Comprendre le modèle k·p à 8 bandes de Wurtzite.

Pourquoi avons-nous besoin d’un modèle différent pour la wurtzite ?

Dans tutoriel sur la structure à huit bandes de la zincblendeNous avons permis aux états de conduction et de valence d’interagir, plutôt que de les considérer comme des paraboles indépendantes. Nous souhaitons maintenant appliquer la même approche à des matériaux tels que le GaN, l’AlN, l’InN et leurs alliages, qui sont largement utilisés dans les diodes électroluminescentes et les lasers.

Ces matériaux présentent généralement une structure cristalline de type wurtzite. Contrairement à la structure cubique de la zincblende, leur symétrie hexagonale les distingue en ce sens qu’elle définit une direction particulière : l’axe c du cristal. Tout au long de cette page, nous considérerons que cette direction est la direction \(z\), les directions \(x\) et \(y\) étant situées dans le plan basal perpendiculaire. Cette distinction est importante, car l’énergie électronique, le mélange des orbitales et l’interaction avec la lumière peuvent varier en fonction de la direction.

Nous commencerons par expliquer la raison physique qui sous-tend chaque nouveau terme, puis nous montrerons comment l’hamiltonien à huit bandes le décrit. Le résultat établira un lien direct avec les sous-bandes des puits quantiques et avec la polarisation de la lumière émise.

L’axe c et le dédoublement du champ cristallin.

Prenons en considération les trois états orbitaux de type « p » utilisés pour représenter les bandes de valence supérieures. Nous les désignons par \(X\), \(Y\) et \(Z\) en fonction de leurs caractéristiques orbitales. Il s’agit de fonctions de base électroniques, et non de trois emplacements différents dans un dispositif. Dans la structure wurtzite, les états \(X\) et \(Y\) sont liés par une symétrie, tandis que \(Z\) se distingue par son axe « c ».

Cela permet au potentiel du cristal de modifier l’énergie de l’état de type \(Z\) par rapport aux états de type \(X,Y\), et ce, avant même que l’effet du spin ne soit pris en compte. Cet effet est appelé séparation du champ cristallin et est illustré dans ??. L’interaction spin-orbite mélange ensuite les caractéristiques orbitales et de spin, ce qui donne lieu à trois doublets de valence, souvent appelés les bandes A, B et C.

Leur caractère orbital est important. Une bande contenant principalement un caractère coplanaire \(X,Y\) interagit généralement différemment avec la lumière polarisée qu’une bande contenant un caractère important le long de l’axe c \(Z\). C’est pourquoi le dédoublement du champ cristallin n’est pas simplement une petite correction à la largeur de bande ; il peut affecter les propriétés optiques des puits quantiques de nitrure.

D’où proviennent les huit bandes ?

Comme dans la structure cristalline de la zincblende, nous conservons une orbitale de conduction de type « s » prédominante, \(S\), et trois orbitales de valence de type « p » prédominantes, \(X\), \(Y\) et \(Z\). Chaque orbitale possède deux composantes de spin, ce qui donne huit états de base :

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

Au lieu de résoudre huit équations indépendantes, nous regroupons ces états dans une seule matrice hamiltonienne. Les éléments diagonaux de cette matrice décrivent les énergies associées à chaque état de base, tandis que les éléments non diagonaux décrivent la manière dont ces états interagissent. Il est utile de diviser la matrice en blocs correspondant à la conduction, à la bande de valence et au couplage :

\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]

Le bloc de conduction contient deux états de spin, le bloc de valence en contient six, et \(H_{cv}\) les couple. Le symbole \(\dagger\) désigne le conjugué hermitien. Une fois que nous diagonalisons cette matrice, nous obtenons des énergies et des vecteurs propres dont les composantes de conduction, de valence, orbitales et de spin peuvent se mélanger.

Pourquoi existe-t-il deux valeurs pour la masse dans la bande de conduction ?

Dans bande parabolique tutoriella courbure d’une bande était contrôlée par une masse effective. La structure wurtzite nous permet de distinguer le mouvement le long de l’axe c du mouvement dans le plan basal. En utilisant \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\)une simple dispersion directionnelle peut s’écrire ainsi :

\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]

L’électron peut donc gagner de l’énergie à des rythmes différents, selon que son mouvement est parallèle ou perpendiculaire aux couches. Ceci est particulièrement pertinent pour un puits quantique du type « plan c », où le confinement se produit le long de \(z\), mais les sous-bandes sont représentées en fonction de \(k_{\parallel}\).

Dans le cadre du hamiltonien à plusieurs bandes, OghmaNano utilise deux paramètres de conduction : \(S_1\) pour l’axe c et \(S_2\) pour le plan basal :

\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]

Ces paramètres décrivent la courbure résiduelle de la bande interdite. Les masses finales aux bords de bande dépendent également du couplage avec les états de valence, que nous prenons explicitement en compte ci-dessous. Par conséquent, les paramètres doivent être choisis de manière cohérente afin que la même contribution inter-bande ne soit pas comptée deux fois.

Pourquoi la wurtzite nécessite-t-elle deux paramètres de Kane ?

Dans introduction à la théorie k·pnous avons observé des éléments de la matrice d’impulsion qui relient différents états orbitaux. Par exemple, un état de conduction de type « s » interagit avec les trois états de valence de type « p ». L’intensité de ces interactions est appelée : Paramètres de Kane.

La wurtzite nécessite des valeurs différentes pour les forces de couplage le long de l’axe c et dans le plan basal :

• \(P_2\) : couplage entre \(S\) et les orbitales situées dans le même plan \(X,Y\) par l’intermédiaire de \(k_x,k_y\).
• \(P_1\) : couplage entre \(S\) et l’orbitale le long de l’axe c \(Z\) par l’intermédiaire de \(k_z\).

Dans la convention utilisée ici, les éléments représentatifs de l’hamiltonien sont les suivants :

\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]

Leurs conjugués hermitiques apparaissent de l’autre côté de la matrice. Les paramètres sont souvent définis à l’aide des énergies de Kane :

\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]

Le fait d’avoir deux couplages signifie que les états électroniques réagissent différemment aux interactions le long de l’axe c et perpendiculairement à celui-ci. Cela nous fournira également une explication directe des règles de sélection optiques TE et TM, que nous aborderons plus tard.

Pourquoi avons-nous besoin de six paramètres de valence ?

La bande de conduction commence par une seule orbitale de type « s » pour chaque spin. Le secteur de valence contient trois orbitales de type « p » par spin, qui sont très proches en termes d’énergie. Lorsque le vecteur d’onde change, ces états peuvent se mélanger au lieu de suivre trois paraboles indépendantes.

Le modèle de wurtzite décrit la courbure directionnelle et le mélange de ces états en utilisant six paramètres couramment répertoriés, de \(A_1\) à \(A_6\), connus sous le nom de paramètres de Rashba-Sheka-Pikus. Certains déterminent la manière dont les énergies des bandes varient en fonction du mouvement le long ou perpendiculairement à l’axe c, tandis que d’autres contrôlent le couplage entre les composantes orbitales.

En faisant abstraction temporairement du moment cinétique et d’autres termes, le bloc de valence cartésien, dont la forme dépend du vecteur d’onde, peut être représenté schématiquement comme suit :

\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]

Les éléments diagonaux décrivent principalement les caractéristiques de \(X\), \(Y\) et \(Z\). Les éléments non diagonaux les combinent lorsque les composantes pertinentes du vecteur d’onde sont présentes. Cette combinaison est l’une des raisons pour lesquelles les sous-bandes de valence calculées ne peuvent généralement pas être remplacées par trois paraboles simples.

Comment OghmaNano utilise les paramètres A1 à A6.

Les définitions suivantes décrivent la convention concernant le coefficient cartésien utilisée dans le modèle de wurtzite OghmaNano existant. Nous commençons par définir :

\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]

En séparant la contribution des électrons libres \(A_0k^2\), les valeurs diagonales de la matrice de valence sont les suivantes :

\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]

Les éléments non diagonaux sont \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\) et \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\), en tenant compte de leurs éléments hermitiques conjugués. La référence \(E_{v,\mathrm{av}}\) est choisie de manière cohérente avec les termes de champ cristallin et de couplage spin-orbite. Les conventions de paramétrage varient d’une publication à l’autre, il est donc important de ne pas transposer les valeurs tabulées entre différentes conventions d’hamiltonien sans vérifier si les contributions des électrons libres et des transitions interbandes ont été prises en compte.

L’ajout d’un effet de rotation : les trois doublets de valence.

Nous pouvons maintenant revenir au diagramme du champ cristallin. Dans la convention OghmaNano, les paramètres de séparation pertinents sont désignés par \(\delta_1\), \(\delta_2\) et \(\delta_3\). Le terme du champ cristallin \(\delta_1\) permet de distinguer les orbitales basales de l’orbitale le long de l’axe c. Les deux paramètres restants décrivent le couplage spin-orbite, qui combine les caractéristiques orbitales et de spin.

En effectuant une transformation diagonale du bloc de valence au centre de la zone de Brillouin, on obtient trois niveaux de valence dégénérés, proches les uns des autres et de multiplicité deux (A, B et C). Leur ordre est déterminé par les paramètres du matériau, et non par l’hypothèse selon laquelle une orbitale particulière doit toujours être la plus haute. OghmaNano définit sa référence d’énergie de valence de manière à ce que le niveau de valence le plus élevé obtenu au centre de la zone de Brillouin corresponde au bord de bande de valence choisi \(E_v\).

Cela a une importance sur le plan optique : la nature du niveau de valence le plus élevé détermine quelle polarisation peut s’associer le plus fortement aux transitions interbandes de plus faible énergie.

Quel est l’effet de la contrainte sur les bandes d’énergie de la wurtzite ?

Une couche à puits quantiques est généralement déposée sur un autre semi-conducteur. Si les matériaux ont des dimensions de réseau cristallin différentes, une fine couche peut être contrainte de s’adapter à l’espacement dans le plan de ses éléments voisins. Cela crée une contrainte, qui déplace et modifie les états électroniques.

Dans une structure de type « plan c », les composantes de la déformation dans le plan peuvent être similaires, tandis que la déformation le long de l’axe c est différente. La structure de type wurtzite nécessite donc des potentiels de déformation directionnels. OghmaNano utilise \(a_1,a_2\) pour la contribution de la bande de conduction et \(D_1\) à \(D_6\) pour la matrice de déformation de la bande de valence.

Conformément aux conventions utilisées dans la documentation du modèle actuel, le décalage de conduction est indiqué comme suit :

\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]

Les coefficients de déformation de valence sont obtenus en combinant les termes \(D_i\), de la même manière que les coefficients cinétiques directionnels :

\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]

Pour obtenir une croissance idéale de pseudomorphisme sur le plan c, sans contrainte de cisaillement, les termes proportionnels aux composantes de cisaillement disparaissent. Ils restent nécessaires pour des orientations de croissance et des champs de contrainte plus généraux. Le résultat important est que la contrainte peut modifier la bande interdite et réorganiser les états de valence supérieurs, ce qui a des conséquences sur la polarisation optique.

De la description des orbitales aux transitions optiques TE et TM.

Le transitions optiques tutoriel il a expliqué comment la différence d’énergie entre un état de conduction et un état de valence détermine l’énergie du photon. Cependant, la seule conservation de l’énergie ne nous indique pas à quel point une transition est couplée à la lumière. L’orientation du champ électrique de la lumière est également importante.

Dans le cas de la configuration classique d’un puits quantique du type « plan c », nous distinguons les éléments suivants :

• Polarisation TE : champ électrique situé dans le plan basal, perpendiculaire à l’axe c. Elle permet principalement d’étudier le caractère de la bande de valence \(X,Y\) par le biais du couplage de Kane \(P_2\).
• Polarisation TM : champ électrique aligné selon l’axe c. Elle permet d’étudier le caractère de la bande de valence \(Z\) par le biais de \(P_1\).

Pour une direction de polarisation de la lumière \(\mathbf e\), l’amplitude de la transition optique implique l’élément de la matrice d’impulsion :

\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]

L’élément de matrice comprend à la fois le couplage directionnel de Kane approprié et le recouvrement des composantes d’enveloppe de l’électron et du trou. Cela explique pourquoi la même hétérostructure quantique peut produire différentes intensités optiques TE et TM, même pour les transitions entre les mêmes niveaux d’énergie.

Nous comprenons maintenant pourquoi il était pertinent de présenter en premier la séparation des niveaux d’énergie due au champ cristallin, le couplage spin-orbite et la contrainte : ces phénomènes déterminent le mélange orbital des états de valence, ce qui, à son tour, détermine la manière dont ces états interagissent avec la lumière polarisée différemment. C’est un élément important lors de la modélisation des diodes électroluminescentes et des lasers à base de nitrure. Les transitions résultantes, polarisées TE et TM, peuvent être étudiées dans le cadre de… Guide pratique sur la structure à huit bandes de type wurtzite de GaN/AlGaN et le modèle k·p pour les puits quantiques..

Comment le modèle est-il appliqué à un puits quantique ?

Jusqu’à présent, nous avons utilisé les composantes du vecteur d’onde \(k_x,k_y,k_z\) pour décrire les bandes d’énergie du matériau. Dans une hétérostructure quantique dont la croissance s’effectue le long de l’axe c, les électrons et les trous sont confinés le long de \(z\), mais peuvent toujours se déplacer dans le plan \(x\)-\(y\). Comme dans le modèle de la structure cristalline de type zincblende, le vecteur d’onde correspondant à la direction de croissance devient un opérateur différentiel :

\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]

Le hamiltonien à huit bandes est donc résolu pour les huit composantes d’enveloppe couplées dans toute l’épaisseur de la structure, pour des vecteurs d’onde sélectionnés dans le plan. Le potentiel, les paramètres de masse effective, le couplage de Kane et la contrainte peuvent tous varier entre les matériaux du puits et de la barrière. Les coefficients et les termes dérivés, qui dépendent de la position, nécessitent une discrétisation cohérente de l’interface hermitienne.

Sur une grille avec \(N_z\) pour chaque point, il y a huit composantes, ce qui donne un problème numérique complexe avec \(8N_z\) paramètres inconnus. Ses valeurs propres définissent les états quantifiés ; les vecteurs propres décrivent la composition spatiale, orbitale et de spin de ces états. En répétant la solution pour différents vecteurs d’onde dans le plan, on obtient les sous-bandes électroniques. Ces dernières sont ensuite utilisées pour calculer les paramètres qui dépendent de la polarisation. transitions optiques.

Quels sont les apports du modèle à huit dimensions ?

Le modèle parabolique constitue un point de départ utile pour l’étude du confinement quantique, mais il ne permet pas de décrire le couplage entre les états de valence rapprochés ni la réponse optique directionnelle complète de la wurtzite. Le modèle à huit bandes conserve la même représentation générale des états et sous-bandes confinés, tout en intégrant les éléments physiques nécessaires pour décrire la structure cristalline hexagonale.