Derivazione delle equazioni relative alle modalità otticheDerivazione delle equazioni relative alle modalità ottiche

Le modalità ottiche sono le distribuzioni del campo elettromagnetico consentite che possono propagarsi attraverso una struttura fotonica. Queste modalità derivano naturalmente dalle soluzioni delle equazioni di Maxwell, unitamente alle condizioni al contorno del materiale imposte dalla distribuzione dell’indice di rifrazione.Le modalità ottiche sono le distribuzioni del campo elettromagnetico consentite che possono propagarsi attraverso una struttura fotonica. Queste modalità derivano naturalmente dalle soluzioni delle equazioni di Maxwell, unitamente alle condizioni al contorno del materiale imposte dalla distribuzione dell’indice di rifrazione.

In questa pagina vengono presentate le equazioni relative alle modalità ottiche utilizzate nelle simulazioni di guide d’onda e di dispositivi fotonici, partendo dalle equazioni di Maxwell e proseguendo con il problema degli autovalori della matrice risolto numericamente tramite il risolutore di modalità ottiche.In questa pagina vengono presentate le equazioni relative alle modalità ottiche utilizzate nelle simulazioni di guide d’onda e di dispositivi fotonici, partendo dalle equazioni di Maxwell e proseguendo con il problema degli autovalori della matrice risolto numericamente tramite il risolutore di modalità ottiche.

Le equazioni di MaxwellLe equazioni di Maxwell

Nei materiali dielettrici non magnetici e privi di sorgenti, le equazioni di Maxwell possono essere formulate come segue:Nei materiali dielettrici non magnetici e privi di sorgenti, le equazioni di Maxwell possono essere formulate come segue:

\[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \] \[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \] \[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \] \[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \] \[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]

Per materiali dielettrici isotropi:Per materiali dielettrici isotropi:

\[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \] \[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \]

\[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \] \[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \]

Supponendo una dipendenza armonica dal tempo:Supponendo una dipendenza armonica dal tempo:

\[ e^{-i\omega t} \] \[ e^{-i\omega t} \]

le equazioni per la curvatura diventano:le equazioni per la curvatura diventano:

\[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \] \[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \] \[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \]

Ricavare l’equazione delle ondeRicavare l’equazione delle onde

Applicando l’operatore rotore alla legge di Faraday, si ottiene:Applicando l’operatore rotore alla legge di Faraday, si ottiene:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \] \[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \]

Sostituendo la legge di Ampère:Sostituendo la legge di Ampère:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \] \[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \]

Utilizzando l’identità vettoriale:Utilizzando l’identità vettoriale:

\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \] \[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \]

e ipotizzando materiali dielettrici privi di sorgenti, dove:e ipotizzando materiali dielettrici privi di sorgenti, dove:

\[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \] \[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \]

fornisce l’equazione di Helmholtz in forma vettoriale:fornisce l’equazione di Helmholtz in forma vettoriale:

\[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \] \[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \]

in cui:in cui:

\[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \] \[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \]

è il vettore d’onda nello spazio libero e:è il vettore d’onda nello spazio libero e:

\[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \] \[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]

è la distribuzione dell’indice di rifrazione.è la distribuzione dell’indice di rifrazione.

Approccio basato sulla modalità guidataApproccio basato sulla modalità guidata

Si ipotizza che le modalità ottiche che si propagano lungo la direzione longitudinale \(z\) abbiano la seguente forma:Si ipotizza che le modalità ottiche che si propagano lungo la direzione longitudinale \(z\) abbiano la seguente forma:

\[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \] \[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \]

in cui:in cui:

• \( \mathbf{E}(x,y) \) rappresenta il profilo del modo trasversale.\( \mathbf{E}(x,y) \) rappresenta il profilo del modo trasversale.
• \( \beta \) è la costante di propagazione.\( \beta \) è la costante di propagazione.

Sostituendo questa espressione nell’equazione di Helmholtz, si ottiene:Sostituendo questa espressione nell’equazione di Helmholtz, si ottiene:

\[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \] \[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \]

Questa equazione definisce un problema agli autovalori, in cui i valori ammissibili di \( \beta \) corrispondono alle modalità ottiche supportate dalla struttura.Questa equazione definisce un problema agli autovalori, in cui i valori ammissibili di \( \beta \) corrispondono alle modalità ottiche supportate dalla struttura.

Indice di rifrazione efficaceIndice di rifrazione efficace

La costante di propagazione viene spesso espressa utilizzando l’indice di rifrazione efficace:La costante di propagazione viene spesso espressa utilizzando l’indice di rifrazione efficace:

\[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \] \[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \]

L’indice di rifrazione efficace fornisce una misura pratica del confinamento ottico. In generale, le modalità con un valore \(n_{\mathrm{eff}}\) più elevato sono maggiormente confinate nelle regioni con un indice di rifrazione più alto.L’indice di rifrazione efficace fornisce una misura pratica del confinamento ottico. In generale, le modalità con un valore \(n_{\mathrm{eff}}\) più elevato sono maggiormente confinate nelle regioni con un indice di rifrazione più alto.

Modi elettrici trasversali (TE)Modi elettrici trasversali (TE)

Nel caso della polarizzazione TE, il campo elettrico è perpendicolare al piano di propagazione. L’equazione fondamentale si riduce a:Nel caso della polarizzazione TE, il campo elettrico è perpendicolare al piano di propagazione. L’equazione fondamentale si riduce a:

\[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \] \[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \]

Questa equazione di Helmholtz scalare viene comunemente utilizzata per calcolare le modalità ottiche nelle guide d’onda a strato e nelle strutture dielettriche multistrato.Questa equazione di Helmholtz scalare viene comunemente utilizzata per calcolare le modalità ottiche nelle guide d’onda a strato e nelle strutture dielettriche multistrato.

Modi magnetici trasversali (TM)Modi magnetici trasversali (TM)

Nel caso della polarizzazione TM, il campo magnetico è perpendicolare al piano di propagazione. La variazione spaziale della funzione dielettrica modifica l’equazione di base:Nel caso della polarizzazione TM, il campo magnetico è perpendicolare al piano di propagazione. La variazione spaziale della funzione dielettrica modifica l’equazione di base:

\[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \] \[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \]

In generale, le modalità TM sono più sensibili alle discontinuità dell’indice di rifrazione e rivestono un’importanza particolare nei sistemi plasmonici e in quelli caratterizzati da un elevato contrasto dell’indice di rifrazione.In generale, le modalità TM sono più sensibili alle discontinuità dell’indice di rifrazione e rivestono un’importanza particolare nei sistemi plasmonici e in quelli caratterizzati da un elevato contrasto dell’indice di rifrazione.

Discretizzazione mediante differenze finiteDiscretizzazione mediante differenze finite

Le soluzioni analitiche sono disponibili solo per strutture relativamente semplici. Pertanto, la maggior parte dei dispositivi fotonici realistici richiede l’utilizzo di metodi numerici.Le soluzioni analitiche sono disponibili solo per strutture relativamente semplici. Pertanto, la maggior parte dei dispositivi fotonici realistici richiede l’utilizzo di metodi numerici.

Il risolutore di modalità ottiche discretizza gli operatori differenziali trasversali utilizzando approssimazioni alle differenze finite su una griglia rettangolare.Il risolutore di modalità ottiche discretizza gli operatori differenziali trasversali utilizzando approssimazioni alle differenze finite su una griglia rettangolare.

Ad esempio, la derivata seconda nella direzione \(y\) può essere approssimata utilizzando la seguente formula:Ad esempio, la derivata seconda nella direzione \(y\) può essere approssimata utilizzando la seguente formula:

\[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \] \[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \]

Vengono definite espressioni equivalenti per la direzione \(x\). Nel caso di griglie non uniformi, vengono utilizzati gli spazi locali tra i punti della griglia a sinistra e a destra per definire i coefficienti di differenza finita asimmetrici.Vengono definite espressioni equivalenti per la direzione \(x\). Nel caso di griglie non uniformi, vengono utilizzati gli spazi locali tra i punti della griglia a sinistra e a destra per definire i coefficienti di differenza finita asimmetrici.

Problema degli autovalori di una matriceProblema degli autovalori di una matrice

Dopo la discretizzazione, le equazioni relative alle modalità ottiche si trasformano in un problema di autovalori rappresentabile con una matrice sparsa:Dopo la discretizzazione, le equazioni relative alle modalità ottiche si trasformano in un problema di autovalori rappresentabile con una matrice sparsa:

\[ A\psi = \beta^2\psi \] \[ A\psi = \beta^2\psi \]

in cui:in cui:

• \(A\) contiene i termini relativi all’operatore laplaciano in forma alle differenze finite e all’indice di rifrazione.\(A\) contiene i termini relativi all’operatore laplaciano in forma alle differenze finite e all’indice di rifrazione.
• \( \psi \) rappresenta il campo ottico discretizzato.\( \psi \) rappresenta il campo ottico discretizzato.
• \( \beta^2 \) è l’autovalore.\( \beta^2 \) è l’autovalore.

La struttura a matrice sparsa deriva dal fatto che ogni punto della griglia è collegato solo ai punti adiacenti nello schema delle differenze finite.La struttura a matrice sparsa deriva dal fatto che ogni punto della griglia è collegato solo ai punti adiacenti nello schema delle differenze finite.

Interpretazione fisicaInterpretazione fisica

Gli autovettori risultanti corrispondono alle modalità ottiche supportate dalla struttura fotonica, mentre gli autovalori ne determinano gli indici di rifrazione effettivi.Gli autovettori risultanti corrispondono alle modalità ottiche supportate dalla struttura fotonica, mentre gli autovalori ne determinano gli indici di rifrazione effettivi.

Le diverse modalità proprie rappresentano diverse distribuzioni del campo e diverse caratteristiche di confinamento all’interno del dispositivo. Alcune modalità rimangono fortemente confinate, mentre altre disperdono energia negli strati circostanti o la irradiano nello spazio libero.Le diverse modalità proprie rappresentano diverse distribuzioni del campo e diverse caratteristiche di confinamento all’interno del dispositivo. Alcune modalità rimangono fortemente confinate, mentre altre disperdono energia negli strati circostanti o la irradiano nello spazio libero.