☰
OghmaNano zawiera zestaw algorytmów do obliczania właściwości półprzewodników, w tym algorytmy do modelowania struktury pasmowej, studni kwantowych oraz algorytmy k·p, które służą do obliczania stanów elektronowych zarówno w dwuwymiarowych studniach kwantowych, jak i w materiałach półprzewodnikowych. Modele te pozwalają na obliczenie stanów elektronów i dziur w ograniczonych obszarach, rozkładu pasm elektronowych, funkcji falowych, mieszania pasm oraz elementów macierzowych optycznych. Można je również łączyć z obliczeniami dotyczącymi absorpcji światła, emisji spontanicznej i wymuszonej, wzmocnienia, rozpraszania nośników i ruchliwości.
Dostępnych jest wiele różnych modeli struktury pasmowej, przeznaczonych do analizy różnych materiałów półprzewodnikowych i struktur krystalicznych:
Dzięki połączeniu tych modeli, OghmaNano może obliczać zarówno dwuwymiarowe podpasma kwantowych studni, jak i trójwymiarowe struktury pasm półprzewodników. W przypadku kwantowych studni nośniki ładunku są ograniczone wzdłuż kierunku wzrostu, ale mogą swobodnie poruszać się równolegle do warstw. W wielopasmowych obliczeniach opartych na metodzie k·p, wektor fal w kierunku wzrostu jest zastępowany operatorem funkcji obwiedni.
\[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \]
Otrzymane w ten sposób sprzężone równania są rozwiązywane dla całej heterostruktury półprzewodnikowej. Powtarzając obliczenia w zależności od wektora fal w płaszczyźnie, otrzymujemy dwuwymiarową dyspersję podpasma. Modele objętościowe, takie jak solver dla perowskitów, rozwiązują natomiast bezpośrednio hamiltonian w zależności od trójwymiarowego wektora fal \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).
Obliczone wartości własne i wektory własne dostarczają więcej informacji niż tylko diagram pasmowy. Stanowią one punkt wyjścia do symulacji przejść optycznych, absorpcji, emisji spontanicznej, emisji wymuszonej i wzmocnienia optycznego, a także rozpraszania nośników, czasów relaksacji i ruchliwości, o ile jest to możliwe. Dzięki tym możliwościom, algorytmy obliczające strukturę pasmową mogą być stosowane do modelowania laserów półprzewodnikowych, diod LED, fotodetektorów, heterostruktur z warstwami kwantowymi, półprzewodnikowych kanałów o wysokiej ruchliwości, urządzeń silikonowych/SiGe oraz materiałów perowskitowych na bazie halogenków metali, wykorzystywanych w ogniwach słonecznych i diodach emitujących światło.
Aby zapoznać się z podstawowymi zasadami fizyki, na których opiera się to zagadnienie, należy zapoznać się z materiałami struktury półprzewodnikowe z warstwami kwantowymi i ograniczenie nośników oraz wprowadzenie do teorii k·p.
Obliczenie elektronicznej struktury pasmowej to dopiero pierwszy etap symulacji. Gdy znane są energie i funkcje falowe stanów elektronicznych, OghmaNano może wykorzystać te dane do obliczenia różnych właściwości optycznych i parametrów związanych z transportem ładunku. Należą do nich absorpcja światła, emisja spontaniczna i wymuszona, wzmocnienie optyczne, częstości rozpraszania fononów, czasy relaksacji nośników i ruchliwość nośników ładunku.
Podstawowa zasada, na której opierają się te obliczenia, jest taka sama: nośnik przechodzi z początkowego stanu elektronicznego do stanu końcowego, a prawdopodobieństwo tego przejścia jest określane przez oddziaływanie między tymi dwoma stanami. W przypadku słabych oddziaływań zjawisko to opisuje złote prawo Fermiego.
\[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \]
Hamiltonian oddziaływania \(\hat H_{\mathrm{int}}\) zależy od rozpatrywanego procesu fizycznego. W przypadku przejścia optycznego opisuje on oddziaływanie między stanami elektronowymi a polem elektromagnetycznym. W przypadku rozpraszania nośników może natomiast opisywać oddziaływania z drganiami sieci krystalicznej, w tym z fononami akustycznymi lub fononami optycznymi podłużnymi (LO). Obliczona struktura pasmowa stanowi zatem wspólną podstawę elektroniczną, na której można określić zarówno właściwości optyczne, jak i właściwości transportowe.
W celu przeprowadzania obliczeń optycznych, OghmaNano łączy obliczone stany pasma przewodnictwa i pasma walencyjnego z ich elementy macierzy optycznej oraz zawody związane z transportem. Następnie można zsumować przejścia między stanami zajętymi i nie zajętymi w obrębie obliczonej struktury pasmowej, aby uzyskać absorpcja, wzbudzona emisja, wypadkowe wzmocnienie optyczne i spontaniczna emisja.
Ponieważ wektory własne wielopasmowej metody k·p zawierają informacje o charakterze orbitalnym i spinowym każdego stanu, obliczenia optyczne mogą wykraczać poza zwykłe dopasowywanie poziomów energii. Mieszanie pasm zmienia elementy macierzowe przejścia, a tym samym siłę odpowiedzi optycznej. W anizotropowych układach, takich jak półprzewodniki typu wurtzyt, umożliwia to również oddzielne traktowanie optycznych przejść spolaryzowanych w płaszczyźnie TE i TM.
Stany elektroniczne można również wykorzystać do obliczenia prawdopodobieństwa rozpraszania nośnika ładunku z jednej części struktury pasmowej do drugiej. W zależności od materiału i modelu, OghmaNano może uwzględniać takie mechanizmy, jak: rozpraszanie na fononach akustycznych i Efekt Fröhlicha – rozpraszanie na polarnych fononach optycznych Procesy te decydują o czasie życia nośników ładunku, relaksacji pędu, a ostatecznie o ruchliwości nośników ładunku.
Rozpraszanie Fröhlicha ma szczególne znaczenie w polarnych półprzewodnikach, takich jak GaAs, InP, GaN i metaloorganiczne perovskity. Podłużny fonon optyczny generuje oscylujące pole polaryzacji, które oddziałuje z elektronem lub dziurą. Siłę tego oddziaływania opisuje element macierzowy Fröhlicha.
\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]
W tym wzorze \(q\) oznacza wektor falowy fononu, \(\omega_{LO}\) – częstotliwość kątową fononu LO, a \(\varepsilon_\infty\) i \(\varepsilon_s\) opisują odpowiednio elektroniczne i elektrostatyczne tłumienie dielektryczne materiału. Zależność \(1/q\) odzwierciedla dalekozasięgowy charakter oddziaływania polarnego.
Wykorzystując złotą regułę Fermiego i całkując po wszystkich dostępnych stanach końcowych, otrzymujemy szybkość rozpraszania nośników. Na przykład, w przypadku absorpcji fononów LO...
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \]
Funkcja delta Diraca zapewnia zachowanie energii, natomiast całkowanie w zakresie \(\mathbf{q}\) sumuje wektory fal fononów, które mogą połączyć początkowy i końcowy stan elektronowy. Emisja fononów LO jest obliczana w ten sam sposób, z tą różnicą, że nośnik traci energię \(\hbar\omega_{LO}\). Z kolei rozpraszanie na fononach akustycznych opisuje oddziaływania z drganiami sieci krystalicznej o niższej energii, związane z odkształceniem sprężystym kryształu.
Proces rozpraszania niekoniecznie powoduje całkowitą utratę kierunkowego pędu nośnika. Na przykład, rozpraszanie w kierunku do przodu zmienia jedynie nieznacznie kierunek ruchu nośnika, natomiast rozpraszanie wsteczne silnie przeciwdziała przepływowi prądu elektrycznego. W obliczeniach dotyczących transportu OghmaNano może zatem wykorzystać współczynnik relaksacji pędu, zamiast po prostu stosować odwrotność całkowitego współczynnika rozpraszania.
Po obliczeniu czasu relaksacji nośników w całej strukturze pasmowej, można określić ruchliwość, obliczając średnią wartość prędkości i właściwości rozpraszania stanów elektronowych, które biorą udział w transporcie. W ramach przybliżenia czasu relaksacji,
\[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \]
Prędkość nośników ładunku można bezpośrednio wyznaczyć na podstawie obliczonej zależności dyspersji elektronowej.
\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]
Dzięki temu obliczona struktura pasmowa jest bezpośrednio powiązana z mierzalnym eksperymentalnie parametrem transportowym. Zamiast zakładać pojedynczą, stałą efektywną masę i czas rozpraszania, obliczenia mogą uwzględniać sposób, w jaki prędkość nośników ładunku i czas rozpraszania zmieniają się w różnych pasmach elektronowych.
W przypadku kwantowych studni Si/SiGe, OghmaNano może obliczać rozpraszanie na fononach akustycznych oraz dwuwymiarową ruchliwość elektronów lub dziur, wykorzystując model doliny Δ krzemu i model Luttingera-Kohna. W przypadku objętościowych metalohalogenkowych perowskitów, obliczoną ośmiopasmową strukturę elektronową można połączyć z rozpraszaniem elektronów na fononach Fröhlicha, aby uzyskać czasy relaksacji nośników i ruchliwość ograniczoną przez fonony.
Przykładowe rozwiązania można znaleźć w następujących materiałach: przewodnik dotyczący mobilności elektronów w Si/SiGe, przewodnik dotyczący mobilności dziur w Si/SiGe oraz przewodnik dotyczący struktury pasmowej i mobilności perowskitów.
Przykłady dostarczane wraz z OghmaNano stanowią gotowe punkty wyjścia dla każdego modelu struktury pasmowej. W przypadku obliczeń optycznych dotyczących struktur wielowarstwowych, przykład GaAs/AlGaAs – ośmiopasmowy model k·p demonstruje obliczanie podpasem elektronowych, absorpcji, emisji wymuszonej, wzmocnienia optycznego i emisji spontanicznej.
W przypadku obliczeń dla dużych próbek, w materiale perovskit – struktura pasmowa i przewodność przedstawiono, jak obliczać pasma elektronowe materiałów CsPbX3 i MAPbX3 oraz jak wykorzystać uzyskane wyniki do obliczenia rozpraszania Fröhlicha i ruchliwości nośników ładunku.
Dodatkowe informacje teoretyczne można znaleźć w następujących źródłach: przewodnik po teorii k·p, teoria przejść optycznych i teoria rozpraszania Fröhlicha.
Na początek, aby zapoznać się z pojęciem kwantowego uwięzienia, warto przeczytać artykuł o kwantowych studniach i uwięzieniu nośników. Samouczek o parabolicznych pasmach przedstawia najprostszy model kwantowej studni, natomiast Przewodnik po teorii k·p wyjaśnia, w jaki sposób kilka pasm elektronowych jest sprzężonych w wielopasmowym hamiltonianie.
Jako dobry punkt wyjścia, warto zapoznać się z materiałami: GaAs/AlGaAs – ośmiopasmowy model k·p lub opis struktury pasmowej i przewodności materiałów perowskitowych.
Zapoznaj się z narzędziami do modelowania struktur kwantowych i pasm energetycznych.
Rozpocznij od zapoznania się z wprowadzeniem do koncepcji studni kwantowej, przeczytaj przewodnik po teorii k·p lub uruchom samouczek dotyczący parabolicznej studni kwantowej GaAs/AlGaAs.