Zrozumienie teorii k·p: od parabolicznych pasm do wielopasmowych modeli.

Dlaczego potrzebujemy kolejnego modelu struktury pasmowej?

W naszym wprowadzeniu do pasm parabolicznych studni kwantowych przedstawiliśmy energię elektronu za pomocą prostej paraboli. Jej krzywizna była określana przez efektywną masę, co pozwalało nam przekształcić każdy zlokalizowany stan studni kwantowej w dwuwymiarową podpasmo elektronową. Jest to bardzo przydatne przybliżenie, szczególnie w pobliżu dolnej części prostego pasma przewodnictwa.

Jednak w rzeczywistym półprzewodniku występuje kilka pasm elektronowych. Mogą one znajdować się blisko siebie, odchylać się od parabolicznego kształtu i wzajemnie na siebie oddziaływać. Jest to szczególnie ważne w przypadku pasm walencyjnych, gdzie stany związane z ciężkimi dziurami, lekkimi dziurami i stanami rozszczepionymi nie zawsze można traktować jako niezależne cząstki o pojedynczej masie.

Metoda k·p stanowi sposób opisywania tych efektów bez konieczności ponownego obliczania pełnej struktury elektronicznej w skali atomowej dla każdego wektora falowego. Zaczynamy od analizy stanów elektronicznych w jednym, dobrze zbadanym punkcie w strukturze pasmowej kryształu, a następnie obliczamy, jak te stany zmieniają się wraz ze zmianą wektora falowego. Co najważniejsze, dopuszczamy możliwość oddziaływania różnych pasm elektronicznych.

Celem tej strony jest wyjaśnienie, skąd pochodzą równania k·p, dlaczego naturalnie pojawia się efektywna masa oraz w jaki sposób zbiór sprzężonych równań przekształca się w wielopasmowy hamiltonian, który jest wykorzystywany w programach do rozwiązywania problemów związanych z potencjałami kwantowymi.

Zaczynamy od elektronu w strukturze krystalicznej.

Rozważmy elektron poruszający się w krysztale półprzewodnika. Na początek zapiszmy dobrze znane równanie Schrödingera, niezależne od czasu:

\[ \hat H_0\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r), \qquad \hat H_0=\frac{\hat{\mathbf p}^{\,2}}{2m_0}+V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

W tym przypadku \(m_0\) oznacza zwykłą (masę elektronu swobodnego), \(\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla\) to operator pędu, a \(V_{\mathrm{crystal}}\) to potencjał, jaki odczuwa elektron ze względu na okresową strukturę atomów. Świadomie użyliśmy \(m_0\), a nie efektywnej masy półprzewodnika: na tym etapie wpływ kryształu nie został jeszcze uwzględniony w przybliżonej wartości masy.

Kluczową cechą idealnego kryształu jest to, że jego potencjał powtarza się w kolejnych komórkach elementarnych. Jeśli \(\mathbf R\) opisuje translację sieci krystalicznej, to:

\[ V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r+\mathbf R) =V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Moglibyśmy spróbować rozwiązać równanie Schrödingera bezpośrednio dla tego powtarzającego się potencjału, ale twierdzenie Blocha daje nam znacznie bardziej użyteczny sposób przedstawiania jego rozwiązań.

Twierdzenie Blocha: rozdzielenie funkcji falowej od struktury kryształu.

Twierdzenie Blocha mówi, że stan elektronowy w periodycznym krysztale można zapisać jako iloczyn płaskiej fali i funkcji, która powtarza się zgodnie z siecią krystaliczną.

\[ \boxed{ \Psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r) } \]

Oba elementy pełnią różne funkcje. Czynnik falowy opisuje, jak zmienia się ogólna faza podczas przemieszczania się przez kryształ. Funkcja \(u_{n\mathbf k}(\mathbf r)\) opisuje szczegółową strukturę fali w obrębie każdej komórki elementarnej i ma taką samą periodyczność jak kryształ:

\[ u_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) =u_{n\mathbf k}(\mathbf r). \]

Oznaczenie \(n\) wskazuje, o której strefie energii elektronowej mówimy, natomiast \(\mathbf k=(k_x,k_y,k_z)\) to wektor falowy kryształu. Wielkość \(\hbar\mathbf k\) nazywana jest pędem kryształowym. Jest ona ściśle związana z pędem, który wykorzystaliśmy w naszej wcześniejszej analogii dotyczącej piłki do krykieta, chociaż nie należy ich mylić w przypadku kryształu o strukturze periodycznej.

Oto pierwsze istotne uproszczenie: zamiast opisywać nową funkcję falową na poziomie atomowym w całej strukturze krystalicznej dla każdego \(\mathbf k\), możemy pracować z funkcjami o okresowej symetrii komórkowej \(u\). Metoda k·p bada, jak te funkcje i ich energie zmieniają się, gdy przesuwamy się o niewielką odległość w przestrzeni wektorów falowych.

Skąd wzięło się określenie „k·p”?

Podstawmy wyrażenie Blocha do równania Schrödingera. Gdy operator pędu działa na iloczyn funkcji falowej płaskiej i funkcji okresowej w komórce, otrzymujemy następujący wynik:

\[ \hat{\mathbf p}\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u\right) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \left(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\right)u. \]

Innymi słowy, oddziaływanie na funkcję Blocha jest równoważne zastąpieniu operatora pędu, działającego na \(u\), operatorem \(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\). Zastosowanie tego do członu energii kinetycznej i uproszczenie poprzez wyeliminowanie wspólnego czynnika falowego daje:

\[ \left[ \frac{(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k)^2}{2m_0} +V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r) \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}. \]

Poszerzenie kwadratu to kluczowy krok. Ponieważ \(\mathbf k\) jest parametrem, a nie pochodną przestrzenną, otrzymujemy:

\[ \boxed{ \left[ \hat H_0 +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p} +\frac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k} } \]

Pierwszy składnik to nasz pierwotny hamiltonian krystaliczny. Ostatni składnik to prosta kwadratowa energia. Środkowy składnik, \(\hbar\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p}/m_0\), jest tym, od którego pochodzi nazwa metody: k·p.

Z punktu widzenia fizyki, oznacza to, że oddalenie się od wybranego wektora falowego może prowadzić do mieszania się stanów elektronowych za pomocą operatora pędu. Aby zrozumieć, co to oznacza, musimy wybrać stany, pomiędzy którymi może zachodzić to mieszanie.

Wybór punktu odniesienia i podstawy

Struktury pasmowe półprzewodników są zwykle najbardziej interesujące w pobliżu minimum lub maksimum pasma. W przypadku półprzewodnika o bezpośredniej przerwie energetycznej, takiego jak GaAs, minimum pasma przewodnictwa i maksimum pasma walencyjnego występują w centrum strefy Brillouina, znanym jako punkt Gamma (\(\Gamma\)). W dalszych wyjaśnieniach będziemy się więc odnosić do punktu \(\mathbf k=0\). Tę samą ogólną zasadę można zastosować w odniesieniu do innego punktu odniesienia, gdy odpowiednie ekstremum pasma znajduje się w innym miejscu strefy Brillouina.

W punkcie \(\mathbf k=0\) składnik k·p znika. Załóżmy, że znamy już kilka okresowych stanów krystalicznych w tym punkcie:

\[ \hat H_0|u_{n0}\rangle=E_n(0)|u_{n0}\rangle. \]

Te znane stany stanowią podstawę naszych rozważań. Następnie stan o zbliżonym wektorze fal można opisać jako kombinację tych stanów:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =c_1|u_{10}\rangle+c_2|u_{20}\rangle+\cdots. \]

Współczynniki \(c_1,c_2,\ldots\) określają, w jakim stopniu poszczególne stany odniesienia wpływają na nowy stan. To właśnie one są kluczowe dla naszych obliczeń. Osiągamy to, wstawiając rozwinięcie do równania k·p i rzutując je na każdy stan bazowy.

W wyniku otrzymujemy równanie macierzowe. Jego elementy to:

\[ \boxed{ H_{nm}(\mathbf k) =\left[E_n(0)+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\right]\delta_{nm} +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm} } \]

\[ \mathbf p_{nm} =\langle u_{n0}|\hat{\mathbf p}|u_{m0}\rangle. \]

Symbol \(\delta_{nm}\) przyjmuje wartość 1, gdy etykiety dwóch pasm są identyczne, a w przeciwnym razie przyjmuje wartość 0. W konsekwencji, na przekątnej tej macierzy znajdują się referencyjne energie pasm oraz kwadratowe wyrazy związane z elektronami swobodnymi. Pozostałe elementy macierzy zawierają informacje o sprzężeniach pędu między różnymi pasmami.

Te elementy macierzy pędu są kluczowe dla teorii k·p. Jeśli wartość współczynnika sprzężenia wynosi zero, odpowiadające mu stany nie oddziałują ze sobą za pośrednictwem tego członu. Jeśli wartość ta jest znacząca, ich energie i funkcje falowe mogą ulegać istotnym zmianom w miarę oddalania się od punktu odniesienia.

Przykład: Co się dzieje, gdy dwa zespoły muzyczne współpracują?

Zanim rozważymy modele z ośmioma lub dziesięcioma pasmami, warto przyjrzeć się, jak działa model z dwoma pasmami. Wyobraźmy sobie, że zachowujemy tylko jeden stan w paśmie przewodnictwa i jeden stan w paśmie walencyjnym, odwołując się do energii referencyjnych \(E_c\) i \(E_v\). Różnica między nimi w punkcie odniesienia stanowi przerwę energetyczną, \(E_g=E_c-E_v\).

Dla jasności rozważać będziemy ruch wzdłuż jednego kierunku w strukturze krystalicznej, przy czym wektor falowy wynosi \(k\), a fazy naszych stanów bazowych dobierzemy tak, aby parametr sprzężenia \(P\) był liczbą rzeczywistą. Przykładowy hamiltonian ma postać:

\[ \boxed{ H(k)= \begin{pmatrix} E_c+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} & Pk\\[6pt] Pk & E_v+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \end{pmatrix} } \]

W tym przypadku \(P=\hbar\langle u_{c0}|\hat p|u_{v0}\rangle/m_0\) odpowiada wybranej osi. Zauważ, że dwa elementy poza główną przekątną znikają w punkcie \(k=0\), ale ich wartość rośnie wraz z oddalaniem się od punktu odniesienia. Zatem model nie opisuje dwóch niezależnych parabol: stany pasma przewodnictwa i pasma walencyjnego mogą się mieszać.

Aby uzyskać dopuszczalne wartości energii, rozwiązujemy problem dotyczący wartości własnych, tak jak robiliśmy to przy określaniu stanów skwantowanych w studni potencjału:

\[ H(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix} =E(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix}. \]

Zamiast określić jedną wartość energii, macierz 2x2 generuje dwie gałęzie energii. W tym uproszczonym przykładzie są to:

\[ E_{\pm}(k)= \frac{E_c+E_v}{2}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} \pm\sqrt{\left(\frac{E_g}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

W punkcie \(k=0\) obie wartości sprowadzają się do \(E_c\) i \(E_v\), zgodnie z oczekiwaniami. Wraz ze wzrostem \(k\), sprzężenie wpływa zarówno na wartości energii, jak i na mieszanie się podstawowych stanów. Ta zależność wyrażona pierwiastkiem kwadratowym pokazuje również, dlaczego sprzężona strefa nie musi zachowywać idealnie parabolicznego kształtu poza swoim punktem ekstremalnym.

Ćwiczenia praktyczne są ważniejsze niż zapamiętywanie tego wzoru: kształt pasma zależy nie tylko od energii samego pasma, ale również od jego oddziaływania z sąsiednimi pasmami.

Skąd bierze się efektywna masa?

W samouczku dotyczącym parabolicznej studni kwantowej wykorzystaliśmy efektywną masę jako parametr wejściowy. Obecny przykład z dwoma pasmami pozwala nam teraz zrozumieć, skąd się ona bierze. Bardzo blisko punktu \(k=0\) wynik dla pasma przewodnictwa można przybliżyć, rozwijając pierwiastek kwadratowy dla małych wartości \(k\):

\[ E_+(k)\simeq E_c+ \left(\frac{\hbar^2}{2m_0}+\frac{P^2}{E_g}\right)k^2. \]

Porównaj to z dobrze znanym nam równaniem parabolicznym:

\[ E(k)\simeq E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^{*}}. \]

Oba mają identyczny kształt matematyczny. Porównanie ich współczynników kwadratowych pozwala określić efektywną masę w tym uproszczonym modelu dwupasmowym:

\[ \boxed{ \frac{1}{m_e^{*}}= \frac{1}{m_0}+\frac{2P^2}{\hbar^2E_g} } \]

To jest przydatny wynik. Efektywna masa nie jest arbitralnym zamiennikiem masy elektronu. Pojawia się ona, ponieważ stan elektronu jest sprzężony z innymi pasmami elektronowymi wewnątrz kryształu. W tym konkretnym przykładzie, mniejsza przerwa energetyczna lub silniejsze sprzężenie prowadzi do większego zakrzywienia pasma przewodnictwa i mniejszej efektywnej masy.

Prawdziwy półprzewodnik ma wiele innych pasm energetycznych, a nie tylko te dwa, które rozważamy w naszym przykładzie. Jeśli potraktujemy ich sprzężenie jako niewielką perturbację, odpowiednia poprawka do energii pojedynczego pasma wynosi:

\[ E_n(\mathbf k)\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} +\frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\ne n} \frac{|\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm}|^2} {E_n(0)-E_m(0)}. \]

Każdy sąsiedni pas energetyczny wnosi swój wkład w zależności od siły sprzężenia i różnicy energii. Otrzymana krzywizna jest zazwyczaj zależna od kierunku, dlatego najdokładniejszy opis stanowi tensor efektywnej masy, a nie pojedyncza wartość skalarna. Skalarna efektywna masa jest odpowiednia, gdy symetria lub wybrana aproksymacja pozwalają nam traktować krzywiznę jako identyczną w interesujących nas kierunkach.

Istnieje jednak jedno istotne ograniczenie: przybliżenie perturbacyjne przestaje być wiarygodne, gdy mianownik jest mały, co oznacza, że dwa pasma energetyczne znajdują się blisko siebie. W takiej sytuacji lepiej jest uwzględnić oba pasma w hamiltonianie, zamiast ukrywać ich oddziaływanie w pojedynczej efektywnej masie.

Od hamiltonianu dwupasmowego do hamiltonianu wielopasmowego

Następny krok jest zasadniczo prosty. Zamiast zaczynać od zaledwie dwóch stanów kryształu, zachowujemy kilka istotnych stanów w naszej bazie:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =\sum_{n=1}^{N}c_n(\mathbf k)|u_{n0}\rangle. \]

W ten sposób otrzymujemy hamiltonian o wymiarach \(N\) x \(N\). Każdy element na przekątnej opisuje pasmo referencyjne i jego kwadratową korektę; każdy dozwolony element spoza przekątnej opisuje sprzężenie między dwoma stanami bazowymi. Rozwiązanie macierzy dla wybranego wektora falowego daje wszystkie wynikowe energie pasm oraz udział każdego stanu bazowego w odpowiadającym mu wektorze własnym.

Ma to szczególne znaczenie w paśmie walencyjnym. Stany odpowiadające ciężkim dziurom i lekkim dziurom mogą być zdegenerowane w centrum strefy Brillouina, a ich mieszanie nie może być wiernie odzwierciedlone przez przypisanie każdemu z nich niezależnej, stałej masy. Model wielopasmowy pozwala na naturalną interakcję między tymi stanami w miarę zmiany wektora falowego.

Musimy jeszcze zdecydować, które pasma zachować. Ogólna zasada polega na tym, aby zachować te stany, które są najbardziej istotne dla rozpatrywanych energii i właściwości fizycznych. Można przybliżenie uwzględnić sprzężenie z bardziej odległymi, wykluczonymi stanami, wprowadzając korekty do parametrów zachowanego hamiltonianu. Dlatego różne modele k·p mogą mieć różną liczbę pasm i różne parametry materiałowe.

Na przykład, powszechnie stosowany ośmiopasmowy model struktury cynkowej zachowuje stan przewodnictwa przypominający stan „s” oraz trzy stany orbitalne walencyjne przypominające stan „p”, z których każdy ma dwie składowe spinowe. Szczegółowy wybór funkcji bazowych, terminów symetrii i elementów macierzy jest wyjaśniony w naszym rozdziale funkcje bazowe i hamiltoniany oraz na stronach poświęconych konkretnym modelom materiałowym.

Dlaczego potrzebujemy koncepcji spinu i sprzężenia spinowo-orbitalnego?

Do tej pory nasz prosty przykład z dwoma pasmami nie uwzględniał spinu. Elektrony mają jednak dwie składowe spinu. Oznacza to, że każdy stan orbitalny musi być reprezentowany przez stany podstawowe odpowiadające spinowi skierowanemu w górę i w dół (lub przez odpowiedni, równoważny zestaw stanów spinowych).

Gdyby spin nie wpływał na energię, problem ten zasadniczo powtarzałby się. Prawdziwe kryształy półprzewodnikowe wykazują również sprzężenie spinowo-orbitalne, które łączy spin elektronu z jego ruchem w polu potencjału kryształu. W uproszczonym opisie Pauliego dodatkowy hamiltonian ma postać:

\[ \hat H_{\mathrm{so}}= \frac{\hbar}{4m_0^2c^2} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\nabla V_{\mathrm{crystal}}\times\hat{\mathbf p}\right), \]

gdzie \(c\) oznacza prędkość światła, a \(\boldsymbol{\sigma}\) – macierze Pauliego. Nie musimy tutaj wyprowadzać tego relatywistycznego członu; najważniejsze jest jego fizyczne następstwo. Właściwości spinowe i orbitalne przestają być niezależne, a pewne stany, które w innym przypadku miałyby tę samą energię, zaczynają się różnić.

W dobrze znanej strukturze półprzewodnika typu cynkowego, sprzężenie spinowo-orbitalne prowadzi do powstania trzech gałęzi pasma walencyjnego: gałęzi odpowiadającej ciężkim dziurom, gałęzi odpowiadającej lekkim dziurom oraz gałęzi oddzielonej energetycznie, której energia jest zwykle oznaczana jako \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Nie są to po prostu trzy niezależne parabole: ich charakter i wzajemne oddziaływanie zależą od wektora falowego i podstawowej symetrii kryształu.

Wyjaśnia to nazwę „ośmiopasmowy model k·p”: cztery stany bazowe orbitalne (jeden przewodzący i trzy walencyjne), z których każdy ma dwie składowe spinowe, tworzą ośmioparametrową bazę. Rzeczywisty hamiltonian uwzględnia dozwolone sprzężenia momentu i spinowo-orbitalne między nimi. Pełne obliczenia dla studni kwantowej, wykorzystujące ten model, przedstawiono w GaAs/AlGaAs – ośmiopasmowy model cynkowy k·p – instrukcja.

W jaki sposób przekształca się to w obliczenia dotyczące studni kwantowej?

Do tej pory opisywaliśmy kryształ o dużej objętości, w którym energia elektronów zmienia się w zależności od trójwymiarowego wektora falowego. Aby opisać studnię kwantową, musimy teraz wrócić do geometrii przedstawionej na poprzedniej stronie instruktażowej.

Załóżmy, że warstwy półprzewodnikowe rozciągają się równolegle do płaszczyzny \(x\)-\(y\) i są ułożone jedna na drugiej wzdłuż osi \(z\). Wektor falowy w płaszczyźnie, \(k_{\parallel}\), pozostaje użytecznym oznaczeniem, ponieważ struktura jest w przybliżeniu jednorodna wzdłuż warstw. Jednak elektron jest ograniczony w kierunku \(z\), dlatego musimy znaleźć rozwiązanie opisujące jego zmienność przestrzenną w obrębie warstwy.

Standardowe podejście oparte na funkcji obwiedni zastępuje wektor falowy odpowiadający kierunkowi wzrostu w hamiltonianie k·p przez operator różniczkowy:

\[ \boxed{k_z\;\longrightarrow\;-i\frac{d}{dz}} \]

Krawędzie pasm energetycznych i inne istotne parametry materiału mogą również zmieniać się w zależności od \(z\), co odzwierciedla różne warstwy półprzewodnikowe. Problem nie sprowadza się już do zwykłej, skończonej macierzy obliczanej dla jednego wektora falowego: jest to zestaw sprzężonych równań różniczkowych dla funkcji obwiedni w całym urządzeniu. Gdy parametry zmieniają się na granicach, kolejność operatorów i warunki dopasowania muszą być dobrane w sposób spójny, aby hamiltonian pozostawał fizycznie sensowny i hermitowski.

Najprostszy paraboliczny model rozwiązuje jedno skalowe równanie Schrödingera dla elektronu lub dziury. Zamiast tego, model wielopasmowy k·p rozwiązuje równania dla kilku sprzężonych składowych funkcji falowej. Otrzymane wartości własne określają dozwolone poziomy energii, natomiast odpowiadające im wektory własne wskazują, w jaki sposób poszczególne pasma przyczyniają się do każdego stanu.

Powtarzając obliczenia dla różnych wartości \(k_{\parallel}\), tworzymy strukturę podpasma w studni kwantowej. W przeciwieństwie do zbioru niezależnych parabol, te podpasma mogą się mieszać, przyjmować kształt inny niż paraboliczny i zmieniać swoje właściwości wraz ze wzrostem wektora fal w płaszczyźnie.

Co pozwala nam obliczyć dodatkowa wiedza z zakresu fizyki?

Zaletą obliczeń uwzględniających wiele pasm nie jest jedynie to, że generują one bardziej złożone wykresy pasm. Pozwalają one na uzyskanie bardziej realistycznego opisu stanów elektronowych, które biorą udział w procesach transportu i optycznych.

W naszym poradniku dotyczącym przejść optycznych przedstawiliśmy prawdopodobieństwo, że elektron przejdzie z zajętego stanu do stanu nieobsadzonego. Siła tego przejścia zależy od elementu macierzowego między początkową i końcową funkcją falową. Wielopasmowy wektor własny zawiera informacje o mieszanym charakterze orbitalnym i spinowym każdego stanu, co jest kluczowe przy obliczaniu kierunku i siły przejść optycznych.

Jest to szczególnie przydatne podczas badania przejść zależnych od polaryzacji, wzmocnienia optycznego, emisji spontanicznej oraz układów, w których występuje znaczne mieszanie się pasm walencyjnych. Szczegółowe elementy macierzy optycznych zależą od wybranego hamiltonianu i bazy, ale ich obliczenie przebiega w sposób naturalny, gdy tylko uzyskane zostaną sprzężone stany własne.

Modele k·p w OghmaNano.

OghmaNano oferuje kilka modeli dla różnych struktur półprzewodnikowych. Wszystkie opierają się na ogólnej metodologii k·p, opracowanej w ramach tego projektu, ale różnią się pod względem stanów elektronowych i wykorzystują parametry materiałowe odpowiednie dla każdego układu krystalicznego.

• Ośmiopasmowy model k·p dla struktury cynkowej obejmuje stany przewodnictwa oraz stany walencyjne o charakterze „p”, a także sprzężenie spinowe i sprzężenie spinowo-orbitalne.
• Dziesięciopasmowy model k·p dla struktury cynkowej zachowuje rozszerzoną bazę elektronową dla problemów wymagających uwzględnienia dodatkowych sprzężonych stanów.
• Osiem-pasma wurtzytowa metoda k·p wykorzystuje symetrię i parametry pasmowe właściwe dla kryształów wurtzytu.

następny rozdział przedstawia rzeczywiste stany podstawowe i wyjaśnia, w jaki sposób są one uporządkowane w macierzach Hamiltona, które wykorzystują te algorytmy.