전달행렬법(TMM)을 이용한 파브리-페로 공동 시뮬레이션

1. 서론

파브리-페로 공동은 두 개의 부분 반사 경계 사이에 빛이 가두어지면서 형성되는 공명 광학 구조입니다. 공동 내부에서 발생하는 다중 반사는 광파들 간의 간섭을 유발하여 특정 파장에서 정상파 공명이 생성됩니다. 공동 공명 조건을 만족하는 파장의 빛은 구조 내부에서 투과율이 증가하고 강한 광장이 형성됩니다.

파브리-페로 공동은 광학 필터, 유전체 미러, 간섭계, LED 및 레이저 공동 등에 널리 활용된다. 본 튜토리얼에서는 전달행렬법(TMM)을 이용하여 간단한 1차원 파브리-페로 공동 모델링을 수행한다.

FDTD는 전자기장을 공간 및 시간 영역에서 수치적으로 전파시키는 반면, 전달행렬법(TMM)은 1차원 층상 구조를 가정하여 각 층 내에서 광학장을 해석적으로 구해낸다. 전자기장은 전파 및 후방파의 중첩으로 표현되며, 각 층 간 경계에서는 맥스웰 경계 조건을 적용하여 장의 연속성을 확보한다. 평면 다층 구조의 경우 이러한 접근법은 계산 복잡도를 크게 낮추어 공동 공명 및 박막 간섭 현상 분석에 TMM을 매우 효율적으로 활용할 수 있게 한다. 전달행렬법에 대한 상세한 유도 과정은 전달행렬 이론에 기술되어 있다.

정상 입사 시 파브리-페로 공명 조건은

\(2nL = m\lambda\)

여기서 \(n\)은 공동 내부의 굴절률이며, \(L\)는 공동 길이, \(\lambda\)는 파장, 그리고 \(m\)는 정수인 모드 번호입니다.

식을 재배열하면 허용되는 공동 파장값들을 구할 수 있습니다:

\(\lambda_m = \frac{2nL}{m}\)

이는 오직 특정한 공명 파장들만이 공동을 통해 효율적으로 투과된다는 것을 의미합니다. 본 튜토리얼에서는 투과 및 반사 스펙트럼에서 이러한 공명 현상을 직접 관찰하고, 공동 내부의 정상파 형태를 이루는 광자 밀도 분포도 시각화할 것입니다.

2. 새로운 시뮬레이션 생성하기

새로운 시뮬레이션 창을 열고 전달행렬법(TMM) 카테고리를 선택하십시오(??). 그 다음 파브리-페로 공동 예제를 선택하십시오(??).

예제를 열면 ??에 나타난 바와 같이 메인 인터페이스가 표시됩니다. 이 시뮬레이션은 공기층으로 분리된 두 개의 부분 반사층으로 구성된 간단한 광공동 구조를 다룹니다.

이 공동 구조는 굴절률이 \(n=3\)인 두 개의 얇은 유전체층으로 구성되며, 이들 사이에는 공기층이 존재합니다. 이 두 고굴절률층은 부분적으로 반사되는 거울 역할을 합니다.

광대역 광원이 구조물에 입사하면 두 반사경 사이에서 다중 반사 현상이 발생합니다. 공동 공명 조건을 만족하는 파장에서는 반사된 파동들이 보강간섭을 일으켜 공동 내부에 전기장이 집중되고 구조물을 통한 투과도 증가하게 됩니다.

3. 광학 시뮬레이션 실행하기

광학 리본 메뉴(??)를 열고 전달행렬법(TMM) 버튼을 클릭하십시오. 그러면 광학 전달행렬 해석기가 실행됩니다.

전달행렬법(TMM)은 다층 구조 전반에 걸쳐 광장 분포, 반사 스펙트럼, 투과 스펙트럼 및 흡수된 광자 밀도를 계산한다. 이 방법은 주파수 영역에서 직접 연산되므로 시뮬레이션은 보통 단 몇 초 내에 완료된다.

시뮬레이션이 완료되면 ??에 나타난 광자 밀도 분포도가 표시됩니다. 수평축은 공동 내부의 위치를 나타내며 수직축은 파장을 나타냅니다.

밝게 표시된 영역들은 구조 내부에서 광장이 강하게 형성되는 파장들을 나타냅니다. 가장 두드러지는 특징은 450~500 nm 부근에서 나타나는데, 이는 공동의 기본적인 파브리-페로 공명에 해당합니다.

그래프에서 나타나는 진동 형태의 공간 패턴은 공동 내부에서 전진 및 후진으로 진행하는 파동들 간의 간섭에 의해 형성된 정상파 패턴입니다.

4. 반사 및 투과 스펙트럼

전달행렬법(TMM) 해석기는 반사 및 투과된 광출력도 계산합니다. 이 결과들은 ?? 및 ??에 나타나 있습니다.

공동 공명 현상은 반사 스펙트럼에서 뚜렷한 감소 구간으로 나타나며, 투과 스펙트럼에서는 그에 상응하는 피크가 발생한다. 물리적으로는 공동 내부에서 공명 파장에 해당하는 광에너지가 효율적으로 저장되므로 빛이 구조물에 의해 반사되지 않고 투과하게 되는 것이다.

이 구조에서 공동 간격은 약 250 nm이며 공동의 굴절률은 1에 가깝습니다. 따라서 공명 조건에 의해 기본 모드가 대략

\(\lambda \approx 2nL \approx 2 \times 1 \times 250 \approx 500\ \text{nm}\)

이는 위에서 관측된 투과/반사 스펙트럼과 일치합니다.

5. 공동 길이 변경하기

??에 표시된 레이어 편집기를 열어보세요. 공동은 공기층으로 분리된 두 개의 얇은 유전체층에 의해 형성됩니다.

기존 구조에서 공동의 두께는 약 260nm입니다. ??에 나타난 바와 같이 이 값을 300nm로 증가시킨 뒤 광학 시뮬레이션을 다시 실행하십시오.

시뮬레이션을 재실행한 후 ?? 및 ??에 나타난 투과 스펙트럼을 얻게 됩니다.

공동 길이를 증가시키면 공명 파장이 더 긴 쪽으로 이동한다. 이는 파브리-페로 조건에 의해 직접적으로 설명된다:

\(\lambda = \frac{2nL}{m}\)

공동 길이에 따라 공명 파장이 변화하므로 \(L\)을 증가시키면 투과 피크가 더 긴 파장 방향으로 체계적으로 이동하게 된다.

또한 더 높은 차수의 공동 모드들에 해당하는 약한 공명 현상들도 관찰할 수 있습니다(\(m=2,3,\dots\)).

6. 광자 밀도 분포 스냅샷 확인하기

??에 표시된 출력 탭으로 돌아가세요. 그런 다음 optical_snapshots 디렉터리를 열어 특정 파장에서의 광자 밀도 분포를 확인하시기 바랍니다.

스냅샷 뷰어를 이용하면 공동 구조 내에서 특정 파장에 대한 광장 분포를 확인할 수 있다. 앞서 설명한 파장-위치 맵과는 달리, 이러한 스냅샷들은 단일 파장에서 공동 내부에 형성되는 정상파 패턴을 직접적으로 보여준다.

?? 및 ??에 광자 밀도 분포의 예시가 나타나 있습니다.

이 그래프들은 파브리-페로 공동 내부의 광자 밀도 분포를 나타냅니다. 진동 형태의 패턴은 공동 내 양쪽 거울에서 반사된 전진 및 후진 방향의 광파 간의 간섭 현상으로 인해 발생합니다. 광자 밀도가 높은 영역은 정상파의 진주점에 해당하며, 밀도가 낮은 영역은 대략 정상파의 마디점에 대응합니다.

?? 및 ??에 제시된 광자 밀도 분포 이미지들은 파브리-페로 공동 내부에서 빛이 어떻게 거동하는지를 직접적으로 보여준다. 광파는 구조체를 단 한 번만 통과하는 것이 아니라, 두 개의 부분 반사 미러 사이에서 반복적으로 반사된다. 이러한 다중 반사 현상이 서로 간섭하여 공동 내부에 정상파 패턴을 형성하게 된다.

광자 밀도 분포에서 나타나는 파동 모양의 피크와 저점들은 광장의 정상파 구조를 반영합니다. 광자 밀도가 높은 영역들은 정상파의 진동절점에 해당하며, 이곳에서는 전기장의 진동이 크게 나타납니다. 반면 광자 밀도가 낮은 영역들은 정상파의 진동마디에 대응하며, 여기서는 상쇄간섭으로 인해 전기장이 억제됩니다.

??에서 정상파 패턴은 공동의 좌측 부분에 집중적으로 나타난다. 공동 경계면 근처에 나타난 좁고 강한 강도의 영역은 광학장이 거울에 의해 강하게 반사되어 그 근처에 갇혀 있음을 의미한다. 공동 내부로 이동하면서 광학장은 진동하며 구조 전체에 걸쳐 점차 재분포된다. ??에서는 광학장이 공동 전체에 걸쳐 훨씬 균일하게 분포하게 된다. 이 파장에서는 공동이 공명 조건에 더 가까워져 반사된 파동들이 보다 효율적으로 서로 보강간섭을 일으킨다. 그 결과 광학 에너지는 단일 경계면 근처에만 집중되는 대신 공동 전반에 걸쳐 축적되어 그림에서 볼 수 있는 넓은 정상파 패턴이 형성된다.

??에서는 공동 내부의 광파장이 증가함에 따라 정상파 간격이 커집니다. 전기장은 공동 전체에 걸쳐 매끄럽게 퍼져나가며, 동시에 전진 및 후진으로 진행하는 파동 간의 간섭으로 인해 특유의 진동적 특성을 나타냅니다. 공동 경계면 근처에서 나타나는 급격한 수직 변화는 인접 층들 간의 굴절률 차이에 기인합니다. 이러한 경계면에서는 전자기장이 맥스웰 경계조건을 만족해야 하므로, 경계면에서 전진 및 후진 파동의 진폭이 갑작스럽게 조정됩니다.

이 그림들은 파브리-페로 공동의 핵심 물리적 원리 중 하나를 보여준다. 즉, 공동은 특정 파장의 빛만을 효율적으로 저장할 수 있다는 점이다. 광학적 위상 조건이 만족될 경우 반사된 파동들이 서로 보강 간섭을 일으켜 구조 내부에 안정적인 정상파 모드가 형성된다. 공명하지 않는 파장에서는 이러한 보강 간섭이 발생하지 않으므로 광장의 형성 정도가 현저히 약해지며, 입사광의 상당 부분이 공동 밖으로 반사된다.

7. 굴절률 대비도 변경하기

공동의 광공명 강도는 거울의 반사율에 크게 의존합니다. 유전체로 구성된 파브리-페로 공동의 경우, 해당 반사율은 주로 굴절률 대비값에 의해 결정됩니다.

레이어 편집기를 열고 ??에 나와 있듯이 미러의 굴절률 값을 \(n=3\)에서 \(n=1.5\)로 낮춰주십시오.

시뮬레이션을 다시 실행한 후에는 반사 및 투과 스펙트럼이 각각 ?? 및 ??에 나타난 것과 같이 변경됩니다.

굴절률 대비도가 감소하면 미러의 반사 능력이 약화됩니다. 그 결과 공동 내에 갇히는 빛의 양이 줄어들고 공명 특성이 넓어지게 됩니다.

물리적으로 이는 공동의 Q-인자 값이 감소하는 현상에 해당합니다. 반사율이 높은 거울은 강한 전계 집중 현상을 동반하는 좁은 폭의 공명을 생성하는 반면, 반사율이 낮은 거울은 더 넓고 뚜렷하지 않은 공명을 만들어냅니다.