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Condizioni di validità dell’equazione di Mott–GurneyCondizioni di validità dell’equazione di Mott–Gurney

L’equazione di Mott–Gurney è una delle espressioni analitiche più utilizzate nella fisica dei dispositivi a semiconduttore. Essa descrive la densità di corrente in un dispositivo a carica spaziale limitata (SCLC) privo di trappole:L’equazione di Mott–Gurney è una delle espressioni analitiche più utilizzate nella fisica dei dispositivi a semiconduttore. Essa descrive la densità di corrente in un dispositivo a carica spaziale limitata (SCLC) privo di trappole:

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$ $$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

dove \(J\) rappresenta la densità di corrente, \(\varepsilon\) la permittività dielettrica, \(\mu\) la mobilità dei portatori di carica, \(V\) la tensione applicata e \(L\) lo spessore del dispositivo.dove \(J\) rappresenta la densità di corrente, \(\varepsilon\) la permittività dielettrica, \(\mu\) la mobilità dei portatori di carica, \(V\) la tensione applicata e \(L\) lo spessore del dispositivo.

Sebbene questa equazione sia spesso utilizzata per ricavare la mobilità dei portatori di carica dalle misurazioni sperimentali della corrente in funzione della tensione, la sua derivazione si basa su diverse importanti ipotesi fisiche. I dispositivi semiconduttori reali spesso non rispettano una o più di queste ipotesi, in particolare nel caso di semiconduttori organici disordinati, perovskiti, OLED e materiali a bassa mobilità.Sebbene questa equazione sia spesso utilizzata per ricavare la mobilità dei portatori di carica dalle misurazioni sperimentali della corrente in funzione della tensione, la sua derivazione si basa su diverse importanti ipotesi fisiche. I dispositivi semiconduttori reali spesso non rispettano una o più di queste ipotesi, in particolare nel caso di semiconduttori organici disordinati, perovskiti, OLED e materiali a bassa mobilità.

Di conseguenza, è importante comprendere non solo come viene ricavata l’equazione di Mott–Gurney, ma anche le condizioni fisiche in cui tale equazione rimane valida. La mancata considerazione di queste condizioni può portare a errori significativi nell’interpretazione delle misurazioni sperimentali di SCLC.Di conseguenza, è importante comprendere non solo come viene ricavata l’equazione di Mott–Gurney, ma anche le condizioni fisiche in cui tale equazione rimane valida. La mancata considerazione di queste condizioni può portare a errori significativi nell’interpretazione delle misurazioni sperimentali di SCLC.

Trasporto senza trappole.Trasporto senza trappole.

L’equazione classica di Mott–Gurney presuppone che tutti i portatori di carica iniettati mantengano la loro mobilità. In altre parole, si assume che il semiconduttore sia privo di trappole.L’equazione classica di Mott–Gurney presuppone che tutti i portatori di carica iniettati mantengano la loro mobilità. In altre parole, si assume che il semiconduttore sia privo di trappole.

In molti semiconduttori reali, tuttavia, le cariche possono rimanere intrappolate in stati localizzati associati a:In molti semiconduttori reali, tuttavia, le cariche possono rimanere intrappolate in stati localizzati associati a:

Le cariche intrappolate continuano a contribuire alla carica spaziale all’interno del dispositivo, ma non contribuiscono in modo efficace alla conduzione elettrica. Di conseguenza, la dipendenza della corrente dalla tensione si discosta dal comportamento quadratico ideale previsto dall’equazione di Mott-Gurney.Le cariche intrappolate continuano a contribuire alla carica spaziale all’interno del dispositivo, ma non contribuiscono in modo efficace alla conduzione elettrica. Di conseguenza, la dipendenza della corrente dalla tensione si discosta dal comportamento quadratico ideale previsto dall’equazione di Mott-Gurney.

Invece di:Invece di:

$$ J \propto V^2 $$ $$ J \propto V^2 $$

il carcinoma polmonare a piccole cellule (SCLC) con metastasi limitate alle stazioni linfatiche regionali presenta spesso le seguenti caratteristiche:il carcinoma polmonare a piccole cellule (SCLC) con metastasi limitate alle stazioni linfatiche regionali presenta spesso le seguenti caratteristiche:

$$ J \propto V^m $$ $$ J \propto V^m $$

con:con:

$$ m > 2 $$ $$ m > 2 $$

La presenza di trappole rappresenta quindi una delle principali limitazioni della teoria ideale della SCLC.La presenza di trappole rappresenta quindi una delle principali limitazioni della teoria ideale della SCLC.

Trasporto con un unico vettoreTrasporto con un unico vettore

La derivazione dell’equazione di Mott–Gurney presuppone che solo una specie di portatori di carica contribuisca in modo significativo al trasporto. Ciò significa che il dispositivo deve comportarsi in uno dei due modi seguenti:La derivazione dell’equazione di Mott–Gurney presuppone che solo una specie di portatori di carica contribuisca in modo significativo al trasporto. Ciò significa che il dispositivo deve comportarsi in uno dei due modi seguenti:

Negli esperimenti pratici su celle solari a strati sottili, questa condizione si ottiene progettando con cura le proprietà energetiche del contatto, in modo che un tipo di portatore di carica venga iniettato in modo efficiente, mentre il tipo opposto viene bloccato.Negli esperimenti pratici su celle solari a strati sottili, questa condizione si ottiene progettando con cura le proprietà energetiche del contatto, in modo che un tipo di portatore di carica venga iniettato in modo efficiente, mentre il tipo opposto viene bloccato.

Se sia gli elettroni che le lacune vengono iniettati contemporaneamente nel dispositivo, i processi di ricombinazione diventano importanti e le ipotesi alla base della derivazione di Mott-Gurney non sono più valide. La corrente risultante non può più essere descritta utilizzando un semplice modello SCLC a singolo portatore di carica.Se sia gli elettroni che le lacune vengono iniettati contemporaneamente nel dispositivo, i processi di ricombinazione diventano importanti e le ipotesi alla base della derivazione di Mott-Gurney non sono più valide. La corrente risultante non può più essere descritta utilizzando un semplice modello SCLC a singolo portatore di carica.

Questo è uno dei motivi per cui i dispositivi fotovoltaici standard non sono generalmente adatti per un’analisi ideale di tipo SCLC. Le celle solari sono progettate appositamente per favorire il trasporto bipolare e la separazione delle cariche, mentre i dispositivi SCLC sono realizzati appositamente per sopprimere un tipo specifico di portatore di carica.Questo è uno dei motivi per cui i dispositivi fotovoltaici standard non sono generalmente adatti per un’analisi ideale di tipo SCLC. Le celle solari sono progettate appositamente per favorire il trasporto bipolare e la separazione delle cariche, mentre i dispositivi SCLC sono realizzati appositamente per sopprimere un tipo specifico di portatore di carica.

Contatti ohmici e barriere di iniezioneContatti ohmici e barriere di iniezione

Un’altra ipotesi fondamentale dell’equazione di Mott–Gurney è che i contatti iniettino in modo efficiente le cariche nel semiconduttore. Ciò richiede condizioni di iniezione approssimativamente ohmiche.Un’altra ipotesi fondamentale dell’equazione di Mott–Gurney è che i contatti iniettino in modo efficiente le cariche nel semiconduttore. Ciò richiede condizioni di iniezione approssimativamente ohmiche.

Se all’interfaccia tra il metallo e il semiconduttore è presente una barriera di iniezione significativa, la corrente è limitata dall’iniezione di portatori di carica piuttosto che dalla carica spaziale all’interno del materiale.Se all’interfaccia tra il metallo e il semiconduttore è presente una barriera di iniezione significativa, la corrente è limitata dall’iniezione di portatori di carica piuttosto che dalla carica spaziale all’interno del materiale.

In condizioni ottimali per il carcinoma polmonare a piccole cellule:In condizioni ottimali per il carcinoma polmonare a piccole cellule:

Se queste condizioni non sono soddisfatte, il dispositivo passa invece a una modalità operativa in cui l’iniezione è limitata.Se queste condizioni non sono soddisfatte, il dispositivo passa invece a una modalità operativa in cui l’iniezione è limitata.

Questa distinzione è di fondamentale importanza dal punto di vista sperimentale, poiché un contatto non ohmico può generare curve corrente-tensione che, a prima vista, sembrano simili al comportamento tipico di un dispositivo SCLC, mentre in realtà sono governate dalle proprietà fisiche del contatto stesso.Questa distinzione è di fondamentale importanza dal punto di vista sperimentale, poiché un contatto non ohmico può generare curve corrente-tensione che, a prima vista, sembrano simili al comportamento tipico di un dispositivo SCLC, mentre in realtà sono governate dalle proprietà fisiche del contatto stesso.

Corrente di diffusione trascurabileCorrente di diffusione trascurabile

La derivazione di Mott–Gurney presuppone che il trasporto delle cariche sia dominato esclusivamente dalla corrente di deriva. Il contributo dovuto alla diffusione viene trascurato.La derivazione di Mott–Gurney presuppone che il trasporto delle cariche sia dominato esclusivamente dalla corrente di deriva. Il contributo dovuto alla diffusione viene trascurato.

L’equazione completa di deriva-diffusione è la seguente:L’equazione completa di deriva-diffusione è la seguente:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$ $$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

in cui:in cui:

L’approssimazione di Mott–Gurney si basa sulle seguenti ipotesi:L’approssimazione di Mott–Gurney si basa sulle seguenti ipotesi:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$ $$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Questa approssimazione è generalmente accettabile in presenza di campi elettrici elevati e di elevate concentrazioni di portatori iniettati, dove il trasporto guidato dal campo elettrico è predominante. Tuttavia, a basse tensioni o in condizioni prossime all’equilibrio, la diffusione può diventare un fattore significativo e l’approssimazione ideale di SCLC perde parte della sua accuratezza.Questa approssimazione è generalmente accettabile in presenza di campi elettrici elevati e di elevate concentrazioni di portatori iniettati, dove il trasporto guidato dal campo elettrico è predominante. Tuttavia, a basse tensioni o in condizioni prossime all’equilibrio, la diffusione può diventare un fattore significativo e l’approssimazione ideale di SCLC perde parte della sua accuratezza.

Nei semiconduttori a bassa mobilità e con un elevato grado di disordine, i processi di diffusione e di rilassamento energetico possono modificare in modo significativo la distribuzione interna delle cariche.Nei semiconduttori a bassa mobilità e con un elevato grado di disordine, i processi di diffusione e di rilassamento energetico possono modificare in modo significativo la distribuzione interna delle cariche.

Mobilità uniformeMobilità uniforme

La derivazione classica di Mott–Gurney presuppone che la mobilità dei portatori di carica sia uniforme nello spazio e indipendente dal campo elettrico.La derivazione classica di Mott–Gurney presuppone che la mobilità dei portatori di carica sia uniforme nello spazio e indipendente dal campo elettrico.

In molti materiali reali, questa ipotesi non è valida. I semiconduttori organici presentano in genere una mobilità che varia in funzione del campo elettrico:In molti materiali reali, questa ipotesi non è valida. I semiconduttori organici presentano in genere una mobilità che varia in funzione del campo elettrico:

$$ \mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma\sqrt{E}) $$ $$ \mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma\sqrt{E}) $$

dove \(\gamma\) è il coefficiente di Poole-Frenkel.dove \(\gamma\) è il coefficiente di Poole-Frenkel.

Questa dipendenza dal campo elettrico deriva dal fatto che il disordine energetico modifica le velocità di transizione dei portatori di carica tra gli stati localizzati. All’aumentare del campo elettrico, il trasporto per salti diventa più efficiente e la mobilità apparente aumenta.Questa dipendenza dal campo elettrico deriva dal fatto che il disordine energetico modifica le velocità di transizione dei portatori di carica tra gli stati localizzati. All’aumentare del campo elettrico, il trasporto per salti diventa più efficiente e la mobilità apparente aumenta.

In queste condizioni, la relazione tra corrente e tensione si discosta dal comportamento quadratico semplice previsto dall’equazione ideale di Mott-Gurney.In queste condizioni, la relazione tra corrente e tensione si discosta dal comportamento quadratico semplice previsto dall’equazione ideale di Mott-Gurney.

Ricombinazione trascurabileRicombinazione trascurabile

L’equazione di Mott–Gurney presuppone che il processo di ricombinazione sia trascurabile. Questa ipotesi è generalmente valida nei dispositivi a singolo tipo di portatore di carica, progettati in modo appropriato, poiché viene iniettato intenzionalmente solo un tipo di portatore di carica.L’equazione di Mott–Gurney presuppone che il processo di ricombinazione sia trascurabile. Questa ipotesi è generalmente valida nei dispositivi a singolo tipo di portatore di carica, progettati in modo appropriato, poiché viene iniettato intenzionalmente solo un tipo di portatore di carica.

Tuttavia, se sono presenti portatori di carica minoritari, si verificano processi di ricombinazione quali:Tuttavia, se sono presenti portatori di carica minoritari, si verificano processi di ricombinazione quali:

può modificare la distribuzione della densità dei portatori di carica e invalidare la derivazione ideale del modello SCLC.può modificare la distribuzione della densità dei portatori di carica e invalidare la derivazione ideale del modello SCLC.

Come identificare sperimentalmente il vero SCLC.Come identificare sperimentalmente il vero SCLC.

In fase sperimentale, il regime SCLC viene solitamente identificato in base alla pendenza della curva corrente-tensione rappresentata su scala logaritmica per entrambi gli assi.In fase sperimentale, il regime SCLC viene solitamente identificato in base alla pendenza della curva corrente-tensione rappresentata su scala logaritmica per entrambi gli assi.

Nel regime ohmico:Nel regime ohmico:

$$ J \propto V $$ $$ J \propto V $$

e la pendenza è di circa 1.e la pendenza è di circa 1.

In condizioni ideali, in assenza di trappole per insetti, nel caso di SCLC:In condizioni ideali, in assenza di trappole per insetti, nel caso di SCLC:

$$ J \propto V^2 $$ $$ J \propto V^2 $$

e la pendenza si avvicina a 2.e la pendenza si avvicina a 2.

Il trasporto limitato dalla presenza di trappole produce frequentemente pendenze superiori a 2, mentre il trasporto limitato dall’iniezione può generare comportamenti più complessi.Il trasporto limitato dalla presenza di trappole produce frequentemente pendenze superiori a 2, mentre il trasporto limitato dall’iniezione può generare comportamenti più complessi.

È quindi necessaria un’interpretazione accurata. Una semplice relazione quadratica tra corrente e tensione non costituisce una prova sufficiente del fatto che si stia verificando un trasporto ideale di tipo Mott-Gurney.È quindi necessaria un’interpretazione accurata. Una semplice relazione quadratica tra corrente e tensione non costituisce una prova sufficiente del fatto che si stia verificando un trasporto ideale di tipo Mott-Gurney.

Rapporto con la simulazione basata sul modello di deriva-diffusioneRapporto con la simulazione basata sul modello di deriva-diffusione

Gli strumenti di simulazione moderni basati sul modello drift-diffusion, come OghmaNano, risolvono numericamente le equazioni di Poisson, di continuità e di trasporto, che sono interconnesse. Ciò consente di includere esplicitamente effetti non ideali realistici, tra cui:Gli strumenti di simulazione moderni basati sul modello drift-diffusion, come OghmaNano, risolvono numericamente le equazioni di Poisson, di continuità e di trasporto, che sono interconnesse. Ciò consente di includere esplicitamente effetti non ideali realistici, tra cui:

Di conseguenza, la simulazione numerica fornisce spesso una descrizione più accurata dei dispositivi SCLC reali rispetto alla sola teoria analitica ideale.Di conseguenza, la simulazione numerica fornisce spesso una descrizione più accurata dei dispositivi SCLC reali rispetto alla sola teoria analitica ideale.

Proseguite con il tutorial sulla simulazione SCLC per simulare numericamente la corrente limitata dalla carica spaziale in OghmaNano.Proseguite con il tutorial sulla simulazione SCLC per simulare numericamente la corrente limitata dalla carica spaziale in OghmaNano.