Comprendre le modèle de valence de Luttinger-Kohn à six bandes.

Pourquoi avons-nous besoin d’un modèle distinct pour les trous ?

Dans tutoriel sur les bandes paraboliquesNous avons traité les électrons et les trous en utilisant des paraboles distinctes. C’est un point de départ utile, mais les bandes de valence supérieures de nombreux semi-conducteurs sont beaucoup plus complexes. Au lieu d’une seule bande de trous, nous observons plusieurs bandes rapprochées qui peuvent interagir entre elles.

On les appelle généralement les bandes de trous lourds (HH), de trous légers (LH) et de séparation (SO), comme illustré dans ??. Les termes « lourd » et « léger » font référence à leurs différentes courbures de bande et, par conséquent, à leurs différentes masses effectives ; ils ne signifient pas qu’il existe deux types physiques différents de trous.

Le modèle de Luttinger-Kohn à six bandes décrit ces états de valence pris ensemble. C’est particulièrement utile pour le silicium, le germanium et les hétérostructures quantiques SiGe, où les états de conduction peuvent être traités séparément. modèle de la Silicon ValleyContrairement à un modèle à huit bandes, le modèle LK à six bandes n’inclut pas explicitement la bande de conduction : il se concentre sur la physique des trous.

Quelle est l’origine des six états ?

Pour comprendre la signification du nombre six, il est utile de commencer par les orbitales de la bande de valence. Près du centre de la zone, les états pertinents dans les semi-conducteurs à base de diamant et de zinc-sulfure présentent trois composantes orbitales de type p, que nous pouvons désigner par X, Y et Z. Un électron possède également deux composantes de spin possibles. Par conséquent, la multiplication de trois composantes orbitales par deux composantes de spin donne six états.

L’interaction spin-orbite du cristal couple le moment angulaire orbital et le moment angulaire de spin. Il est alors judicieux de remplacer les désignations distinctes des moments angulaires orbital et de spin par des états de moment angulaire total, notés J et sa projection mJ. Les six états se séparent en un groupe de quatre états avec J = 3/2 et un groupe de deux états avec J = 1/2 :

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

Les quatre états pour lesquels J = 3/2 forment le groupe d’états correspondant aux bandes de valence et de conduction au centre de la zone de Brillouin. La paire restante forme la bande décalée, dont l’énergie est abaissée en raison de l’interaction spin-orbite \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Il ne s’agit pas de six paraboles indépendantes les unes des autres : lorsqu’un porteur s’éloigne du centre de la zone, les différentes composantes peuvent se mélanger, ce qui explique pourquoi il est nécessaire de les résoudre ensemble.

Comment choisir la méthode des six niveaux.

OghmaNano utilise la base du moment cinétique total, avec l’ordre suivant des états :

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

Le premier et le quatrième états présentent un caractère de trou lourd, les deux états intermédiaires du groupe J = 3/2 présentent un caractère de trou léger, et les deux derniers états sont des états de séparation. Cet ordre est utile car le couplage spin-orbite est déjà pris en compte dans la base : au centre de la zone de Brillouin, la paire d’états séparés se situe \(\Delta_{\mathrm{so}}\) en dessous des états de la bande de valence supérieure.

Nous pouvons donc construire une matrice hamiltonienne de 6 × 6, qui décrit les états individuels et les interactions entre eux. Les valeurs d’énergie possibles sont obtenues en calculant ses valeurs propres, tandis que les vecteurs propres nous renseignent sur la nature de chaque état résultant, en termes de trous lourds, de trous légers et de niveaux d’énergie séparés.

Comment décririons-nous le mouvement d’un trou ?

Dans une seule bande parabolique, une masse effective unique détermine la vitesse à laquelle l’énergie varie en fonction du vecteur d’onde. Ici, nous avons plusieurs états de valence couplés, de sorte qu’une seule masse ne suffit plus. Au lieu de cela, le modèle de Luttinger-Kohn utilise trois paramètres du matériau, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) et \(\gamma_3\), pour décrire la courbure et le mélange des bandes.

Ces paramètres sont regroupés en quatre quantités mathématiques pratiques, traditionnellement appelées \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\). Il est plus facile de comprendre leur rôle physique avant de voir leurs expressions complètes :

• \(P\) : la contribution commune à la courbure des états de valence.
• \(Q\) : permet de distinguer les différentes orientations des états de trou lourd et de trou léger, et de séparer leurs énergies.
• \(R\) : les composantes de valence sont couplées par le mouvement dans le plan des couches semi-conductrices.
• \(S\) : les états sont couplés par une combinaison de mouvements dans le plan et de mouvements entre les couches.

Le vecteur d’onde sous-jacent comporte trois composantes : \(k_x\) et \(k_y\) décrivent le mouvement parallèle aux couches du puits quantique, tandis que \(k_z\) fait référence à la direction de croissance, perpendiculaire à ces couches. Nous définissons également \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), où \(m_0\) représente la masse de l’électron libre.

Dans la convention de signe utilisée par la formulation OghmaNano fournie, les contributions cinétiques sont les suivantes :

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

Il n’est pas nécessaire de mémoriser ces expressions pour comprendre le modèle. Il est plutôt important de noter que certains termes dépendent de \(k_x\) et \(k_y\) différemment de \(k_z\). C’est cette approche mathématique qui permet au modèle de décrire différents comportements des états de bande de valence et de conduction dans différentes directions cristallines. Les facteurs imaginaires dans \(R\) et \(S\) font partie de la base quantique choisie ; l’hamiltonien complet reste hermitien et possède des énergies réelles.

Un exemple pertinent : un trou qui se déplace dans le sens de la croissance.

Avant d’examiner la matrice complète, prenons en considération le cas simple où le vecteur d’onde dans le plan est nul, soit \(k_x=k_y=0\). Les termes cinétiques se réduisent alors à :

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

Par conséquent, la diagonale correspondant aux trous lourds contient \(P+Q\), tandis que la diagonale correspondant aux trous légers contient \(P-Q\). Même sans calculer toutes les valeurs propres, on peut constater comment différentes courbures se manifestent :

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

Ces expressions illustrent les différentes échelles de courbure le long de la direction de croissance. Il convient de noter un point important : la partie « trou léger » de l’hamiltonien complet à six bandes peut toujours interagir avec les états dissociés via \(Q\). Ainsi, la deuxième expression représente une contribution diagonale, et non pas, en général, la valeur propre exacte de la bande « trou léger » du modèle à six bandes. Cela illustre précisément pourquoi il est nécessaire de résoudre une matrice plutôt que de supposer que chaque bande de valence est indépendamment parabolique.

Rassembler les six États.

Maintenant que chaque terme individuel a une signification physique, nous pouvons assembler l’hamiltonien complet. Ses lignes et ses colonnes correspondent, dans l’ordre, aux six états présentés précédemment. Nous mesurons les énergies par rapport à la référence de la bande de valence \(E_v\) et nous écrivons \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\) :

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

Cela semble beaucoup plus complexe qu’une simple équation de Schrödinger, mais sa structure est en fait assez simple. Les quatre premières lignes et colonnes décrivent le sous-ensemble des trous lourds et légers. Les deux dernières décrivent la paire dissociée. Les éléments situés sur la diagonale décrivent les énergies des différents composants, tandis que les éléments situés en dehors de la diagonale les mélangent. Le symbole de la dague indique le conjugué hermitien d’un terme ; pour un coefficient scalaire, cela signifie son conjugué complexe.

Au centre de la zone de Brillouin et en l’absence de contrainte, les termes cinétiques disparaissent : les quatre états avec J = 3/2 partagent le bord de la bande de valence et la paire d’états séparés se trouve \(\Delta\) en dessous. En s’éloignant du centre de la zone, le mélange modifie les énergies et le caractère des bandes résultantes.

Que se passe-t-il lorsqu’un semi-conducteur est soumis à une contrainte ?

Les puits quantiques en silicium et en germanium sont souvent cultivés sur un substrat dont la constante de réseau diffère légèrement. Cela crée une contrainte, qui peut modifier les énergies de valence et lever la dégénérescence des états de trous lourds et légers.

L’un des avantages de la formulation de Luttinger-Kohn est qu’il est possible d’introduire une déformation en utilisant un autre ensemble de termes \(P,Q,R,S\). Nous nous contentons de combiner les contributions cinétiques et celles liées à la déformation :

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

Par exemple, la contribution de la contrainte hydrostatique est fonction de la variation globale du volume, tandis que la composante biaxiale permet de distinguer la déformation dans la direction de croissance de la déformation dans le plan :

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

Les autres éléments constitutifs de la contrainte contribuent à \(R_{\varepsilon}\) et \(S_{\varepsilon}\)ce qui permet à la déformation de cisaillement de mélanger les états de valence. Leurs expressions complètes et les conventions relatives au potentiel de déformation sont présentées dans Page sur la souche Bir-Pikus.Nous pouvons alors résoudre la même matrice à six bandes en incluant les termes de déformation.

Application du modèle à un puits quantique.

Jusqu’à présent, nous avons décrit la structure de bande en utilisant trois composantes du vecteur d’onde. Dans un puits quantique, les porteurs de charge sont confinés le long de la direction de croissance \(z\), tout en conservant la liberté de se déplacer le long de \(x\) et \(y\). Les vecteurs d’onde dans le plan sont donc conservés sous forme de nombres, mais le mouvement le long de \(z\) doit être représenté par un opérateur :

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

Tous les termes contenant \(k_z\) deviennent des dérivées des fonctions d’onde d’enveloppe. Le problème à six bandes est ensuite résolu pour l’ensemble des couches semi-conductrices, en tenant compte du profil du potentiel, des paramètres des matériaux et de la contrainte. Le résultat est un ensemble de sous-bandes de valence confinées, chacune étant associée à une fonction d’onde d’enveloppe à six composantes. Ces composantes nous indiquent la proportion de caractéristiques de trous lourds, de trous légers et de trous séparés présente dans chaque état.

Si la grille définissant la direction de croissance contient \(N_z\) points dans l’espace, le hamiltonien discret a les dimensions suivantes : \(6N_z\) par \(6N_z\)OghmaNano utilise ce calcul multi-bandes pour déterminer les états de valence, tandis que silicium solveur de la vallée Δ traite séparément les états de conduction. Contrairement à un traitement parabolique simple, cette approche permet de décrire le mélange des bandes de valence, qui varie en fonction du vecteur d’onde dans le plan. Un calcul complet de Si/SiGe utilisant ce modèle est présenté dans le tutoriel sur les puits quantiques à six bandes de Luttinger-Kohn.

En quoi cela est-il lié au modèle à huit niveaux ?

Le modèle LK à six canaux et le modèle k·p à huit bandes pour la structure zincblende Ils décrivent les principes de physique qui les relient, mais ils font des choix différents quant aux états qui sont explicitement pris en compte. Les deux modèles conservent les états de valence interagissants. Le modèle à huit bandes ajoute également les deux états de conduction de type « s », résolus en fonction du spin, ainsi que leur couplage de Kane à la bande de valence.

Dans un semi-conducteur tel que le silicium, où les minima de conduction les plus bas se trouvent loin du centre de la zone de Brillouin, un hamiltonien à huit bandes centré sur la zone ne constitue pas une description directe de ces six vallées. Il est donc utile de traiter la bande de valence avec le modèle LK à six bandes et la bande de conduction avec le modèle spécifique aux vallées.