Hamiltonian dla szczepu Bir–Pikus.

Naprężenie odkształca potencjał kryształu, a zatem przesuwa i miesza pasma walencyjne. Hamiltonian Bir–Pikus jest odpowiednikiem hamiltonianu kinetycznego k·p dla pasm walencyjnych, uwzględniającym naprężenia: ma dokładnie taką samą strukturę, przy czym składniki naprężeń zastępują iloczyny wektorów falowych. OghmaNano implementuje go w dwóch równoważnych postaciach – zwartej postaci \(P, Q, R, S\) dla solvera Luttingera–Kohna oraz w postaci jawnej, kartezjańskiej, dla solverów 8-pasmowych.

1. Układ liter P, Q, R, S

W przestrzeni stanów, w której zmienną jest całkowity moment pędu, hamiltonian opisujący odkształcenia warstwy jest konstruowany na podstawie czterech wielkości. Wykorzystując potencjały odkształceń \(a_v\) (hydrostatyczny) i \(b, d\) (ścinający), program OghmaNano oblicza

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

gdzie \(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\) oznacza; \(P\) to hydrostatyczna zmiana średniej wartości pasma walencyjnego; \(Q\) to dwuosiowy rozszczepienie ciężkich i lekkich dziur; a \(R, S\) to składowe związane z odkształceniem ścinającym, które zanikają dla nieodkształconego stanu [001]. Te cztery wielkości związane z odkształceniem są dodawane bezpośrednio do energii kinetycznej \(P, Q, R, S\) hamiltonianu Luttingera–Kohna, tak aby ta sama macierz \(6\times6\) opisywała zarówno energię kinetyczną, jak i fizykę odkształceń.

2. Układ współrzędnych kartezjańskich X/Y/Z

Osimiopasmowy model struktura cynkowa działa w oparciu o ortogonalne orbitale, dlatego OghmaNano opisuje te same zjawiska fizyczne, co macierz \(3\times3\) działająca na \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\):

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

Przekątna łączy przesunięcie hydrostatyczne \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) z członem osiowym \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\); pozadiagonalne człony ścinające \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) znikają dla dwuosiowego odkształcenia [001]. Potencjał odkształceń nie zależy od spinu, dlatego OghmaNano stosuje ten sam blok \(3\times3\) do orbitali walencyjnych o spinie skierowanym w górę i w dół.

3. Dlaczego obie formy są zgodne ze sobą.

Formy kartezjańska i \(P, Q, R, S\) są powiązane tą samą transformacją unitarną, która łączy orbitale \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) ze stanami \(|J,m_j\rangle\). Na przykład, kartezjańska różnica po przekątnej \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\) jest dokładnie równa \(-2Q\) przy \(Q\), jak zdefiniowano powyżej, a elementy odpowiadające za odkształcenia odwzorowują się na \(R\) i \(S\). Obie formy wykorzystują te same trzy potencjały odkształceń i dają identyczne energie walencyjne; wybór zależy wyłącznie od wygody i sposobu, w jaki dany algorytm je wykorzystuje.

4. Potencjały deformacji

Trzy parametry określają reakcję na naprężenia związane z wiązaniem chemicznym. Potencjał hydrostatyczny \(a_v\) określa, jak średnia energia wiązania zmienia się wraz z objętością; w połączeniu z potencjałem przewodnictwa \(a_c\) daje potencjał deformacji przerwy energetycznej \(a = a_c - a_v\). Potencjał osiowy \(b\) kontroluje tetragonalne (biaxialne) rozszczepienie ciężkich i lekkich dziur pod wpływem naprężenia w kierunku [001], a \(d\) kontroluje reakcję na naprężenia ścinające w innych kierunkach. Wszystkie trzy parametry wyrażone są w jednostkach energii (eV) i zazwyczaj mają wartości ujemne dla pasma walencyjnego. Ich wartości i konwencje znaków omówione są na stronie material-parameters.