Le modèle k·p à 10 bandes pour la structure cristalline zincblende : nitrures dilués.
Pourquoi avons-nous besoin d’un modèle à dix bandes ?
Dans modèle à huit bandes de type zincblendenous décrivons un semi-conducteur en utilisant une orbitale de conduction de type « s » et trois orbitales de valence de type « p », chacune ayant deux états de spin. En couplant ces états, nous pouvons calculer les bandes de conduction et de valence, en tenant compte des effets que les modèles plus simples ne prennent pas en compte. modèle à bande parabolique ne peut pas se reproduire.
Pour certains alliages, cependant, même cette description est incomplète. Un exemple particulièrement intéressant est celui des nitrures dilués, comme le GaAsN ou le GaInNAs : il s’agit de matériaux dans lesquels une petite fraction des atomes du groupe V est remplacée par de l’azote. Il est remarquable de constater que l’ajout d’une quantité relativement faible d’azote peut réduire considérablement la largeur de la bande interdite, bien plus que ce que l’on pourrait prévoir en se basant uniquement sur l’interpolation des propriétés des matériaux constitutifs. La masse effective des électrons peut également changer de manière significative.
La raison en est que l’azote ne se contente pas de modifier légèrement les bandes cristallines existantes. Il introduit un niveau électronique de résonance qui interagit avec la bande de conduction du semi-conducteur hôte. Pour décrire cette interaction, nous devons ajouter un état supplémentaire dérivé de l’azote au modèle k·p classique. En tenant compte des deux orientations de spin, nous passons de huit états de base à dix.
Quel est l’effet de l’azote sur la bande de conduction ?
🧪 Essayez ceci dans OghmaNano : Le Guide pratique sur les puits quantiques GaInNAs/GaAs à dix bandes, basé sur le modèle k·p. applique le modèle de non-croisement des bandes d’alliages dilués en nitrure, tel que décrit dans cette page, afin de calculer les états confinés, la structure de bande et les propriétés optiques. Voir la suite. solveur pour la structure de bandes k·p, les puits quantiques et la mobilité pour consulter la gamme complète des modèles disponibles.
Considérons la bande de conduction du semi-conducteur d’origine avant l’ajout d’azote. Près de son minimum, nous pouvons la décrire, à première approximation, par une parabole :
\[ E_c(k)=E_{c,0}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_c^{*}}. \]
Ici, \(E_{c,0}\) représente la limite supérieure de la bande de conduction d’origine, tandis que \(k\) décrit le vecteur d’onde cristallin de l’électron. Dans le modèle des nitrures dilués, l’azote introduit également un état électronique plus localisé à l’énergie \(E_N\). Contrairement aux états étendus de la bande de conduction, ce niveau dérivé de l’azote présente une faible dispersion dans le modèle le plus simple ; sur un diagramme représentant l’énergie en fonction du vecteur d’onde, on peut le considérer comme une ligne approximativement horizontale.
Si les deux états n’interagissaient pas, leurs énergies pourraient simplement se croiser. Or, ils interagissent. Lorsque la bande de conduction de l’hôte se rapproche du niveau d’énergie de l’azote, les deux états se mélangent, ce qui a pour effet d’éloigner leurs énergies. On appelle ce phénomène « anticroisement de bandes » (ACB).
Comprendre le phénomène d’anticroisement.
Nous pouvons comprendre les principes fondamentaux de la physique sans commencer par un hamiltonien à dix bandes. Imaginons que nous n’ayons que deux états électroniques : un appartenant à la bande de conduction de la matrice d’origine, avec une énergie de \(E_c\), et un appartenant à l’azote, avec une énergie de \(E_N\). Leur interaction est décrite par une énergie de couplage \(V_N\).
Nous pouvons formuler ce petit problème sous forme de matrice :
\[ \boxed{ H_{\mathrm{BAC}}= \begin{pmatrix} E_c & V_N \\ V_N & E_N \end{pmatrix} } \]
Les éléments diagonaux représentent les énergies que chaque état aurait pris séparément. Les éléments non diagonaux décrivent leur interaction. Lorsque \(V_N=0\) est nul, les états sont indépendants. Lorsque le couplage est non nul, les énergies possibles sont obtenues en calculant les valeurs propres de cette matrice.
En écrivant l’équation des valeurs propres sous la forme \(\det(H_{\mathrm{BAC}}-EI)=0\), on obtient :
\[ (E_c-E)(E_N-E)-V_N^2=0. \]
Il s’agit d’une équation du second degré en termes d’énergie. Sa résolution donne deux solutions, qui correspondent aux deux nouveaux états électroniques mixtes :
\[ \boxed{ E_{\pm}=\frac{E_c+E_N}{2} \pm\frac{1}{2} \sqrt{(E_c-E_N)^2+4V_N^2} } \]
Le terme racine carrée est ce qui crée l’anticroisement. Même si les niveaux initiaux ont exactement la même énergie, les deux nouveaux états ne se croisent pas : ils restent séparés par \(2|V_N|\). On peut le constater directement en définissant \(E_c=E_N\) dans l’expression ci-dessus.
OghmaNano discrétise la direction de croissance en points d’une grille spatiale et utilise un algorithme de résolution d’équations propres parcimonieux pour déterminer les états pertinents. Si la grille contient… \(N_z\) points, les dix éléments de base donnent une dimension de matrice de \(10N_z\)Ici. \(N_z\) représente le nombre de points de la grille spatiale ; il ne faut pas le confondre avec le symbole. \(N\) utilisé pour déterminer l’état lié à la présence d’azote. Un calcul complet de GaInNAs/GaAs basé sur ce modèle est présenté dans guide pratique sur les puits quantiques à dix bandes et à faible teneur en azoture, basé sur la méthode k·p.
Pourquoi l’écart de bande énergétique diminue-t-il ?
Supposons que le niveau d’azote se situe au-dessus du minimum initial de la bande de conduction, comme dans le modèle standard d’anticroisement de bandes pour les nitrures dilués. L’activation de l’interaction déplace l’état mixte inférieur en dessous de ce minimum initial. Le bord de la bande de valence ne subit pas le même anticroisement dans ce modèle, de sorte que l’énergie qui sépare l’état de conduction le plus bas de la bande de valence diminue.
Le déplacement du seuil de conduction n’est pas simplement proportionnel à la faible concentration d’azote. Il dépend à la fois de l’intensité du couplage et de la proximité du niveau d’azote par rapport à la bande du matériau hôte. Pour illustrer cet effet à l’aide d’exemples d’énergies arbitraires, imaginez :
\[ E_c=1.40\,\mathrm{eV},\qquad E_N=1.60\,\mathrm{eV},\qquad V_N=0.10\,\mathrm{eV}. \]
En substituant ces valeurs dans l’expression de l’anticroisement, on obtient une branche inférieure d’environ \(1.359\,\mathrm{eV}\), et non la branche initiale de \(1.40\,\mathrm{eV}\). Dans cet exemple illustratif, l’interaction avec l’état d’azote a abaissé le seuil de conduction d’environ \(41\,\mathrm{meV}\). Les valeurs sont choisies pour illustrer le mécanisme, et non pour définir les paramètres d’un alliage particulier.
Il est important de noter que la bande de conduction change également de forme. Dans notre modèle à deux niveaux, \(E_c\) est lui-même une fonction de \(k\), de sorte que les deux nouvelles solutions sont des dispersions \(E_-(k)\) et \(E_+(k)\). La branche inférieure peut devenir plus plate près de son minimum, ce qui correspond à une masse effective plus importante pour les électrons. Ainsi, la même interaction peut expliquer à la fois la réduction de la largeur de bande et la modification de la courbure de la bande.
De quelle manière la concentration d’azote est-elle intégrée au modèle ?
La quantité d’azote est importante, car un nombre plus élevé d’états dérivés de l’azote sont disponibles pour interagir avec la bande de conduction élargie à mesure que la proportion d’azote augmente. Dans le modèle standard d’anticroisement des bandes, le couplage effectif s’écrit comme suit :
\[ \boxed{V_N=\beta_N\sqrt{x_N}} \]
Ici, \(x_N\) représente la fraction molaire d’azote (par exemple, un pour cent d’azote est saisi sous la forme \(x_N=0.01\)), et \(\beta_N\) est le paramètre de couplage du système de matériaux. La dépendance en racine carrée reflète le couplage collectif de l’état de conduction de la matrice à la faible concentration de sites d’azote. Il ne s’agit pas d’un simple décalage linéaire arbitraire du bord de la bande de conduction.
En l’absence d’azote, \(x_N=0\), le couplage disparaît et nous retrouvons la description du système non couplé. Lorsque de l’azote est ajouté, l’interaction devient plus forte et les deux branches mélangées s’éloignent davantage. Le comportement réel dépend également de la position de \(E_N\) par rapport à la bande de conduction du matériau hôte, de sorte que \(E_N\) et \(\beta_N\) sont tous deux des paramètres importants.
Du modèle à deux états au modèle complet à dix bandes.
Nous avons maintenant compris le phénomène d’anticroisement en utilisant seulement deux états. Comment cela s’intègre-t-il dans l’hamiltonien à huit bandes de la structure cristalline de type zincblende introduit dans le document ? page précédente?
Le modèle à huit bandes contient déjà l’orbitale de conduction de type « s » et trois orbitales de valence de type « p », chacune ayant deux orientations de spin. Le modèle à faible concentration de nitrure conserve ces huit états initiaux, puis introduit deux états de base supplémentaires dérivés de l’azote, un pour chaque spin :
\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle,\\ &|N\uparrow\rangle,\ |N\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]
Ces états dérivés de l’azote représentent efficacement les niveaux de résonance de l’alliage. Il ne faut pas les interpréter comme une tentative de suivre la fonction d’onde autour de chaque atome d’azote individuel dans un cristal désordonné.
Dans la configuration standard à dix bandes, l’azote s’associe à l’état de conduction de type « s » avec le même spin. Dans ce modèle, on ne tient pas compte de son couplage direct aux états de valence de type « p ». Nous pouvons représenter la matrice complète de manière schématique comme suit :
\[ H_{10}= \begin{pmatrix} H_{8} & C_N\\ C_N^{\dagger} & E_N I_2 \end{pmatrix}, \]
où \(H_8\) est le hamiltonien original à huit bandes de type zincblende, \(I_2\) est une matrice identité à deux états, et \(C_N\) contient le couplage entre l’azote et la bande de conduction. Dans l’ordre de base indiqué ci-dessus, les seuls éléments non nuls de \(C_N\) relient \(|S\uparrow\rangle\) à \(|N\uparrow\rangle\) et \(|S\downarrow\rangle\) à \(|N\downarrow\rangle\), chacun avec une force de couplage \(V_N\).
C’est pourquoi ce modèle est appelé « dix bandes » : il s’agit du système original à huit bandes auquel on ajoute deux états d’azote sensibles à l’effet Zeeman, et non de dix paraboles distinctes combinées.
Quels sont les changements qui se produisent lorsque nous plaçons le matériau dans un puits quantique ?
Jusqu’à présent, notre discussion a décrit l’énergie d’un alliage en fonction du vecteur d’onde du cristal. Dans une hétérostructure quantique, il est également nécessaire de prendre en compte les couches semi-conductrices et le potentiel de confinement perpendiculaire à celles-ci.
Comme dans le bande parabolique tutorielnous définissons \(z\) en fonction de la direction dans les différentes couches, alors que l’électron peut toujours se déplacer parallèlement à ces couches. Dans un calcul impliquant plusieurs bandes, l’état confiné n’est plus décrit par une seule fonction d’onde scalaire. Au lieu de cela, il possède une composante d’enveloppe pour chaque état dans la base, y compris les composantes dérivées de l’azote.
À chaque position, les propriétés du matériau local déterminent les limites de la bande d’énergie, les interactions effectives, la concentration d’azote \(E_N\) et la fraction d’azote \(x_N\). L’hamiltonien à dix bandes décrit la manière dont tous les composants interagissent. La résolution du problème des valeurs propres du puits quantique qui en résulte permet de déterminer les niveaux d’énergie autorisés et leurs fonctions d’onde mixtes d’électrons et de trous.
OghmaNano discrétise la direction de croissance en points d’une grille spatiale et utilise un algorithme de résolution d’équations propres parcimonieux pour déterminer les états d’intérêt. Si la grille contient \(N_z\) points, les dix composantes de base donnent une dimension de matrice de \(10N_z\). Ici, \(N_z\) représente le nombre de points de la grille spatiale ; il ne faut pas le confondre avec le symbole \(N\) utilisé pour identifier l’état dérivé de l’azote.
Une conséquence pratique de l’anticroisement est que le niveau d’énergie le plus bas de la bande de conduction n’est plus égal à la valeur initiale \(E_c\). La branche inférieure \(E_-\) fournit une estimation utile de la nouvelle position du bord de la bande de conduction lorsque l’on cherche à déterminer numériquement les états confinés.
Quelles sont les implications pour les transitions optiques ?
L’écart de bande n’est pas la seule grandeur qui évolue. Étant donné que les états propres eux-mêmes sont des mélanges de caractéristiques de la bande de conduction et d’origine azotée, leur interaction avec la lumière peut également changer. Un état qui présente principalement les caractéristiques de la bande de conduction n’a pas nécessairement le même couplage optique qu’un état qui contient une proportion importante d’éléments d’origine azotée.
La branche inférieure de l’anticroisement est particulièrement importante, car elle peut devenir l’état de conduction le plus bas disponible, ce qui modifie l’énergie de transition entre les bandes de conduction et de valence. Sa dispersion modifiée affecte également les énergies et le nombre d’états disponibles pour les transitions optiques. OghmaNano peut utiliser les fonctions d’onde multicomposantes résultantes dans les étapes suivantes. transition optique, calculs d’émission spontanée et de gain.
Le modèle BAC à dix bandes prend en compte l’influence de l’état de résonance de l’azote sur la structure de la bande de conduction, mais il ne s’agit toujours que d’une approximation. Il ne permet pas de déterminer la position exacte de chaque atome d’impureté d’azote, ni, à lui seul, de décrire tous les effets optiques et de transport liés aux défauts que l’on observe dans les alliages réels à faible concentration d’azote.