conducteur.
Nous pouvons désormais combiner l’énergie obtenue grâce au confinement quantique avec l’énergie supplémentaire associée au mouvement parallèle aux couches :
\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]
Cette équation nous indique que chaque niveau d’énergie confiné devient le point de départ d’une parabole, comme l’illustre la partie droite de ??. Ces paraboles sont appelées sous-bandes électroniques.
Lorsque le vecteur d’onde dans le plan est nul, le point le plus bas de chaque parabole correspond exactement à l’énergie calculée en résolvant l’équation de Schrödinger dans le puits quantique. À mesure que le vecteur d’onde dans le plan augmente, l’électron se déplace le long de la parabole et gagne en énergie, tout en restant dans le même état confiné le long de \(z\).
Nous avons donc transformé un ensemble de niveaux d’énergie discrets d’un puits quantique en un ensemble de sous-bandes électroniques continues et bidimensionnelles.
Pourquoi utilise-t-on les bandes paraboliques ?
Pour comprendre pourquoi les bandes de semi-conducteurs sont souvent représentées par des paraboles, prenons un exemple beaucoup plus courant : lancer une balle de cricket. L’énergie cinétique de la balle dépend de sa masse et de sa vitesse :
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]
Cela nous indique que si nous lançons la balle deux fois plus vite, elle aura quatre fois plus d’énergie cinétique. Puisque l’impulsion est donnée par la formule \(p=mv\), nous pouvons également exprimer cette relation de la manière suivante :
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]
Si nous représentons graphiquement l’énergie de notre balle de cricket en fonction de son impulsion, nous obtenons une parabole. La balle a son énergie cinétique la plus faible lorsque son impulsion est nulle, et son énergie augmente de manière quadratique à mesure que son impulsion augmente.
Il est intéressant de noter que nous pouvons utiliser une relation très similaire pour décrire un électron à l’intérieur d’un semi-conducteur. En mécanique quantique, l’impulsion est liée au vecteur d’onde par la relation \(p=\hbar k\). En substituant cette relation dans notre expression précédente, on obtient :
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]
Cependant, un électron à l’intérieur d’un semi-conducteur ne se déplace pas dans le vide. Il interagit avec le potentiel périodique du cristal, ce qui modifie la relation entre son énergie et son mouvement. Près du bas de nombreuses bandes de conduction, nous pouvons tenir compte de ce phénomène en remplaçant la masse ordinaire de l’électron par une masse effective, \(m_e^{*}\).
Nous devons également prendre en compte l’énergie au bas de la bande de conduction, \(E_c\), ce qui nous permet d’obtenir l’approximation de la bande parabolique :
\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]
La masse effective détermine la courbure de la parabole. Une masse effective plus faible donne une bande plus fortement courbée, ce qui signifie que l’électron acquiert de l’énergie plus rapidement à mesure que son vecteur d’onde augmente. Une masse effective plus élevée produit une bande plus plate.
L’avantage de cette approximation est qu’elle nous permet de décrire une bande électronique en utilisant uniquement l’énergie au bord de la bande et la masse effective. Une fois que nous avons calculé les énergies de confinement à l’aide de l’équation de Schrödinger, nous pouvons utiliser cette relation pour construire les sous-bandes correspondantes du puits quantique. Ce calcul peut être étudié directement dans le… Guide pratique sur les puits quantiques paraboliques en GaAs/AlGaAs..
Présentation des électrons et des trous.
Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que les électrons de la bande de conduction. Cependant, un semi-conducteur contient également une bande de valence, et l’absence d’un électron dans cette bande peut être décrite comme une particule chargée positivement, appelée « trou ».
Près du minimum de la bande de conduction, l’énergie de l’électron peut être approximée à l’aide d’une parabole orientée vers le haut :
\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]
De même, près du maximum de la bande de valence, nous pouvons approximer les énergies des électrons de valence en utilisant une parabole orientée vers le bas :
\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]
Ces deux paraboles sont illustrées dans ??. Le minimum de la bande de conduction et le maximum de la bande de valence sont séparés par la bande interdite du semi-conducteur, \(E_g\).
De même que les électrons peuvent être confinés dans un puits quantique de la bande de conduction, les trous peuvent être confinés par un potentiel approprié de la bande de valence. La résolution de l’équation de Schrödinger pour les deux types de porteurs de charge permet donc d’obtenir deux ensembles de niveaux d’énergie confinés, à partir desquels nous pouvons construire les sous-bandes correspondantes pour les électrons et les trous.
Des puits quantiques à l’émission et à l’absorption de lumière.
Nous avons maintenant vu comment la résolution de l’équation de Schrödinger pour un électron confiné dans un puits quantique permet d’obtenir une série de niveaux d’énergie, chacun d’eux devenant une sous-bande parabolique lorsque l’on prend en compte le mouvement parallèle aux couches du semi-conducteur.
Nous pouvons effectuer exactement le même calcul pour les trous. Cela est illustré dans ??, où les schémas supérieurs montrent les états confinés des électrons dans la bande de conduction, tandis que les schémas inférieurs montrent les états confinés correspondants des trous dans la bande de valence. Pour plus de clarté, le puits de la bande de valence est représenté à l’envers, les énergies de confinement des trous étant mesurées vers le bas à partir du maximum de la bande de valence.
Une fois que nous aurons calculé les deux ensembles d’états, nous pourrons commencer à décrire l’interaction du puits quantique avec la lumière. Par exemple, un électron occupant un état de la bande de conduction peut se recombiner avec une lacune dans un état de la bande de valence, libérant ainsi de l’énergie sous forme de photon. Le processus inverse est également possible : un photon incident peut être absorbé, ce qui excite un électron de la bande de valence vers la bande de conduction.
Calcul de l’énergie de transition.
Considérez la flèche rouge pleine dans ??. Elle illustre une transition entre la sous-bande d’électrons et la sous-bande de trous au point où le vecteur d’onde dans le plan est nul.
L’énergie nécessaire à cette transition est l’énergie de la bande interdite du semi-conducteur, plus les énergies de confinement de l’électron et du trou :
\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]
Ici, \(E_g\) représente la largeur de la bande interdite du matériau à puits quantiques, tandis que \(E_{e,n}\) et \(E_{h,m}\) représentent les énergies de confinement des électrons et des trous, mesurées par rapport aux bords de bande respectifs.
Pour l’exemple illustré dans la figure, la largeur de bande est \(1.42\,\mathrm{eV}\), l’énergie minimale de confinement des électrons est \(39\,\mathrm{meV}\) et l’énergie minimale de confinement des trous est \(7\,\mathrm{meV}\). L’énergie de transition résultante est donc :
\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]
Notez que cette valeur est légèrement supérieure à la largeur de bande interdite du semi-conducteur en vrac. En confinant les électrons et les trous dans un puits quantique, nous avons augmenté l’énergie nécessaire à la transition optique. Cela nous permet de modifier la longueur d’onde d’absorption et d’émission en ajustant simplement la largeur du puits.
Que se passe-t-il lorsque l’impulsion dans le plan augmente ?
Les électrons et les trous ne sont pas confinés à la partie inférieure de leurs sous-bandes respectives. Ils peuvent également se déplacer parallèlement aux couches du semi-conducteur, en gagnant de l’énergie supplémentaire à mesure que leur vecteur d’onde dans le plan augmente.
Cela est illustré par la flèche rouge en pointillés dans la figure. Pour une transition optique directe, le vecteur d’onde du cristal dans le plan est approximativement conservé, car l’impulsion transportée par un photon est relativement faible.
Dans notre modèle simple à bande parabolique, l’énergie de transition est donc la suivante :
\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]
Ici, \(\mu\) représente la masse effective réduite de la paire électron-trou, définie comme suit :
\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]
À mesure que le vecteur d’onde dans le plan augmente, l’énergie de transition augmente également. Cela signifie qu’une transition optique entre deux sous-bandes n’est pas limitée à une seule énergie de photon : différents états occupés le long des paraboles peuvent contribuer à une gamme plus large de transitions optiques.
Quelle est la précision de l’approximation parabolique ?
Le modèle que nous avons développé est délibérément simple. Il part du principe que chaque bande d’énergie électronique peut être représentée par une parabole avec une masse effective appropriée. Il s’agit souvent d’une approximation utile à proximité du minimum d’une bande de conduction, où la relation entre l’énergie et le vecteur d’onde est approximativement quadratique.
Cependant, les structures de bandes réelles des semi-conducteurs sont plus complexes. Un exemple est présenté dans ??, qui illustre la structure de bandes électroniques calculée pour le GaAs.
On observe que la bande de conduction est approximativement parabolique près de son minimum au point Gamma, mais elle s’écarte de cette forme simple à mesure que l’on s’éloigne. La bande de valence est encore plus complexe, car elle contient des bandes de trous lourds, de trous légers et des bandes décomposées, qui peuvent interagir entre elles.
Il est également important de noter que l’axe horizontal de cette figure suit une trajectoire dans l’espace réciproque, de L à Gamma, puis jusqu’à X. Il ne s’agit pas d’une représentation de la position dans un dispositif semi-conducteur. Il décrit plutôt la manière dont les énergies électroniques autorisées varient en fonction du vecteur d’onde du cristal.
Lorsque l’on étudie le mélange des bandes d’énergie, la non-parabolicité, la déformation ou le confinement important, il devient nécessaire de dépasser la simple approximation de la masse effective. Une façon d’y parvenir est de recourir à… théorie k·p à plusieurs bandesce qui permet de traiter plusieurs bandes électroniques simultanément, plutôt que de les considérer individuellement comme des paraboles distinctes.