Fonctions de base, fonctions d’enveloppe et hamiltoniens à plusieurs bandes.

Pour transformer un hamiltonien « en bloc » k·p en un problème de puits quantique, il faut deux éléments : l’approximation de la fonction d’enveloppe, qui permet à une matrice « en bloc » de décrire une structure variant spatialement, et une base cohérente dans laquelle exprimer la matrice. Cette page rassemble ces deux éléments et enregistre les ordres exacts de la base utilisés par OghmaNano, afin que les pages spécifiques au modèle puissent renvoyer à une définition unique.

1. Trois types de fonctions

Il est utile de distinguer trois concepts qui sont souvent confondus. La fonction de Bloch \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) est l’état propre exact du cristal. La fonction périodique de la cellule \(u_{n0}\) au centre de la zone est l’une des fonctions de base fixes, de type « s » pour la bande de conduction et de type « p » (\(X,Y,Z\)) pour la bande de valence. La fonction d’enveloppe \(F_n(z)\) est une amplitude à variation lente qui multiplie chaque fonction de base et qui représente l’effet du confinement. Dans une hétérostructure, l’état complet est la somme de toutes les fonctions de base.

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

et c’est l’ensemble des enveloppes \(\{F_n(z)\}\) que l’algorithme calcule.

2. L’approximation par la fonction d’enveloppe.

L’approximation de la fonction d’enveloppe repose sur deux hypothèses : la même base de fonctions au centre de la zone de Brillouin \(u_{n0}\) peut être utilisée dans chaque couche, et les paramètres du matériau (écart énergétique, masses, paramètres de Kane et de Luttinger) varient en fonction de la position, sur une échelle beaucoup plus grande que la constante de réseau. La matrice « bulk k·p » devient alors un opérateur différentiel agissant sur les fonctions d’enveloppe, avec des coefficients qui dépendent de la position. Le remplacement essentiel est que le vecteur d’onde dans la direction de croissance devient un opérateur différentiel.

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

tandis que les vecteurs d’onde dans le plan \(k_x, k_y\) les bons nombres quantiques sont conservés, car la structure est invariante par translation dans le plan. Chaque \(k_z\) dans l’hamiltonien global, on remplace cette expression par cet opérateur, et pour chaque \(k_z^2\) à l’aide de la dérivée seconde symétrique de la page précédente. Parmi ces produits, on peut citer : \(k_x k_z\) devenir \(k_x(-i\,d/dz)\), de manière à ce que l’opérateur reste hermitien lorsque le coefficient varie. Le résultat est une équation différentielle matricielle pour les enveloppes, discrétisée comme décrit dans la section suivante. page sur la méthode des différences finies.

3. Lecture d’un hamiltonien en blocs.

Il est préférable de considérer un hamiltonien à plusieurs bandes comme un ensemble réduit de blocs avant d’examiner ses éléments individuels. La division la plus grossière sépare les états de type conduction des états de type valence.

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

où \(H_{cc}\) décrit les états de conduction de type s, \(H_{vv}\) les états de valence de type p, et \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) le couplage d’impulsion de Kane entre eux. Le bloc de conduction est essentiellement un opérateur de masse effective (non parabolique) ; le bloc de valence contient la physique des trous lourds, des trous légers et des états de séparation ; et le bloc de couplage est ce qui rend le modèle « multibande » au sens strict, en reliant la non-parabolicité de la conduction à la structure de valence. Les termes de déformation et d’interaction spin-orbite sont ajoutés aux blocs appropriés.

4. Types de commandes de base utilisés par OghmaNano.

La valeur numérique d’une entrée de la matrice hamiltonienne dépend de l’ordre dans lequel les états de base sont énumérés. OghmaNano utilise un ensemble d’orbitales cartésiennes fixes pour les modèles de type zincblende et wurtzite, et un ensemble d’états de base basés sur le moment cinétique total pour le modèle de Luttinger-Kohn. Les ordres sont les suivants :

• Structure à 8 bandes de type zincblende et structure à 8 bandes de type wurtzite : \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Zincblende à 10 bandes : les huit premières, suivies de deux états localisés d’azote \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Modèle de Luttinger-Kohn à 6 bandes : \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).
• Silicium en forme de vallée delta : une seule bande (scalaire) par vallée, calculée une seule fois pour chacune des six orientations de vallée.

L’utilisation des orbitales cartésiennes \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) plutôt que des combinaisons de moment angulaire total \(|J,m_j\rangle\) permet de conserver des couplages de moment et de déformation réels et faciles à assembler, au prix de l’introduction d’un terme explicite hors diagonale pour le couplage spin-orbite. Le modèle de Luttinger-Kohn utilise plutôt la base \(|J,m_j\rangle\), dans laquelle le couplage spin-orbite est diagonal, mais les termes cinétiques prennent la forme classique \(P,Q,R,S\). Les deux options sont physiquement équivalentes ; chacune est plus adaptée à un modèle différent, et les deux sont décrites sur leurs pages respectives.