遷移行列法（TMM）によるファブリ・ペロー共振器のシミュレーション
1. はじめに
ファブリ・ペロー共振器とは、2つの部分反射面の間に光が閉じ込められることで形成される共振性の光構造体である。共振器内部での光の多重反射により、光波同士が干渉し、特定の波長において定在波が生じる。この共振条件を満たす波長の光は、構造体内部での透過率が増大するとともに、強い光電場が形成される。
ファブリ・ペロー共振器は、光フィルター、誘電体ミラー、干渉計、LED、およびレーザー共振器などに広く利用されている。本チュートリアルでは、遷移行列法（TMM）を用いて単純な一次元ファブリ・ペロー共振器のモデル化を行う。
FDTD法では電磁場を空間および時間の両方にわたって数値的に伝播させるのに対し、遷移行列法は一次元の多層構造を前提とし、各層内の電磁場を解析的に求める。電磁場は進行波と後退波の重ね合わせとして表現され、界面においてはマクスウェルの境界条件を用いて各層間の場が結合される。平面状の多層系においてはこの手法により計算負荷が大幅に軽減されるため、光共振器の共鳴現象や薄膜干渉効果の解析に遷移行列法は極めて効率的である。遷移行列理論に遷移行列法の完全な導出過程が記載されている。
垂直入射の場合、ファブリ・ペロー共振条件は
\(2nL = m\lambda\)
ここで\(n\)は共振器内部の屈折率、\(L\)は共振器の長さ、\(\lambda\)は波長、\(m\)は整数値のモード番号を表す。
式を整理すると、許容される光共振器の波長が求められる：
\(\lambda_m = \frac{2nL}{m}\)
つまり、離散的な共鳴波長のみが共振器を通じて効率的に透過するのである。本チュートリアルでは、透過スペクトルおよび反射スペクトルにおいてこれらの共鳴現象を直接観察するとともに、共振器内部における定在波状の光子密度分布も可視化する。
2. 新規シミュレーションの作成
新規シミュレーションウィンドウを開き、「遷移行列法」カテゴリを選択してください（??）。次に「ファブリ・ペロー共振器」のサンプルを選択します（??）。
例題を開いた後、??に示すようなメインインターフェースが表示される。このシミュレーションでは、空気層によって隔てられた2つの部分反射層から構成される単純な光共振器が用いられている。
この共振器は、屈折率が\(n=3\)である2枚の薄い誘電体層から構成され、その間には空気層が存在する。これら2つの高屈折率層が部分的に反射する鏡の役割を果たしている。
広帯域の光がこの構造体に入射すると、二つの鏡面の間で多数の反射が生じる。共振条件を満たす波長においては、反射波同士が建設的干渉を起こし、結果として共振器内部で電磁場が強く増幅されるとともに構造体を通過する透過光も増大する。
3. 光学シミュレーションの実行
光学用リボン (??) を開き、「遷移行列」ボタンをクリックしてください。これにより光学用遷移行列ソルバーが起動します。
遷移行列法により、多層構造全体における光電場分布、反射スペクトル、透過スペクトル、および吸収された光子密度が算出される。この手法は周波数領域で直接計算を行うため、シミュレーションは通常数秒程度で完了する。
シミュレーション終了後、??に示す光子密度分布図が表示される。横軸は共振器内の位置を、縦軸は波長を表している。
明るく見える領域は、構造内部で光電場が強く形成される波長を示している。最も顕著なピークは450～500 nm付近に現れ、これがその光共振器における基本モードのファブリ・ペロー共鳴に相当する。
図中に見られる振動的な空間構造は、共振器内部を伝播する進行波と後退波の干渉によって生じる定在波パターンである。
4. 反射スペクトルおよび透過スペクトル
遷移行列法ソルバーは反射および透過した光のパワーも算出する。これらの結果は??および??に示されている。
共振波長においては、反射スペクトル上に顕著なディップが現れ、同時に透過スペクトル上にもピークが生じる。物理的には、共振波長において光共振器が光エネルギーを効率的に蓄積するため、光は構造体で反射されることなく透過するのである。
この構造において、共振器の長さは約250ナノメートルであり、共振器内の屈折率はほぼ1である。したがって、共振条件から予測される基本モードの波長は
\(\lambda \approx 2nL \approx 2 \times 1 \times 250 \approx 500\ \text{nm}\)
これは上記で観測されたスペクトルと一致している。
5. 共振器長さの変更
??に示されるレイヤー編集画面を開いてください。この共振器は、空気層によって隔てられた2枚の薄い誘電体層から構成されています。
元の構造においては、共振器の厚みは約260ナノメートルである。??に示すようにこの厚みを300ナノメートルまで増加させた後、再び光学的シミュレーションを実行する。
シミュレーションを再実行した結果、??および??に示すスペクトルが得られた。
共振器の長さを増加させると、共振波長はより長波長側へとシフトする。これはファブリ・ペロー条件から直接導き出される結果である：
\(\lambda = \frac{2nL}{m}\)
共振波長は共振器長に比例するため、\(L\)を長くすると透過ピークがより長い波長側へと移動することになる。
さらに、高次の共振モードに対応する弱い共振も確認できるはずです（\(m=2,3,\dots\)）。
6. 光子密度のスナップショットを確認する
??に示される出力タブに戻り、optical_snapshotsディレクトリを開くことで、各波長における光子密度分布を確認できる。
スナップショットビューアを使用すると、共振器構造内の特定の波長における光電場分布を確認できる。先に示した波長位置マップとは異なり、これらのスナップショットでは単一波長における共振器内部の定在波パターンを直接観察することが可能となる。
これらの図は、ファブリ・ペロー共振器内部における空間的な光子密度分布を示している。この振動的パターンは、共振器の両端にある鏡面で反射された進行波と後退波の干渉によって生じるものである。光子密度が高い領域は定在波の腹に相当し、密度が低い領域はほぼ定在波の節に対応している。
??および??に示されている光子密度の分布図は、ファブリ・ペロー共振器内部における光の振る舞いを直接的に示している。光波は構造体を一度だけ通過するのではなく、2枚の部分反射鏡の間で繰り返し反射する。こうした多数回の反射が互いに干渉し合うことで、共振器内部に定在波パターンが形成されるのである。
光子密度分布に見られる交互に現れるピークと谷は、光場の定在波構造を表している。光子密度が高い領域は定在波の腹に相当し、ここでは電場の振動が大きくなる。一方、密度が低い領域は定在波の節にほぼ対応し、ここでは干渉作用により電場が抑制されている。
??においては、定在波パターンが共振器の左側部分に強く集中している。界面付近に見られる狭い高強度領域は、光電場が鏡面付近で強く反射され、閉じ込められていることを示している。共振器内を進むにつれて電場は振動し、構造全体にわたって徐々に再分布していく。??では、光電場が共振器内により均一に分布している。この波長において共振器は共鳴条件に近くなっており、反射波同士がより効率的に強め合うことができる。その結果、光エネルギーは単一の界面付近に留まるのではなく共振器全体に蓄積され、図に示されているような広範囲にわたる定在波パターンが形成される。
??においては、共振器内の光波長が長くなったため定在波の間隔も広がっている。電磁場は共振器全体にわたって滑らかに広がっており、同時に進行波と後退波の干渉によって生じる特徴的な振動的挙動も見られる。共振器界面付近に見られる急激な垂直方向の変化は、隣接する層間の屈折率の違いに起因する。これらの境界においては電磁場がマクスウェルの境界条件を満たす必要があり、その結果界面において進行波および後退波の振幅が急変することになる。
これらの図は、ファブリ・ペロー共振器の背後にある重要な物理的メカニズムの一つを示している。すなわち、共振器は特定の波長においてのみ光を効率的に蓄積できるのである。光学的位相条件が満たされると、反射波同士が互いに強め合い、構造内部に安定した定在波モードが形成される。一方、非共振波長ではこのような建設的干渉が生じないため、光エネルギーの蓄積は著しく弱まり、入射光の大部分が共振器から反射されてしまう。
7. 屈折率コントラストの変更
共振器における共鳴の強度は、鏡面の反射率に大きく依存する。誘電体製のファブリ・ペロー共振器においては、この反射率は主として屈折率コントラストによって制御される。
レイヤーエディターを開き、??に示すように、ミラーの屈折率を\(n=3\)から\(n=1.5\)へと減少させてください。
シミュレーションを再実行した後、反射スペクトルおよび透過スペクトルは ?? および ?? に示す通りとなる。
屈折率コントラストが低下すると、鏡面の反射能が弱まる。その結果、共振器内に閉じ込められる光の量が減少し、共振特性も広がることになる。
物理的には、これは共振器のQ因子の低下を意味する。反射率の高い鏡を用いると狭帯域かつ電場強度の大きい共振が生じるが、反射率の低い鏡を用いると共振帯域が広がり、電場強度も弱くなる。