Struktura GaAs/AlGaAs z warstwą kwantową: przewodnik po metodzie 8-pasmowej aproksymacji k·p dla struktury cynkowej.

1. Wprowadzenie

W tym samouczku obliczymy właściwości elektroniczne i optyczne struktury kwantowej GaAs/AlGaAs, korzystając z ośmiopasmowego modelu k·p dla struktury cynkowej, dostępnego w programie OghmaNano. Zaczniemy od gotowego przykładu, przeanalizujemy strukturę warstw, uruchomimy symulację i zbadamy uzyskane pasma przewodnictwa i walencyjne. Na koniec przyjrzymy się obliczonym spektrom optycznym.

W tutorialu dotyczącym paraboloidalnych studni kwantowych elektrony i dziury traktowane są za pomocą stosunkowo prostych pasm efektywnej masy. W tym przypadku hamiltonian zawiera bazę pasma przewodnictwa oraz bazę pasma walencyjnego dla ciężkich dziur (HH), lekkich dziur (LH) i odszczepionych dziur (SO), przy czym dla każdej z nich występują dwie składowe spinowe, co daje łącznie osiem stanów bazowych. Oddziaływanie między tymi stanami pozwala modelowi opisywać zjawiska, których nie można opisać za pomocą niezależnych parabol, w szczególności mieszanie się pasm walencyjnych i zmiany krzywizny w zależności od wektora fal w płaszczyźnie.

2. Otwieranie przykładowego pliku z ośmioma pasmami.

W programie OghmaNano kliknij opcję „Nowa symulacja” na pasku narzędzi „Plik”. Kliknij dwukrotnie folder z przykładami GaAs (??). Wśród przykładów dotyczących struktur kwantowych kliknij dwukrotnie GaAs/AlGaAs QW 8 band k.p (??). Spowoduje to uruchomienie wstępnie skonfigurowanej symulacji; nie ma potrzeby ręcznego wprowadzania macierzy Hamiltona o wymiarach 8x8.

3. Struktura warstwy kwantowej i parametry materiałowe

Główne okno wyświetla trójwarstwową strukturę AlGaAs/GaAs/AlGaAs (??). Otwórz edytor warstw, klikając przycisk po lewej stronie. Dostarczony przykład składa się z dwóch barier AlGaAs o grubości 40 nm, otaczających warstwę GaAs o grubości 10 nm:

Obszary pasmowe GaAs znajdują się wewnątrz otaczającej szczeliny pasmowej AlGaAs, co zapewnia ograniczenie wzdłuż kierunku wzrostu warstwy. W edytorze warstw środkowa warstwa GaAs jest wyraźnie oznaczona jako studnia kwantowa (??). W tym przykładzie parametry materiałów optycznych i typy warstw są już skonfigurowane.

Rozwiązujący dla ośmiu pasm wymaga więcej danych o materiale niż model skalarny z parabolą opisującą pasmo: oprócz granic pasm i efektywnych mas, do hamiltonianu wprowadzane są parametry opisujące sprzężenie między pasmami, energię rozszczepienia oraz (w zależności od przypadku) naprężenia. Można sprawdzić funkcje GaAs za pomocą parametrów elektrycznych i edytora kodu materiału (??). Na zrzucie ekranu widać potencjały deformacji pasma walencyjnego b i d; nie ma potrzeby modyfikować ich w tym wstępnym etapie.

Jakie zmiany wprowadzono w sposobie obliczania wskaźnika opartego na ośmiu kategoriach?

Model paraboliczny przypisuje każdej strefie odrębną krzywiznę. Metoda k·p tworzy natomiast macierz, której elementy spoza głównej przekątnej łączą podstawowe stany. Schematycznie, problem związany z ograniczonymi stanami wygląda następująco:

\[ H_{8\times8}(k_x,k_y,-i\partial_z)\,\Psi_n(z) =E_n(k_x,k_y)\,\Psi_n(z). \]

Na rysunku \(z\) oznaczono kierunek ograniczenia; \(k_x\) i \(k_y\) opisują ruch równoległy do warstw. Funkcja falowa obwiedni \(\Psi_n\) ma osiem składowych, które opisują wkład poszczególnych stanów bazowych. W ramach tego samouczka skupimy się na obliczonych energiach, a nie na pełnej algebrze macierzowej. Szczegółowe wyjaśnienie można znaleźć w rozdziale teoria ośmiopasmowej struktury cynku.

4. Uruchamianie symulacji.

Wróć do zakładki „Plik” i kliknij niebieski przycisk „Uruchom symulację”. Ośmiopasmowy hamiltonian jest tworzony i rozwiązywany dla sekwencji wektorów fal w płaszczyźnie. Postęp obliczeń można śledzić na karcie „Terminal” (??).

Przedstawiony przykład pokazuje proces tworzenia rzadkiej macierzy, a następnie wyświetla energie stanów własnych oraz komunikaty, takie jak block converged after 12 iterations. Stany przewodnictwa i walencyjne są rozwiązywane oddzielnie dla kolejnych wektorów falowych. Należy poczekać, aż proces się zakończy i przycisk powróci do stanu „Uruchom symulację”, zanim przejdzie się do analizy wyników.

5. Zrozumienie obliczonej struktury pasmowej.

Program oblicza dyskretny zbiór ograniczonych stanów własnych dla każdego wektora fal w płaszczyźnie \(k_{\parallel}\). W związku z tym, na wykresie przedstawiona jest dyspersja podpasma, a nie profil krawędzi pasma w przestrzeni, wzdłuż warstw. Otwórz zakładkę „Wyniki” i sprawdź zawartość folderu bands lub otwórz podsumowujące pliki pasm wyświetlane w ??.

5.1 Podpasma przewodnictwa

Wykres pasma przewodnictwa (??) przedstawia dwie gałęzie skierowane ku górze. W punkcie \(k_{\parallel}=0\) pionowe oddzielenie wynika z różnych stanów kwantowych. Wzrost energii w punkcie \(k_{\parallel}\) odzwierciedla ruch równoległy do potencjału studni, w którym nośniki ładunku nie są ograniczone.

W pobliżu minimum pasma przewodnictwa, rozproszenie można przybliżyć za pomocą wyrażenia:

\[ E_n(k_{\parallel})\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m_{n,\parallel}^{*}}. \]

W modelu wielopasmowym jest to lokalne przybliżenie: krzywizna, a co za tym idzie, efektywna masa, nie muszą być stałe w całym analizowanym zakresie wektora fal. Na to zachowanie wpływa sprzężenie między pasmem przewodnictwa a pasmem walencyjnym.

5.2 Podpasma walencyjne: mieszanie i krzywizna

Schemat pasma walencyjnego jest bardziej interesujący (??). Dwie przedstawione na nim gałęzie rozpoczynają się przy różnych poziomach energii, wyginają się w dół i wydają się łączyć w skończonej wartości \(k_{\parallel}\). W pasmie walencyjnym struktury cynkowej stany związane z ciężkimi dziurami i lekkimi dziurami nie zachowują się jak dwie całkowicie niezależne parabole: przy skończonym wektorze fal, wyrazy w hamiltonianie mogą mieszać się, wpływając na ich charakter.

Przydatnym sposobem na wyrażenie tego jest rozważenie dwóch sąsiadujących stanów, które są ze sobą powiązane za pomocą elementu macierzowego \(V\):

\[ H_{\mathrm{illustrative}}= \begin{pmatrix}E_{\mathrm{HH}}(k)&V(k)\\ V^{*}(k)&E_{\mathrm{LH}}(k)\end{pmatrix}. \]

Jeśli dopuścimy możliwość ich połączenia, ich energie będą się odpychać w pobliżu punktu spotkania, a ich charakter HH/LH może zmieniać się między gałęziami. Możliwe jest również rzeczywiste krzyżowanie, w którym odpowiednie połączenie znika ze względu na symetrię. Sam ten zrzut ekranu nie pozwala na rozróżnienie tych przypadków: aby ustalić charakter stanu, należy przeanalizować odpowiednie wektory własne, a w razie potrzeby obliczyć więcej punktów w pobliżu pozornego punktu przecięcia. Powyższa macierz 2x2 jest jedynie ilustracją, a nie pełnym ośmiopasmowym hamiltonianem.

5.3 Analiza stanów przewodnictwa i walencyjności łącznie

Na przedstawionym wykresie (??) stany elektronowe i stany elektronów walencyjnych są umieszczone na wspólnej skali energii. W tym przykładzie stany elektronów walencyjnych znajdują się blisko punktu odniesienia energii, natomiast stany przewodnictwa, w których elektrony są ograniczone, znajdują się w okolicach 1,5 eV i powyżej. Różnica energii między daną parą stanów odpowiada energii fotonu, który może być emitowany podczas pionowego przejścia optycznego, przy czym uwzględniany jest odpowiedni element macierzowy optyczny oraz zajętość stanów przez nośniki ładunku.

Ponieważ pęd fotonu jest stosunkowo niewielki, dobrym pierwszym przybliżeniem jest założenie, że w wyniku przejścia optycznego zachowywany jest wektor falowy w płaszczyźnie:

\[ \hbar\omega=E_{c,n}(k_{\parallel})-E_{v,m}(k_{\parallel}), \qquad \lambda=\frac{hc}{\hbar\omega}. \]

Różne pary stanów elektronowych i dziur przyczyniają się do powstawania fal o różnych długościach. Wielopasmowe funkcje falowe określają również intensywność i polaryzację każdego przejścia, co wykracza poza to, co można odczytać jedynie z wartości energii.

6. Właściwości optyczne studni kwantowej

Obliczenia z wykorzystaniem ośmiu pasm dostarczają wartości energii elektronów i funkcje falowe dla stanów mieszanych, które są wykorzystywane w modelu optycznym. W przykładzie generowane są oddzielne widma dla emisji wymuszonej, absorpcji, wzmocnienia netto i emisji spontanicznej. Wielokrotne krzywe na każdym wykresie odpowiadają sekwencji warunków nośnikowych używanych w dostarczonym symulatorze; nie reprezentują one ośmiu oddzielnych pasm Hamiltona.

6.1 Emisja i absorpcja wymuszona

Emisja stymulowana zachodzi, gdy padający foton powoduje, że elektron przechodzi w stan o wyższej energii, emitując promieniowanie, przechodząc z wypełnionego pasma przewodnictwa do pustego pasma walencyjnego. Absorpcja jest procesem odwrotnym: elektron walencyjny absorbuje foton i przechodzi do dostępnego stanu w pasmie przewodnictwa. Schematycznie, ich współczynniki wypełnienia wynoszą:

\[ \begin{aligned} \text{stimulated emission:}&\quad f_c(1-f_v),\\ \text{absorption:}&\quad f_v(1-f_c). \end{aligned} \]

Krzywe emisji wymuszonej (??) i krzywe absorpcji (??) mają wspólne podstawowe energie przejścia, ale ich intensywność różni się w zależności od zmian w poziomie zajętości. W przedstawionych wynikach większość struktury widmowej znajduje się w zakresie 790–850 nm; dokładne cechy zależą od skonfigurowanych podpasm, elementów macierzowych, populacji nośników i rozszerzenia linii.

6.2 Zysk netto: występuje, gdy emisja przewyższa absorpcję.

Wykres zysku netto (??) łączy w sobie konkurencyjne procesy wzbudzonej emisji i absorpcji. Odjęcie od siebie prawdopodobieństw zajętości tych procesów daje szczególnie prosty wynik:

\[ f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c)=f_c-f_v. \]

W ten sposób przejście staje się procesem generującym zysk, gdy stan przewodnictwa, w którym uczestniczy, jest bardziej zapełniony niż odpowiadający mu stan elektronu walencyjnego. Ujemne wartości zysku netto wskazują na warunki, w których dominuje absorpcja; dodatnie wartości odpowiadają sytuacji, w której stymulowana emisja przewyższa absorpcję. Przedstawiony tutaj współczynnik zysku netto jest wynikiem optycznym uzyskanym dla struktury z warstwą kwantową; nie należy go automatycznie interpretować jako zysku modalnego dla całej rezonatora lasera, który zależy również od ograniczenia i innych strat optycznych.

6.3 Emisja spontaniczna

Spontaniczna emisja nie wymaga, aby przejściu sprzyjał padający foton. Zachodzi ona, gdy zajęty stan elektronowy rekombinuje radiacyjnie, przechodząc do dostępnego stanu walencyjnego. Odpowiadający temu współczynnik zajętości wynosi ponownie \(f_c(1-f_v)\), jednak spontaniczna i wymuszona emisja charakteryzują się różnymi współczynnikami spektralnymi i różnymi interpretacjami fizycznymi. Na wykresach w ?? zastosowano logarytmiczną skalę pionową; zatem równe odstępy pionowe nie oznaczają równych bezwzględnych wzrostów szybkości emisji fotonów.

Bardziej szczegółowe wyjaśnienie pojęć takich jak intensywność przejść, rodzaje zawodów związanych z daną dziedziną oraz poszerzenie linii widma można znaleźć na stronach poświęconych przejściom optycznym i teorii wzmocnienia.

7. Lokalizowanie plików wynikowych

Po zakończeniu symulacji wybierz opcję „Wyniki” w głównym oknie (??). Wśród wyświetlonych wyników znajdują się Ec.csv, Ev.csv i Ec_Ev.csv dla wykresów pasm, a także gain.csv, absorption.csv, net_gain.csv i spontaneous.csv. Dodatkowe wyniki obliczeń znajdują się w folderach bands i gain. Kliknij dwukrotnie plik CSV, aby otworzyć jego wykres w programie OghmaNano, lub wyeksportuj dane liczbowe do analizy w innym programie.

8. Wypróbuj to samodzielnie: porównaj wyniki z modelem parabolicznym.

W drugim eksperymencie zmień grubość warstwy GaAs z 10 nm na 8 nm, pozostawiając bez zmian grubość obu warstw barierowych AlGaAs (40 nm). Uruchom ponownie model i porównaj obliczone energie stanów własnych oraz zakres długości fal odpowiadający przejściom optycznym.