Derivazione dell’equazione di Mott-GurneyDerivazione dell’equazione di Mott-Gurney
La corrente limitata dalla carica spaziale (SCLC) è uno dei meccanismi di trasporto più importanti nella fisica dei dispositivi a semiconduttore. Si verifica quando la densità delle cariche iniettate dai contatti diventa significativamente maggiore della densità di equilibrio delle cariche già presente all’interno del semiconduttore. In queste condizioni, la corrente non è più limitata dalla conducibilità intrinseca del materiale, ma piuttosto dal campo elettrico generato dalla carica iniettata stessa.La corrente limitata dalla carica spaziale (SCLC) è uno dei meccanismi di trasporto più importanti nella fisica dei dispositivi a semiconduttore. Si verifica quando la densità delle cariche iniettate dai contatti diventa significativamente maggiore della densità di equilibrio delle cariche già presente all’interno del semiconduttore. In queste condizioni, la corrente non è più limitata dalla conducibilità intrinseca del materiale, ma piuttosto dal campo elettrico generato dalla carica iniettata stessa.
Le misurazioni SCLC (Space Charge Limited Current) sono ampiamente utilizzate nei semiconduttori organici, nei dispositivi OLED, nei dispositivi a perovskite e nei materiali disordinati per stimare la mobilità dei portatori di carica e studiare gli stati di trappola. Sperimentalmente, la corrente SCLC viene solitamente misurata utilizzando una struttura che consente il trasporto esclusivo di lacune o di elettroni, in cui entrambi i contatti favoriscono l’iniezione dello stesso tipo di portatore di carica. Ciò sopprime la ricombinazione elettrone-lacuna e consente al trasporto di un singolo tipo di portatore di carica di prevalere.Le misurazioni SCLC (Space Charge Limited Current) sono ampiamente utilizzate nei semiconduttori organici, nei dispositivi OLED, nei dispositivi a perovskite e nei materiali disordinati per stimare la mobilità dei portatori di carica e studiare gli stati di trappola. Sperimentalmente, la corrente SCLC viene solitamente misurata utilizzando una struttura che consente il trasporto esclusivo di lacune o di elettroni, in cui entrambi i contatti favoriscono l’iniezione dello stesso tipo di portatore di carica. Ciò sopprime la ricombinazione elettrone-lacuna e consente al trasporto di un singolo tipo di portatore di carica di prevalere.
La descrizione analitica più nota dei semiconduttori amorfi senza trappole è l’equazione di Mott-Gurney, che prevede che la densità di corrente vari in modo quadratico in funzione della tensione applicata:La descrizione analitica più nota dei semiconduttori amorfi senza trappole è l’equazione di Mott-Gurney, che prevede che la densità di corrente vari in modo quadratico in funzione della tensione applicata:
$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$ $$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$
dove \(J\) rappresenta la densità di corrente, \(\varepsilon\) la permittività del materiale, \(\mu\) la mobilità dei portatori di carica, \(V\) la tensione applicata e \(L\) lo spessore del dispositivo.dove \(J\) rappresenta la densità di corrente, \(\varepsilon\) la permittività del materiale, \(\mu\) la mobilità dei portatori di carica, \(V\) la tensione applicata e \(L\) lo spessore del dispositivo.
Sebbene la formula in sé sia concisa, i presupposti fisici su cui si basa sono di fondamentale importanza. La derivazione presuppone un trasporto senza trappole, un unico tipo di portatore di carica, contatti ohmici, mobilità uniforme, corrente di diffusione trascurabile e ricombinazione trascurabile. Comprendere questi presupposti è essenziale per interpretare correttamente le misurazioni sperimentali di SCLC.Sebbene la formula in sé sia concisa, i presupposti fisici su cui si basa sono di fondamentale importanza. La derivazione presuppone un trasporto senza trappole, un unico tipo di portatore di carica, contatti ohmici, mobilità uniforme, corrente di diffusione trascurabile e ricombinazione trascurabile. Comprendere questi presupposti è essenziale per interpretare correttamente le misurazioni sperimentali di SCLC.
Origine fisica della corrente limitata dalla carica spazialeOrigine fisica della corrente limitata dalla carica spaziale
Nella conduzione ohmica convenzionale, la densità dei portatori di carica all’interno del semiconduttore è approssimativamente costante e la densità di corrente aumenta linearmente con la tensione. In questo regime, il campo elettrico all’interno del dispositivo è quasi uniforme e la densità dei portatori iniettati è relativamente bassa.Nella conduzione ohmica convenzionale, la densità dei portatori di carica all’interno del semiconduttore è approssimativamente costante e la densità di corrente aumenta linearmente con la tensione. In questo regime, il campo elettrico all’interno del dispositivo è quasi uniforme e la densità dei portatori iniettati è relativamente bassa.
Tuttavia, quando un contatto introduce in modo efficiente le cariche in un semiconduttore a bassa conducibilità, la carica iniettata inizia ad accumularsi all’interno del dispositivo. Questa carica accumulata modifica il campo elettrico interno tramite l’equazione di Poisson. Di conseguenza, il campo elettrico diventa dipendente dalla posizione e la corrente è limitata dall’interazione elettrostatica della carica iniettata stessa.Tuttavia, quando un contatto introduce in modo efficiente le cariche in un semiconduttore a bassa conducibilità, la carica iniettata inizia ad accumularsi all’interno del dispositivo. Questa carica accumulata modifica il campo elettrico interno tramite l’equazione di Poisson. Di conseguenza, il campo elettrico diventa dipendente dalla posizione e la corrente è limitata dall’interazione elettrostatica della carica iniettata stessa.
Questo comportamento è illustrato in ??. A differenza della conduzione ohmica, il campo interno nel regime SCLC non è uniforme. Al contrario, il campo elettrico aumenta con la distanza all’interno del dispositivo, poiché la carica aggiuntiva iniettata modifica continuamente il potenziale elettrostatico.Questo comportamento è illustrato in ??. A differenza della conduzione ohmica, il campo interno nel regime SCLC non è uniforme. Al contrario, il campo elettrico aumenta con la distanza all’interno del dispositivo, poiché la carica aggiuntiva iniettata modifica continuamente il potenziale elettrostatico.
Equazioni di partenzaEquazioni di partenza
La derivazione dell’equazione di Mott-Gurney parte da due equazioni fondamentali: l’equazione di Poisson e l’equazione della corrente di deriva.La derivazione dell’equazione di Mott-Gurney parte da due equazioni fondamentali: l’equazione di Poisson e l’equazione della corrente di deriva.
L’equazione di Poisson mette in relazione il gradiente del campo elettrico con la densità di carica:L’equazione di Poisson mette in relazione il gradiente del campo elettrico con la densità di carica:
$$ \frac{dE}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon} $$ $$ \frac{dE}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon} $$
dove \(E\) rappresenta il campo elettrico, \(\rho\) la densità di carica e \(\varepsilon\) la permittività del semiconduttore.dove \(E\) rappresenta il campo elettrico, \(\rho\) la densità di carica e \(\varepsilon\) la permittività del semiconduttore.
Supponendo che esista una singola specie di portatori di carica con densità \(n\), la densità di carica diventa:Supponendo che esista una singola specie di portatori di carica con densità \(n\), la densità di carica diventa:
$$ \rho = qn $$ $$ \rho = qn $$
dove \(q\) rappresenta la carica elementare.dove \(q\) rappresenta la carica elementare.
La densità di corrente di deriva è data dalla seguente formula:La densità di corrente di deriva è data dalla seguente formula:
$$ J = q\mu nE $$ $$ J = q\mu nE $$
dove \(\mu\) rappresenta la mobilità delle cariche.dove \(\mu\) rappresenta la mobilità delle cariche.
Nella derivazione di Mott-Gurney, la corrente di diffusione viene trascurata. Questa approssimazione è valida quando il campo elettrico è sufficientemente intenso da far sì che il trasporto per deriva prevalga sulla diffusione.Nella derivazione di Mott-Gurney, la corrente di diffusione viene trascurata. Questa approssimazione è valida quando il campo elettrico è sufficientemente intenso da far sì che il trasporto per deriva prevalga sulla diffusione.
L’equazione completa di deriva-diffusione è la seguente:L’equazione completa di deriva-diffusione è la seguente:
$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$ $$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$
tuttavia, nelle condizioni dell’SCLC, si assume che il termine di diffusione sia di entità inferiore rispetto al termine di deriva:tuttavia, nelle condizioni dell’SCLC, si assume che il termine di diffusione sia di entità inferiore rispetto al termine di deriva:
$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$ $$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$
Derivazione dell’equazione di Mott-GurneyDerivazione dell’equazione di Mott-Gurney
Iniziamo combinando l’equazione di Poisson con l’equazione della corrente di deriva. Sostituendo:Iniziamo combinando l’equazione di Poisson con l’equazione della corrente di deriva. Sostituendo:
$$ n = \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} $$ $$ n = \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} $$
nell’espressione della corrente di deriva:nell’espressione della corrente di deriva:
$$ J = q\mu nE $$ $$ J = q\mu nE $$
offre:offre:
$$ J = q\mu \left( \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} \right) E $$ $$ J = q\mu \left( \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} \right) E $$
che si semplifica in:che si semplifica in:
$$ J = \varepsilon\mu E\frac{dE}{dx} $$ $$ J = \varepsilon\mu E\frac{dE}{dx} $$
Riorganizzazione:Riorganizzazione:
$$ E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu}\,dx $$ $$ E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu}\,dx $$
Integrazione tra i diversi dispositivi:Integrazione tra i diversi dispositivi:
$$ \int_0^{E} E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu} \int_0^x dx $$ $$ \int_0^{E} E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu} \int_0^x dx $$
offre:offre:
$$ \frac{E^2}{2} = \frac{Jx}{\varepsilon\mu} $$ $$ \frac{E^2}{2} = \frac{Jx}{\varepsilon\mu} $$
Pertanto:Pertanto:
$$ E(x) = \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } $$ $$ E(x) = \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } $$
La differenza di potenziale ai capi del dispositivo si ottiene integrando il campo elettrico:La differenza di potenziale ai capi del dispositivo si ottiene integrando il campo elettrico:
$$ V = \int_0^L E(x)\,dx $$ $$ V = \int_0^L E(x)\,dx $$
Sostituendo l’espressione del campo:Sostituendo l’espressione del campo:
$$ V = \int_0^L \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } \,dx $$ $$ V = \int_0^L \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } \,dx $$
Portare le costanti fuori dall’integrale:Portare le costanti fuori dall’integrale:
$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \int_0^L x^{1/2}\,dx $$ $$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \int_0^L x^{1/2}\,dx $$
Esecuzione dell’integrazione:Esecuzione dell’integrazione:
$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \cdot \frac{2}{3}L^{3/2} $$ $$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \cdot \frac{2}{3}L^{3/2} $$
Elevando al quadrato entrambi i membri:Elevando al quadrato entrambi i membri:
$$ V^2 = \frac{8JL^3}{9\varepsilon\mu} $$ $$ V^2 = \frac{8JL^3}{9\varepsilon\mu} $$
Infine, riorganizzando l’equazione in funzione della densità di corrente, si ottiene l’equazione di Mott-Gurney:Infine, riorganizzando l’equazione in funzione della densità di corrente, si ottiene l’equazione di Mott-Gurney:
$$ J = \frac{9}{8} \varepsilon\mu \frac{V^2}{L^3} $$ $$ J = \frac{9}{8} \varepsilon\mu \frac{V^2}{L^3} $$
Presupposti fisici alla base della derivazione.Presupposti fisici alla base della derivazione.
Sebbene la derivazione sembri semplice dal punto di vista matematico, essa si basa su diverse importanti ipotesi fisiche.Sebbene la derivazione sembri semplice dal punto di vista matematico, essa si basa su diverse importanti ipotesi fisiche.
Trasporto senza trappole.Trasporto senza trappole.
La teoria di base presuppone che tutti i portatori di carica iniettati rimangano mobili e contribuiscano direttamente al trasporto elettrico. Nei semiconduttori disordinati reali, i portatori di carica vengono spesso intrappolati in stati localizzati. Questo intrappolamento modifica la distribuzione dei portatori di carica e altera la dipendenza della corrente dalla tensione.La teoria di base presuppone che tutti i portatori di carica iniettati rimangano mobili e contribuiscano direttamente al trasporto elettrico. Nei semiconduttori disordinati reali, i portatori di carica vengono spesso intrappolati in stati localizzati. Questo intrappolamento modifica la distribuzione dei portatori di carica e altera la dipendenza della corrente dalla tensione.
Trasporto con un unico vettoreTrasporto con un unico vettore
L’equazione di Mott-Gurney presuppone che solo un tipo di portatore di carica contribuisca in modo significativo al trasporto. Nei dispositivi bipolari che contengono sia elettroni che lacune, i fenomeni di ricombinazione e di neutralizzazione della carica rendono non valida la semplice derivazione del modello SCLC.L’equazione di Mott-Gurney presuppone che solo un tipo di portatore di carica contribuisca in modo significativo al trasporto. Nei dispositivi bipolari che contengono sia elettroni che lacune, i fenomeni di ricombinazione e di neutralizzazione della carica rendono non valida la semplice derivazione del modello SCLC.
Contatti ohmiciContatti ohmici
La teoria di base presuppone che le cariche possano essere iniettate liberamente nel semiconduttore. Se all’interfaccia è presente una barriera di Schottky o una barriera all’iniezione, la corrente è limitata dall’iniezione di carica all’interfaccia piuttosto che dalla carica spaziale all’interno del dispositivo.La teoria di base presuppone che le cariche possano essere iniettate liberamente nel semiconduttore. Se all’interfaccia è presente una barriera di Schottky o una barriera all’iniezione, la corrente è limitata dall’iniezione di carica all’interfaccia piuttosto che dalla carica spaziale all’interno del dispositivo.
Mobilità uniformeMobilità uniforme
La formula di calcolo si basa sull’ipotesi che la mobilità sia indipendente dal campo elettrico e dalla densità dei portatori di carica. Tuttavia, in molti semiconduttori organici, la mobilità dipende fortemente dal campo, dal grado di disordine e dalla presenza di trappole.La formula di calcolo si basa sull’ipotesi che la mobilità sia indipendente dal campo elettrico e dalla densità dei portatori di carica. Tuttavia, in molti semiconduttori organici, la mobilità dipende fortemente dal campo, dal grado di disordine e dalla presenza di trappole.
Corrente di diffusione trascurabileCorrente di diffusione trascurabile
Durante l’intero processo di derivazione, il trasporto diffusivo viene trascurato. Questa approssimazione risulta meno precisa in presenza di campi elettrici deboli o in condizioni prossime all’equilibrio.Durante l’intero processo di derivazione, il trasporto diffusivo viene trascurato. Questa approssimazione risulta meno precisa in presenza di campi elettrici deboli o in condizioni prossime all’equilibrio.
Quando l’equazione di Mott-Gurney non è più valida.Quando l’equazione di Mott-Gurney non è più valida.
Nei dispositivi semiconduttori reali, il comportamento osservato si discosta spesso dal modello ideale di Mott-Gurney. Una delle cause più comuni è la presenza di stati di intrappolamento. Nei dispositivi SCLC in cui la corrente è limitata dagli stati di intrappolamento, la corrente segue spesso una legge di potenza:Nei dispositivi semiconduttori reali, il comportamento osservato si discosta spesso dal modello ideale di Mott-Gurney. Una delle cause più comuni è la presenza di stati di intrappolamento. Nei dispositivi SCLC in cui la corrente è limitata dagli stati di intrappolamento, la corrente segue spesso una legge di potenza:
$$ J \propto V^m $$ $$ J \propto V^m $$
dove si trova \(m > 2\).dove si trova \(m > 2\).
La mobilità, che dipende dal campo elettrico, può anche modificare in modo significativo la relazione tra corrente e tensione. Molti semiconduttori organici disordinati presentano un comportamento di tipo Poole-Frenkel, in cui la mobilità aumenta in modo esponenziale con l’intensità del campo elettrico.La mobilità, che dipende dal campo elettrico, può anche modificare in modo significativo la relazione tra corrente e tensione. Molti semiconduttori organici disordinati presentano un comportamento di tipo Poole-Frenkel, in cui la mobilità aumenta in modo esponenziale con l’intensità del campo elettrico.
A tensioni molto elevate, anche la resistenza in serie e gli effetti dell’autoriscaldamento possono diventare fattori significativi. Analogamente, se elettroni e lacune sono presenti contemporaneamente, il processo di ricombinazione può modificare la distribuzione del campo elettrico e invalidare l’ipotesi di presenza di un singolo tipo di portatore di carica.A tensioni molto elevate, anche la resistenza in serie e gli effetti dell’autoriscaldamento possono diventare fattori significativi. Analogamente, se elettroni e lacune sono presenti contemporaneamente, il processo di ricombinazione può modificare la distribuzione del campo elettrico e invalidare l’ipotesi di presenza di un singolo tipo di portatore di carica.
Per questi motivi, è spesso necessario ricorrere a simulazioni numeriche basate sul modello di deriva-diffusione per descrivere in modo accurato il comportamento dei dispositivi a semiconduttore reali.Per questi motivi, è spesso necessario ricorrere a simulazioni numeriche basate sul modello di deriva-diffusione per descrivere in modo accurato il comportamento dei dispositivi a semiconduttore reali.
Rapporto con le simulazioni basate sul modello di deriva-diffusioneRapporto con le simulazioni basate sul modello di deriva-diffusione
L’equazione di Mott-Gurney è estremamente utile perché fornisce una comprensione analitica del trasporto limitato dalla carica spaziale. Tuttavia, i dispositivi semiconduttori reali contengono spesso distribuzioni di trappole, mobilità dipendenti dal campo elettrico, contatti non ohmici, processi di ricombinazione e campi elettrici variabili nello spazio, elementi che non possono essere descritti da un semplice modello analitico.L’equazione di Mott-Gurney è estremamente utile perché fornisce una comprensione analitica del trasporto limitato dalla carica spaziale. Tuttavia, i dispositivi semiconduttori reali contengono spesso distribuzioni di trappole, mobilità dipendenti dal campo elettrico, contatti non ohmici, processi di ricombinazione e campi elettrici variabili nello spazio, elementi che non possono essere descritti da un semplice modello analitico.
Gli strumenti di simulazione basati sul modello di deriva-diffusione, come OghmaNano, risolvono numericamente le equazioni di Poisson e di continuità accoppiate, consentendo di includere esplicitamente questi effetti non ideali. In questo modo è possibile studiare dispositivi SCLC realistici che presentano disordine, stati di intrappolamento, gradienti di mobilità e strutture multistrato complesse.Gli strumenti di simulazione basati sul modello di deriva-diffusione, come OghmaNano, risolvono numericamente le equazioni di Poisson e di continuità accoppiate, consentendo di includere esplicitamente questi effetti non ideali. In questo modo è possibile studiare dispositivi SCLC realistici che presentano disordine, stati di intrappolamento, gradienti di mobilità e strutture multistrato complesse.