Comprendre le modèle k·p à 8 bandes de la structure cristalline zincblende.

Pourquoi avons-nous besoin de huit groupes de fréquences ?

Dans notre tutoriel sur les bandes paraboliquesNous avons considéré les bandes de conduction et de valence comme des paraboles indépendantes. Il s’agit d’un point de départ utile : la résolution de l’équation de Schrödinger dans le puits quantique permet de déterminer les états confinés, et en permettant aux porteurs de charge de se déplacer parallèlement aux couches, ces états se transforment en sous-bandes électroniques. Cependant, cette approche suppose qu’une seule masse effective peut décrire chaque bande.

Les bandes d’énergie réelles des semi-conducteurs ne sont pas indépendantes. Lorsque le vecteur d’onde de l’électron change, les états dérivés de différentes orbitales atomiques peuvent interagir, modifiant ainsi leurs énergies et la forme de leurs fonctions d’onde. Cet effet est particulièrement important dans la bande de valence, où les bandes correspondant aux trous lourds, aux trous légers et aux états de séparation sont proches les unes des autres. Un modèle à huit bandes k·p décrit ces interactions directement, plutôt que de tenter de les regrouper toutes dans une seule masse effective.

Dans cette section, nous nous intéressons aux semi-conducteurs de type zincblende, notamment les matériaux tels que le GaAs, l’InAs et l’InP. L’objectif est de construire le modèle à huit bandes par étapes : d’abord, identifier les états, puis étudier leurs interactions, et enfin comprendre ce que la résolution de la matrice résultante nous apprend sur un puits quantique.

Quels sont les huit États ?

Près du centre de la zone de Brillouin (le point Gamma), un point de départ utile consiste à décrire l’état de la bande de conduction comme présentant principalement une symétrie de type S. Les états de la bande de valence présentent principalement une symétrie de type p, que nous désignons par X, Y et Z pour indiquer leurs orientations cartésiennes. Il s’agit d’états cristallins, et non d’orbitales atomiques individuelles, mais les désignations des orbitales nous aident à comprendre les interactions entre elles.

Sans tenir compte du moment cinétique, nous avons donc quatre états possibles :

\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]

Chaque état peut se présenter avec un spin « haut » ou un spin « bas ». La base réelle utilisée dans cette représentation cartésienne est la suivante :

\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]

C’est là que provient le nom « huit bandes » : il s’agit de quatre fonctions orbitales multipliées par deux composantes de spin. Nous allons d’abord ignorer l’interaction de spin afin de pouvoir comprendre plus facilement le problème simplifié à quatre états. Le couplage spin-orbite sera introduit une fois que les interactions orbitales seront bien comprises.

Que signifie l’expression « deux groupes de musique se produisent ensemble » ?

Imaginez que nous connaissions les énergies des états S et X au point Gamma. Si les deux états n’interagissaient jamais, la modification du vecteur d’onde ne ferait que modifier leurs énergies individuelles. Cependant, dans un cristal réel, le mouvement à travers le potentiel périodique peut les coupler. La fonction d’onde de l’électron peut alors contenir un mélange de caractéristiques similaires à celles des états S et X, plutôt que d’appartenir exclusivement à un seul état.

Nous représentons cela en écrivant la fonction d’onde comme une somme d’états de base. Prenons l’exemple d’un système à quatre orbitales :

\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]

Les coefficients nous indiquent dans quelle mesure chaque état de base contribue à une solution particulière. Au lieu de résoudre une équation distincte pour chaque orbitale, nous résolvons une équation de Schrödinger matricielle qui détermine tous les coefficients simultanément :

\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]

Les valeurs situées le long de la diagonale décrivent l’énergie de chaque état. Les valeurs situées en dehors de la diagonale décrivent les interactions entre différents états. Si ces valeurs en dehors de la diagonale sont nulles, les états restent indépendants. Si elles sont non nulles, la résolution de la matrice modifie à la fois les énergies autorisées et la composition des fonctions d’onde résultantes.

Le couplage de Kane : il relie les bandes de conduction et de valence.

Dans la théorie k·p, l’interaction entre l’état de conduction de type S et les états de valence X, Y et Z dépend du vecteur d’onde de l’électron. Cette interaction est décrite par le couplage de Kane. Par exemple, les états S et X sont couplés par un terme proportionnel à la composante du vecteur d’onde le long de l’axe x ; les couplages correspondants entre S et Y, et entre S et Z, dépendent des composantes y et z.

En utilisant la convention « énergie × temps × longueur » pour le paramètre de Kane P, nous pouvons représenter les interactions de manière schématique comme suit :

\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]

Ici, P contrôle l’intensité de l’interaction. Son amplitude est souvent exprimée à l’aide de l’énergie de Kane, \(E_p\) :

\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]

où \(m_0\) représente la masse de l’électron libre. Une valeur plus élevée du paramètre de Kane entraîne un mélange plus important des états de conduction et de valence lorsque le vecteur d’onde s’éloigne du point Gamma. Les facteurs imaginaires et les signes présents dans l’hamiltonien complet dépendent de la convention de base choisie ; l’idée physique importante est que les termes non diagonaux relient les bandes.

Un exemple à deux États.

Avant d’examiner les huit états possibles, il est utile de considérer l’exemple le plus simple. Supposons que nous ne conservions qu’un seul état de conduction et un seul état de valence. Si leurs énergies non couplées sont \(E_c\) et \(E_v\), un modèle hermitien pratique est le suivant :

\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]

Dans ce modèle simplifié à deux états, nous avons choisi les phases des fonctions de base de manière à ce que le couplage soit réel. La résolution de la matrice donne deux valeurs d’énergie :

\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Lorsque le vecteur d’onde est nul, le couplage disparaît et nous retrouvons les limites de bande d’origine. En s’éloignant de zéro, les solutions supérieure et inférieure s’éloignent l’une de l’autre. Cette séparation dépend de l’intensité du couplage P, et les fonctions d’onde correspondantes deviennent des mélanges des deux états de base d’origine. Cet exemple simple illustre le principe fondamental du calcul complet sur huit bandes : le couplage modifie la dispersion de la bande, plutôt que de simplement décaler une parabole existante.

Pourquoi l’interaction entre les porteurs de charge modifie-t-elle la masse effective ?

Rappelons l’équation de la bande parabolique que nous avons vue dans le tutoriel précédent. Près du minimum de la bande de conduction, l’énergie dépend approximativement du carré du vecteur d’onde, et la masse effective détermine la courbure. Le modèle à deux états décrit ci-dessus explique pourquoi d’autres bandes peuvent influencer cette masse.

Si le couplage \(Pk\) est faible par rapport à la largeur de bande \(E_g=E_c-E_v\), la solution supérieure peut être développée au voisinage de \(k=0\) :

\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]

Remarquez que le terme supplémentaire est proportionnel à \(k^2\) : bien que nous ayons introduit un couplage qui est linéaire en fonction de k, son effet sur l’énergie à proximité du bord de la bande est quadratique. Il modifie donc la courbure de la bande de conduction et, par conséquent, la masse effective de l’électron.

Dans le modèle actuel, on observe également une contribution directe de l’énergie cinétique et un couplage avec plusieurs états de valence, y compris les états issus de la séparation spin-orbite. Ces contributions doivent être combinées pour reproduire la masse observée au bord de la bande. C’est pourquoi la masse effective ne constitue pas un simple substitut arbitraire à la masse de l’électron libre : elle résume l’influence des bandes cristallines environnantes sur le mouvement d’un électron près d’un bord de bande particulier.

Pourquoi y a-t-il trois orbitales de valence ?

L’état de conduction, pris isolément, est relativement simple. La bande de valence nécessite davantage d’attention, car elle contient des états de type X, Y et Z qui peuvent interagir entre eux. Leur comportement dépend de la direction du vecteur d’onde, et non seulement de son amplitude. Une simple parabole orientée vers le bas ne permet donc pas de prendre en compte les caractéristiques importantes de la structure de la bande de valence.

Dans la représentation cartésienne, nous construisons un bloc de bande de valence avec un élément diagonal pour chaque orbitale et des éléments non diagonaux décrivant leur couplage. En utilisant les coefficients L, M et N, un bloc d’orbitale typique a la forme suivante :

\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]

où les termes diagonaux prennent la forme suivante :

\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]

Il n’est pas nécessaire de mémoriser cette matrice pour en comprendre la fonction. L et M déterminent la manière dont les énergies des différents constituants orbitaux varient en fonction de la direction ; N contrôle le mélange entre les différents constituants orbitaux. Le calcul complet sur huit bandes inclut ce bloc de valence pour les deux composantes de spin et le couple aux états de conduction.

D’où proviennent les zones de forte densité, les zones de faible densité et la bande de séparation ?

Jusqu’à présent, nous avons décrit S, X, Y et Z comme des états orbitaux. L’électron possède également un moment cinétique intrinsèque, ce qui lui confère une composante de spin « vers le haut » et une composante de spin « vers le bas » pour chaque orbitale. Il serait facile de simplement doubler la base si le spin n’interagissait jamais avec le mouvement orbital. Cependant, un semi-conducteur contient une interaction supplémentaire appelée couplage spin-orbite.

Dans la bande de valence, ce couplage mélange les composantes orbitales et de spin. Au point Gamma d’un cristal de type zincblende non soumis à des contraintes, les six états spin-orbitaux de type p se séparent en un groupe quadruple, qui contient les états de trous lourds et de trous légers, et en un groupe double appelé la bande de séparation. La différence d’énergie est désignée par \(\Delta_{\mathrm{so}}\).

Les termes « bande à forte courbure » et « bande à faible courbure » font référence aux différentes courbures de ces bandes à proximité du point Gamma, et donc à leurs différentes masses effectives. Les bandes ne sont pas nécessairement indépendantes une fois que le vecteur d’onde change. Dans un puits quantique, le confinement et les contraintes peuvent les mélanger davantage, ce qui est l’une des principales raisons d’utiliser le modèle multibande complet.

En choisissant la valeur maximale de la bande de valence comme énergie de référence, l’énergie moyenne de la bande de valence non perturbée dans la représentation cartésienne est souvent exprimée de la manière suivante :

\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]

La matrice d’interaction spin-orbite sépare ensuite les états de valence supérieurs des états déconnectés, en reproduisant les valeurs d’énergie requises au point Gamma. OghmaNano conserve explicitement ce couplage plutôt que de tenter de modéliser toutes les bandes de valence à l’aide d’une seule masse effective pour les trous.

Assembler l’hamiltonien à huit bandes.

Nous pouvons maintenant comprendre comment les différents éléments s’assemblent. Il existe deux états de conduction de type S (un pour chaque spin) et six états de valence de type p. Le hamiltonien est divisé en quatre blocs :

\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]

Le bloc de conduction \(H_{cc}\) contient le bord de la bande de conduction et son énergie cinétique. Le bloc de valence \(H_{vv}\) contient les termes orbitaux X/Y/Z et l’interaction spin-orbite. Le bloc de couplage \(H_{cv}\) contient les interactions de Kane qui relient les états de conduction et de valence. Le symbole \(\dagger\) désigne le conjugué hermitien, ce qui garantit que l’hamiltonien possède la structure hermitienne requise.

Bien que la matrice complète comporte huit lignes et huit colonnes pour un matériau homogène, à un vecteur d’onde spécifié, ses éléments individuels sont désormais moins énigmatiques : chaque élément attribue soit une énergie à un état de base, soit décrit une interaction entre deux états. Nous résolvons le problème des valeurs propres de la matrice afin d’obtenir les énergies admissibles des bandes et la composition de leurs fonctions d’onde.

D’où proviennent les paramètres du modèle ?

Les données expérimentales et théoriques sur les semi-conducteurs sont généralement exprimées en termes de largeur de bande interdite \(E_g\), de masse effective de conduction, d’énergie de Kane \(E_p\), de séparation spin-orbite \(\Delta_{\mathrm{so}}\) et de paramètres de Luttinger \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) et \(\gamma_3\). Ces grandeurs déterminent les dispersions diagonales du modèle et l’intensité des interactions entre les états.

Il existe un problème important concernant la comptabilité. Dans le modèle parabolique, la masse effective mesurée tient déjà compte de l’influence des bandes voisines. Dans un modèle à huit bandes, certaines de ces bandes voisines sont désormais prises en compte explicitement grâce au couplage de Kane. Nous devons donc ajuster les coefficients d’énergie cinétique restants afin que la même interaction physique ne soit pas comptabilisée deux fois.

Dans la paramétrisation d’OghmaNano, le coefficient de la bande de conduction à distance est désigné par \(A_c\), et les coefficients des orbitales de valence sont notés L, M et N. La conversion des paramètres matériels mesurés fait partie de la définition du modèle ; les coefficients obtenus ne doivent pas être confondus avec les masses effectives brutes des bandes paraboliques indépendantes.

La correction de la bande de conduction

L’une des expressions utilisées pour désigner la contribution de la bande de conduction à la conductivité est la suivante :

\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]

avec \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\). Le premier terme définit la courbure de la bande mesurée, tandis que les deux termes qui incluent \(E_p\) éliminent la partie due aux états de valence qui sont désormais explicitement couplés. Ici, \(m_e^{*}\) représente une masse exprimée en unités du Système international ; si une base de données de matériaux contient la masse relative \(m_e^{*}/m_0\), on utilise plutôt son inverse.

Des corrections similaires sont introduites dans L, M et N par le biais des paramètres de Luttinger. Il est impératif de respecter une cohérence stricte dans les conventions utilisées pour les paramètres, en fonction de la base et de l’hamiltonien choisis ; l’utilisation de coefficients de mélange provenant de conventions différentes peut entraîner une courbure de bande incorrecte, même lorsque les dimensions de la matrice semblent correctes.

Quels sont les changements lorsque nous plaçons le modèle à l’intérieur d’un puits quantique ?

Jusqu’à présent, toutes les considérations ont porté sur un semi-conducteur dont le vecteur d’onde cristallin tridimensionnel est spécifié. Pour un puits quantique, nous choisissons à nouveau \(z\) perpendiculaire aux couches et \(x\) et \(y\) parallèles à celles-ci. Les porteurs de charge peuvent se déplacer librement le long des couches, de sorte que \(k_x\) et \(k_y\) restent des composantes ordinaires du vecteur d’onde dans le plan.

Cependant, en considérant les différentes couches, nous devons déterminer les fonctions d’onde confinées. La composante z est donc représentée par un opérateur différentiel :

\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]

Il s’agit de l’extension à plusieurs bandes de l’approche basée sur l’équation de Schrödinger, présentée dans les pages précédentes. Au lieu de résoudre l’équation pour une seule fonction d’enveloppe scalaire, nous la résolvons pour huit composantes d’enveloppe couplées :

\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]

Chaque point de la grille numérique situé le long du puits est associé à huit valeurs couplées. Avec N points de grille spatiaux, l’hamiltonien discrétisé a donc une dimension de : \(8N\)La résolution de ce problème permet de déterminer les énergies et la composition orbitale et de spin de chaque sous-bande calculée. Un exemple complet de ce calcul est présenté dans le Guide pratique sur les puits quantiques à huit bandes de type zincblende GaAs/AlGaAs, basé sur le modèle k·p..

Les paramètres des matériaux peuvent également varier au niveau d’une interface. Lorsque des coefficients sont multipliés par des opérateurs différentiels, leur ordre doit être choisi avec soin afin de préserver l’hermiticité et le comportement correct de l’interface. Par exemple, un coefficient de Kane variant spatialement est généralement introduit par le biais d’un opérateur symétrisé plutôt que de le considérer comme une constante en dehors de la dérivée.

Où la tension se manifeste-t-elle ?

Lorsque l’on fait croître une couche semi-conductrice sur une autre couche dont la constante de réseau est différente, la première couche peut être comprimée ou étirée. Cela crée une contrainte qui modifie les niveaux d’énergie relatifs des états de conduction et de valence.

La bande de conduction subit un déplacement d’énergie hydrostatique, tandis que les bandes de valence peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres et se mélanger. Dans les modèles de type zincblende, ces effets sont généralement représentés à l’aide de Hamiltonien de la souche Bir-PikusL’ajout de ce terme au modèle de Hamilton à huit bandes nous permet de calculer comment le confinement et la contrainte interagissent, plutôt que de corriger les bandes séparément après avoir résolu l’équation du puits quantique.

Pourquoi est-ce important pour les calculs optiques ?

Le transitions optiques tutoriel il a expliqué comment les sous-bandes d’électrons et de trous déterminent les énergies possibles des photons. Dans l’approximation parabolique, les intensités de transition peuvent être estimées en utilisant le recouvrement de deux fonctions d’enveloppe scalaires et un élément de matrice optique du matériau.

Dans le modèle à huit bandes, chaque état est plutôt une combinaison de composantes S, X, Y et Z. Sa réponse optique dépend de ces composantes et de la polarisation de la lumière. C’est pourquoi un calcul à plusieurs bandes peut prédire les variations de l’intensité de transition et de la réponse TE/TM, variations qui ne sont pas prises en compte dans une description à masse unique.

L’amélioration principale ne réside pas simplement dans le fait que nous calculons davantage de courbes. Nous calculons la composition des états, y compris la manière dont leur caractère orbital évolue en fonction du vecteur d’onde, du confinement et de la contrainte.