L’hamiltonien de la souche Bir-Pikus.

La déformation modifie le potentiel du cristal et, par conséquent, décale et mélange les bandes de valence. L’hamiltonien de Bir-Pikus est l’analogue de la déformation de l’hamiltonien cinétique k·p des bandes de valence : il a exactement la même structure, les composantes de déformation remplaçant les produits des vecteurs d’onde. OghmaNano l’implémente sous deux formes équivalentes : une forme compacte \(P, Q, R, S\) pour le solveur de Luttinger-Kohn et une forme cartésienne explicite pour les solveurs à 8 bandes.

1. La forme P, Q, R, S

Dans la base du moment cinétique total, l’hamiltonien de la déformation de valence est construit à partir de quatre grandeurs. En utilisant les potentiels de déformation \(a_v\) (hydrostatique) et \(b, d\) (de cisaillement), OghmaNano calcule :

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

avec \(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\). \(P\) s'agit du déplacement hydrostatique de la bande de valence moyenne ; \(Q\) s’agit-il du fractionnement biaxial des trous lourds et légers ; et \(R, S\) il s’agit de couples de cisaillement qui disparaissent lorsque la déformation [001] n’est pas soumise à un effort de cisaillement. Ces quatre valeurs de déformation sont ajoutées directement à l’énergie cinétique. \(P, Q, R, S\) de Luttinger-Kohn hamiltonien, de sorte que le même \(6\times6\) la matrice décrit la physique cinétique et la physique des déformations de manière intégrée.

2. La forme cartésienne X/Y/Z.

Le modèle à 8 canaux. blende zincifère le modèle fonctionne dans le cadre de la base orbitale cartésienne, de sorte qu’OghmaNano décrit la même physique qu’un \(3\times3\) matrice agissant sur \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\):

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

La composante diagonale combine le déplacement hydrostatique \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) avec le terme axial \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\) ; les termes de cisaillement non diagonaux \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) disparaissent pour la déformation biaxiale [001]. Le potentiel de déformation est indépendant du spin, de sorte qu’OghmaNano applique ce bloc \(3\times3\) de manière identique aux orbitales de valence à spin ascendant et à spin descendant.

3. Pourquoi les deux formes concordent-elles ?

Les formes cartésiennes et \(P, Q, R, S\) sont liées par la même transformation unitaire qui relie les orbitales \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) aux états \(|J,m_j\rangle\). Par exemple, la différence diagonale cartésienne \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\) est exactement \(-2Q\) avec \(Q\) tel que défini ci-dessus, et les éléments de cisaillement correspondent à \(R\) et \(S\). Les deux formes utilisent les mêmes trois potentiels de déformation et donnent des énergies de valence identiques ; le choix dépend uniquement de la commodité pour la base utilisée par chaque solveur.

4. Les potentiels de déformation.

Trois paramètres déterminent la réponse à la contrainte de valence. Il s’agit du potentiel hydrostatique. \(a_v\) définit la manière dont l’énergie de valence moyenne évolue en fonction du volume ; combinée au potentiel de conduction. \(a_c\) il donne le potentiel de déformation de l’intervalle. \(a = a_c - a_v\)Le potentiel axial. \(b\) permet de contrôler la séparation tétragonale (biaxiale) des trous lourds et légers sous contrainte dans la direction [001], et \(d\) contrôlent la réponse aux déformations de cisaillement dans d’autres directions. Les trois ont des unités d’énergie (eV) et sont généralement négatives pour la bande de valence. Leurs valeurs et les conventions de signe sont présentées dans la section suivante. paramètres des matériaux page.