Comprendre la théorie k·p : des bandes paraboliques aux modèles à plusieurs bandes.

Pourquoi avons-nous besoin d’un autre modèle de structure de bande ?

Dans notre introduction aux bandes de puits quantiques paraboliquesnous avons représenté l’énergie d’un électron à l’aide d’une simple parabole. Sa courbure était déterminée par un masse effectivece qui nous permet de transformer chaque état quantique confiné en une sous-bande électronique bidimensionnelle. Il s’agit d’une approximation très utile, en particulier près du niveau le plus bas d’une simple bande de conduction.

Cependant, un semi-conducteur réel contient plusieurs bandes électroniques. Ces bandes peuvent être rapprochées les unes des autres, s’écarter d’une forme parabolique et interagir entre elles. Ceci est particulièrement important pour les bandes de valence, où les états correspondant aux trous lourds, aux trous légers et aux états de séparation ne peuvent pas toujours être traités comme des particules indépendantes ayant une masse unique.

La méthode k·p offre un moyen de décrire ces effets sans avoir à recalculer à chaque fois la structure électronique à l’échelle atomique pour chaque vecteur d’onde. Nous partons d’états électroniques à un point bien défini de la structure de bandes du cristal et nous calculons leur évolution lorsque le vecteur d’onde s’éloigne de ce point. Plus important encore, nous permettons à différentes bandes électroniques d’interagir entre elles.

L’objectif de cette page est d’expliquer l’origine des équations de k·p, la raison pour laquelle la masse effective apparaît naturellement, et comment un ensemble d’équations couplées se transforme en l’hamiltonien à plusieurs bandes utilisé dans un solveur pour puits quantiques.

Commençons par considérer un électron dans un cristal.

Pour un électron se déplaçant dans un cristal semi-conducteur, nous commençons par l’équation de Schrödinger indépendante du temps, que nous connaissons bien :

\[ \hat H_0\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r), \qquad \hat H_0=\frac{\hat{\mathbf p}^{\,2}}{2m_0}+V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Ici, \(m_0\) représente la masse ordinaire (de l’électron libre), \(\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla\) est l’opérateur d’impulsion et \(V_{\mathrm{crystal}}\) est le potentiel auquel l’électron est soumis en raison de la disposition périodique des atomes. Nous avons délibérément utilisé \(m_0\) et non la masse effective du semi-conducteur : à ce stade, l’influence du cristal n’a pas encore été intégrée dans une masse approximative.

Une propriété essentielle d’un cristal idéal est que son potentiel se répète d’une maille élémentaire à la suivante. Si \(\mathbf R\) décrit une translation du réseau cristallin, alors :

\[ V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r+\mathbf R) =V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Nous pourrions essayer de résoudre directement l’équation de Schrödinger dans ce potentiel périodique, mais le théorème de Bloch nous offre une méthode beaucoup plus efficace pour exprimer ses solutions.

Le théorème de Bloch : séparer l’onde du cristal.

Le théorème de Bloch énonce qu’un état électronique dans un cristal périodique peut être exprimé comme le produit d’une onde plane et d’une fonction qui se répète selon le réseau cristallin.

\[ \boxed{ \Psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r) } \]

Les deux parties ont des fonctions différentes. Le facteur d’onde plane décrit comment la phase globale évolue lorsque nous nous déplaçons à travers le cristal. La fonction \(u_{n\mathbf k}(\mathbf r)\) décrit les détails de l’onde à l’intérieur de chaque cellule élémentaire et présente la même périodicité que le cristal :

\[ u_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) =u_{n\mathbf k}(\mathbf r). \]

L’étiquette \(n\) nous indique de quelle bande électronique il s’agit, tandis que \(\mathbf k=(k_x,k_y,k_z)\) représente le vecteur d’onde du cristal. La quantité \(\hbar\mathbf k\) est appelée impulsion du cristal. Elle est étroitement liée à l’impulsion utilisée dans notre analogie précédente avec une balle de cricket, bien qu’il ne faille pas les confondre dans un cristal périodique.

Il s’agit de la première simplification importante : au lieu de décrire une nouvelle fonction d’onde à l’échelle atomique dans tout le cristal pour chaque \(\mathbf k\), nous pouvons utiliser les fonctions périodiques de la maille \(u\). La méthode k·p étudie la manière dont ces fonctions et leurs énergies évoluent lorsque nous nous déplaçons sur une petite distance dans l’espace des vecteurs d’onde.

Quelle est l’origine du terme « k·p » ?

Substituons l’expression de Bloch dans l’équation de Schrödinger. Lorsque l’opérateur d’impulsion agit sur le produit de l’onde plane et de la fonction périodique dans la cellule, le résultat est le suivant :

\[ \hat{\mathbf p}\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u\right) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \left(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\right)u. \]

En d’autres termes, agir sur une onde de Bloch revient à remplacer l’opérateur d’impulsion agissant sur \(u\) par \(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\). En appliquant ce principe au terme d’énergie cinétique et en supprimant le facteur commun de l’onde plane, on obtient :

\[ \left[ \frac{(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k)^2}{2m_0} +V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r) \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}. \]

L’étape cruciale consiste à développer le carré. Puisque \(\mathbf k\) est un paramètre et non une dérivée spatiale, nous obtenons :

\[ \boxed{ \left[ \hat H_0 +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p} +\frac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k} } \]

Le premier terme est notre hamiltonien cristallin d’origine. Le dernier terme représente une simple contribution d’énergie quadratique. Le terme central, \(\hbar\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p}/m_0\), est celui qui donne son nom à la méthode : k·p.

Sur le plan physique, cela nous indique que s’éloigner du vecteur d’onde de référence choisi peut entraîner le mélange d’états électroniques par le biais de l’opérateur d’impulsion. Pour comprendre ce que cela implique, nous devons choisir les états entre lesquels ce mélange peut se produire.

Choisir un point de référence et une base.

Les structures de bandes des semi-conducteurs sont souvent les plus intéressantes à proximité d’un minimum ou d’un maximum de bande. Pour un semi-conducteur à bande interdite directe, comme le GaAs, le minimum de la bande de conduction et le maximum de la bande de valence se trouvent au centre de la zone de Brillouin, point connu sous le nom de point Gamma (\(\Gamma\)). Pour l’explication qui suit, nous allons donc nous baser sur \(\mathbf k=0\). Le même principe général peut être appliqué en utilisant un autre point de référence lorsque l’extremum de bande pertinent se trouve ailleurs dans la zone de Brillouin.

Au point \(\mathbf k=0\), le terme k·p disparaît. Supposons que nous connaissions déjà plusieurs états cristallins périodiques dans cette zone :

\[ \hat H_0|u_{n0}\rangle=E_n(0)|u_{n0}\rangle. \]

Ces états connus constituent notre point de départ. Un état situé à proximité, dans l’espace des vecteurs d’onde, peut alors être décrit comme une combinaison de ces états :

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =c_1|u_{10}\rangle+c_2|u_{20}\rangle+\cdots. \]

Les coefficients \(c_1,c_2,\ldots\) indiquent dans quelle mesure chaque état de référence contribue au nouvel état. Ce sont précisément les éléments dont notre calcul a besoin pour déterminer le résultat. Pour ce faire, nous introduisons le développement dans l’équation k·p et nous le projetons sur chaque état de base.

Le résultat est une équation matricielle. Ses éléments sont les suivants :

\[ \boxed{ H_{nm}(\mathbf k) =\left[E_n(0)+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\right]\delta_{nm} +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm} } \]

\[ \mathbf p_{nm} =\langle u_{n0}|\hat{\mathbf p}|u_{m0}\rangle. \]

Le symbole \(\delta_{nm}\) est égal à un lorsque les deux étiquettes de bande sont identiques et à zéro dans le cas contraire. Par conséquent, la diagonale de cette matrice contient les énergies de référence des bandes et les termes quadratiques liés aux électrons libres. Ses éléments non diagonaux contiennent les termes de couplage d’impulsion entre les différentes bandes.

Ces éléments de la matrice de moment sont essentiels à la théorie k·p. Si un terme de couplage est nul, les états correspondants ne s’hybrident pas par l’intermédiaire de ce terme. S’il est significatif, leurs énergies et leurs fonctions d’onde peuvent changer considérablement lorsque l’on s’éloigne du point de référence.

Un exemple concret : que se passe-t-il lorsque deux groupes de musique jouent ensemble ?

Avant d’examiner huit ou dix bandes, il est utile de comprendre le fonctionnement d’un modèle à deux bandes. Imaginons que nous ne conservions qu’un seul état de la bande de conduction et un seul état de la bande de valence, avec des énergies de référence \(E_c\) et \(E_v\). Leur séparation au point de référence correspond à la largeur de la bande interdite, \(E_g=E_c-E_v\).

Pour plus de clarté, nous considérons le mouvement le long d’une direction cristalline donnée, avec un vecteur d’onde \(k\), et nous choisissons les phases de nos états de base de manière à ce que le paramètre de couplage \(P\) soit réel. Le hamiltonien illustratif est le suivant :

\[ \boxed{ H(k)= \begin{pmatrix} E_c+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} & Pk\\[6pt] Pk & E_v+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \end{pmatrix} } \]

Ici, \(P=\hbar\langle u_{c0}|\hat p|u_{v0}\rangle/m_0\) correspond à la direction sélectionnée. Notez que les deux termes situés en dehors de la diagonale s’annulent en \(k=0\), mais augmentent à mesure que l’on s’éloigne du point de référence. Le modèle ne décrit donc pas deux paraboles indépendantes : les états de la bande de conduction et de la bande de valence peuvent se mélanger.

Pour déterminer les valeurs d’énergie autorisées, nous résolvons un problème de valeurs propres, comme nous l’avons fait pour trouver les états confinés d’un puits quantique :

\[ H(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix} =E(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix}. \]

Au lieu de déterminer une seule valeur d’énergie, la matrice deux par deux génère deux branches d’énergie. Dans cet exemple simplifié, ces branches sont les suivantes :

\[ E_{\pm}(k)= \frac{E_c+E_v}{2}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} \pm\sqrt{\left(\frac{E_g}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Au point \(k=0\), les deux résultats se réduisent à \(E_c\) et \(E_v\), comme prévu. À mesure que \(k\) augmente, le couplage modifie à la fois les énergies et mélange les états de base sous-jacents. Cette dépendance en racine carrée montre également pourquoi une bande couplée n’a pas besoin de rester parfaitement parabolique loin de son point extrême.

La compréhension pratique de ce concept est plus importante que la simple mémorisation de cette formule : la forme d’une bande d’énergie dépend non seulement de l’énergie propre à cette bande, mais aussi de son interaction avec les bandes voisines.

Quelle est l’origine de la masse effective ?

Dans le tutoriel sur les puits quantiques paraboliques, nous avons utilisé la masse effective comme paramètre d’entrée. L’exemple à deux bandes nous permet maintenant de comprendre d’où elle provient. Très près de \(k=0\), le résultat obtenu pour la bande de conduction peut être approximé en développant la racine carrée pour de petites valeurs de \(k\) :

\[ E_+(k)\simeq E_c+ \left(\frac{\hbar^2}{2m_0}+\frac{P^2}{E_g}\right)k^2. \]

Comparez cela avec l’expression parabolique que nous connaissons bien :

\[ E(k)\simeq E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^{*}}. \]

Les deux ont la même forme mathématique. En faisant correspondre leurs coefficients quadratiques, on obtient la masse effective de ce modèle simplifié à deux bandes :

\[ \boxed{ \frac{1}{m_e^{*}}= \frac{1}{m_0}+\frac{2P^2}{\hbar^2E_g} } \]

Il s’agit d’un résultat intéressant. La masse effective ne constitue pas un simple substitut arbitraire à la masse de l’électron. Elle est due au fait que l’état de l’électron est couplé à d’autres bandes électroniques à l’intérieur du cristal. Dans cet exemple précis, une bande interdite plus étroite ou un couplage plus fort entraîne une plus grande courbure de la bande de conduction et une masse effective plus faible.

Un semi-conducteur réel possède de nombreuses autres bandes d’énergie, et pas seulement les deux que nous avons utilisées dans notre exemple. Si nous traitons leur interaction de manière perturbative, la correction correspondante apportée à l’énergie d’une bande isolée est la suivante :

\[ E_n(\mathbf k)\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} +\frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\ne n} \frac{|\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm}|^2} {E_n(0)-E_m(0)}. \]

Chaque bande d’énergie adjacente contribue en fonction de son couplage d’impulsion et de sa séparation en termes d’énergie. La courbure résultante dépend généralement de la direction, de sorte que la description la plus complète est un tenseur de masse effective, plutôt qu’une simple masse scalaire. Une masse effective scalaire est appropriée lorsque la symétrie ou l’approximation choisie nous permet de considérer la courbure comme étant la même dans les directions qui nous intéressent.

Il existe une limitation importante : l’expression perturbative devient peu fiable lorsque le dénominateur est petit, ce qui signifie que deux bandes d’énergie sont très proches l’une de l’autre. Dans ce cas, il est préférable de conserver les deux bandes de manière explicite dans l’hamiltonien, plutôt que de masquer leur interaction dans une seule masse effective.

De deux bandes à un hamiltonien à plusieurs bandes.

La prochaine étape est simple en théorie. Au lieu de partir de seulement deux états cristallins, nous conservons plusieurs états pertinents dans notre base :

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =\sum_{n=1}^{N}c_n(\mathbf k)|u_{n0}\rangle. \]

Cela donne lieu à un hamiltonien de dimension \(N\) x \(N\). Chaque élément diagonal décrit une bande de référence et sa correction quadratique ; chaque élément non diagonal autorisé décrit un couplage entre deux états de base. La résolution de la matrice pour un vecteur d’onde choisi permet d’obtenir toutes les énergies de bande résultantes et la contribution de chaque état de base dans le vecteur propre correspondant.

Cela est particulièrement important dans la bande de valence. Les états de trous lourds et de trous légers peuvent être dégénérés au centre de la zone de Brillouin, et leur mélange ne peut pas être représenté fidèlement en attribuant à chacun une masse constante indépendante. Un modèle à plusieurs bandes permet à ces états d’interagir naturellement lorsque le vecteur d’onde varie.

Nous devons encore déterminer quels groupes d’états conserver. L’approche générale consiste à conserver les états qui sont les plus pertinents pour les énergies et la physique qui nous intéressent. Le couplage avec des états plus éloignés, qui seraient normalement exclus, peut être pris en compte de manière approximative en appliquant des corrections aux paramètres de l’hamiltonien conservé. C’est pourquoi différents modèles k·p peuvent comporter un nombre différent de groupes d’états et différents paramètres de matériau.

Par exemple, un modèle courant de type zincblende à huit bandes conserve un état de conduction de type « s » et trois états d’orbitale de valence de type « p », chacun ayant deux composantes de spin. Le choix précis de la base, des termes de symétrie et des éléments de la matrice est expliqué dans notre publication. base et hamiltoniens le chapitre et les pages du modèle spécifiques aux différents matériaux.

Pourquoi avons-nous besoin du concept de « spin » et du couplage spin-orbite ?

Jusqu’à présent, notre exemple simple à deux bandes ne tenait pas compte du spin. Les électrons possèdent toutefois deux composantes de spin. Cela signifie que chaque état orbital doit être représenté par des états de base de spin « haut » et de spin « bas » (ou un ensemble d’états de base de spin équivalent).

Si le spin n’avait aucun effet sur les énergies, cela ne ferait que reproduire le problème. Les cristaux semi-conducteurs réels présentent également un couplage spin-orbite, qui relie le spin de l’électron à son mouvement à travers le potentiel du cristal. Dans une description simplifiée de Pauli, l’hamiltonien supplémentaire est le suivant :

\[ \hat H_{\mathrm{so}}= \frac{\hbar}{4m_0^2c^2} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\nabla V_{\mathrm{crystal}}\times\hat{\mathbf p}\right), \]

où \(c\) représente la vitesse de la lumière et \(\boldsymbol{\sigma}\) désigne les matrices de Pauli. Nous n’avons pas besoin de dériver ce terme relativiste ici ; l’élément important est sa conséquence physique. Les propriétés de spin et orbitales ne sont plus indépendantes, et certains états qui auraient autrement la même énergie se séparent.

Dans la bande de valence du zincblende, l’interaction spin-orbite donne naissance aux branches correspondant aux trous lourds, aux trous légers et aux états déconnectés, l’énergie de ces derniers étant généralement désignée par \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Il ne s’agit pas simplement de trois paraboles sans lien entre elles : leurs propriétés et leurs interactions dépendent du vecteur d’onde et de la symétrie cristalline sous-jacente.

Cela explique le nom. modèle à huit bandes k·p: quatre états de base orbitaux (un état de conduction et trois états de valence), chacun ayant deux composantes de spin, ce qui donne une base à huit composantes. L’hamiltonien réel comprend l’impulsion autorisée et les couplages spin-orbite entre ces états. Un calcul complet d’une hétérostructure quantique utilisant ce modèle est présenté dans le Guide pratique sur le modèle k·p à huit bandes pour les hétérostructures GaAs/AlGaAs de type zincblende..

Comment ce problème se transforme-t-il en un calcul basé sur le concept de puits quantique ?

Jusqu’à présent, nous avons décrit un cristal massif, dans lequel l’énergie des électrons varie en fonction d’un vecteur d’onde tridimensionnel. Pour décrire un puits quantique, nous devons maintenant revenir à la géométrie présentée dans la page précédente de ce tutoriel.

Supposons que les couches semi-conductrices s’étendent parallèlement au plan \(x\)-\(y\) et qu’elles soient empilées le long de l’axe \(z\). Le vecteur d’onde dans le plan, \(k_{\parallel}\), reste une référence utile, car la structure est à peu près uniforme le long des couches. Cependant, l’électron est confiné dans la direction \(z\), il faut donc déterminer sa variation spatiale dans le volume.

L’approche standard basée sur la fonction d’enveloppe consiste à remplacer le vecteur d’onde correspondant à la direction de croissance dans l’hamiltonien k·p du matériau massif par un opérateur différentiel :

\[ \boxed{k_z\;\longrightarrow\;-i\frac{d}{dz}} \]

Les limites des bandes et les autres paramètres pertinents peuvent également varier en fonction de \(z\), ce qui reflète les différentes couches semi-conductrices. Le problème ne se limite plus à une simple matrice finie évaluée pour un vecteur d’onde donné : il s’agit d’un ensemble d’équations différentielles couplées pour les fonctions d’enveloppe dans tout le dispositif. Lorsque les paramètres varient aux interfaces, l’ordre des opérateurs et les conditions de correspondance doivent être choisis de manière cohérente afin que l’hamiltonien conserve un sens physique et qu’il soit hermitien.

Le modèle parabolique le plus simple résout une seule équation de Schrödinger scalaire pour un électron ou un trou. Un modèle multibande k·p résout plutôt un ensemble d’équations couplées pour plusieurs composantes d’enveloppe. Les valeurs propres obtenues donnent les niveaux d’énergie quantifiés, tandis que leurs vecteurs propres nous indiquent comment les caractéristiques de la bande conservée contribuent à chaque état.

En répétant le calcul pour différentes valeurs de \(k_{\parallel}\), nous déterminons la structure des sous-bandes du puits quantique. Contrairement à un ensemble de paraboles indépendantes, ces sous-bandes peuvent se combiner, présenter une courbure non parabolique et modifier leurs propriétés à mesure que le vecteur d’onde dans le plan augmente.

Quelles sont les possibilités de calcul supplémentaires que nous offre cette physique avancée ?

L’avantage d’un calcul à plusieurs bandes ne réside pas seulement dans le fait qu’il génère des diagrammes de bandes plus complexes. Il nous fournit une description plus réaliste des états électroniques qui participent aux processus de transport et aux processus optiques.

Dans notre optique guide pratique sur les transitions optiquesnous avons introduit la probabilité qu’un électron effectue une transition entre un état occupé et un état vide. L’intensité de la transition dépend d’un élément de matrice entre les fonctions d’onde initiales et finales. Un vecteur propre à plusieurs bandes contient des informations sur le caractère orbital et de spin mixte de chaque état, ce qui est essentiel pour calculer la direction et l’intensité des transitions optiques.

Cela est particulièrement utile lors de l’étude des transitions dépendant de la polarisation, du gain optique, de l’émission spontanée et des systèmes dans lesquels le mélange des bandes de valence est important. Les éléments de la matrice optique détaillée dépendent de l’hamiltonien et de la base choisis, mais leur calcul s’effectue naturellement une fois que les états propres couplés ont été obtenus.

Modèles k·p dans OghmaNano

OghmaNano propose plusieurs modèles pour différentes structures semi-conductrices. Ils sont tous basés sur la philosophie générale k·p développée ici, mais présentent des états électroniques différents et utilisent les paramètres matériels adaptés à chaque système cristallin.

• Modèle k·p à huit bandes pour la structure zincblende. comprend les états de valence de type conducteur et de type p, ainsi que le spin et le couplage spin-orbite.
• Modèle k·p à dix bandes pour la structure zincblende. conserve une base électronique étendue pour les problèmes nécessitant des états couplés supplémentaires.
• Modèle k·p à huit bandes pour la wurtzite. utilise la symétrie et les paramètres de bande appropriés aux cristaux de wurtzite.

Le prochain chapitre présente les états de base réels et explique comment ils sont organisés dans les matrices hamiltoniennes utilisées par ces solveurs.