Struktura wielowarstwowa GaN/AlGaN: przewodnik po modelu k·p z uwzględnieniem ośmiu pasm energetycznych w strukturze wurtzytu.
1. Wprowadzenie
W tym samouczku obliczymy stany elektroniczne i właściwości optyczne struktury GaN, składającej się z warstwy kwantowej umieszczonej pomiędzy dwiema barierami AlGaN, wykorzystując ośmiopasmowy model wurtzytowy k·p dostępny w programie OghmaNano. Przykład dotyczy warstwy GaN o grubości 10 nm oraz dwóch warstw AlGaN o grubości 20 nm. Najpierw uruchomimy dostarczony przykład, a następnie przeanalizujemy rozkład podpasma przewodnictwa i walencyjnego oraz uzyskane widma optyczne.
W tym przypadku istotne jest rozróżnienie między wurtzytem a cynkiem. Oba to półprzewodnikowe struktury krystaliczne, ale w wurtzycie preferowana jest heksagonalna oś c. Różna symetria kryształu wpływa na rozszczepienie pasma walencyjnego, sprzężenie między stanami elektronicznymi oraz siłę polaryzacji światła w różnych kierunkach. W konsekwencji, ośmiopasmowe obliczenia dla struktury cynkowej nie mogą być po prostu wykorzystane z parametrami materiałowymi dla azotku galu (GaN).
2. Otwieranie przykładowego pliku w formacie wurtzytu z ośmioma pasmami.
Na pasku narzędziowym „Plik” kliknij opcję „Nowa symulacja”. W wyświetlonym oknie kliknij dwukrotnie pozycję „Przykłady GaAs” (??). Pomimo nazwy kategorii, zawiera ona również przykłady dotyczące struktur kwantowych z azotku i krzemu. W następnym oknie kliknij dwukrotnie pozycję „GaN Wurtzite 8 band k.p” (??). Spowoduje to otwarcie przygotowanego zestawu materiałów i wybranie odpowiedniego przykładu.
3. Kontrola struktury warstwy kwantowej GaN/AlGaN.
Główne okno wyświetla strukturę składającą się z trzech warstw (??). W rzeczywistych obliczeniach dotyczących studni kwantowej, ograniczenie występuje wzdłuż grubości tej warstwy: funkcje falowe elektronów zmieniają się w różnych warstwach, natomiast wykresy dyspersji opisują ruch równoległy do tych warstw.
Kliknij ikonę „Edytor warstw” na lewym pasku narzędzi. Jak pokazano na ilustracji ??, w przykładzie zastosowano następującą geometrię:
| Warstwa | Grubość | Typ |
|---|---|---|
| AlGaN | 20 nanometrów | Aktywny / barierowy |
| GaN (struktura wielowarstwowa) | 10 nanometrów | Studnia kwantowa |
| AlGaN | 20 nanometrów | Aktywny / barierowy |
Na początek pozostaw ustawienia parametrów materiału bez zmian. Zrzut ekranu pokazuje grubości warstw, ale nie wyświetla zawartości molowej aluminium, konfiguracji naprężeń ani parametrów polaryzacji; przed użyciem tych ustawień do modelowania konkretnej próbki eksperymentalnej należy je sprawdzić w ustawieniach materiału w przykładzie.
4. Dlaczego warto stosować ośmiopasmowy hamiltonian Wurtzite'a?
Prosty model paraboliczny przypisuje każdemu nośnikowi efektywną masę i zakłada, że jego energia zmienia się w przybliżeniu proporcjonalnie do kwadratu wektora falowego w płaszczyźnie materiału. Jest to użyteczne w pobliżu ekstremum pasma energetycznego, ale nie pozwala opisać, w jaki sposób różne stany walencyjne mieszają się ze sobą, gdy wektor falowy rośnie. W materiałach o strukturze wurtzytu heksagonalne otoczenie krystaliczne odróżnia również ruch i polaryzację światła wzdłuż osi c od tych w płaszczyźnie prostopadłej.
W modelu ośmiopasmowym zachowuje się orbital o charakterze przewodzącym oraz trzy orbitale o charakterze walencyjnym, z których każdy ma dwie składowe spinowe. Koncepcyjnie, stan własny ma postać:
\[ \Psi_{n,\mathbf{k}_{\parallel}}(\mathbf{r})= e^{i\mathbf{k}_{\parallel}\cdot\mathbf{r}_{\parallel}} \sum_{\alpha=1}^{8}F_{n\alpha}(z)u_{\alpha}(\mathbf{r}), \]
gdzie funkcje \(F_{n\alpha}(z)\) opisują ograniczenie w obrębie studni potencjału, a \(u_\alpha\) to osiem bazowych stanów Blocha. Zatem dany ograniczony stan może składać się z wkładów pochodzących z więcej niż jednej orbitali pasma walencyjnego; dlatego opisanie każdej kolorowej krzywej za pomocą pojedynczej, stałej etykiety odpowiadającej ciężkiej lub lekkiej dziurze może być mylące, zwłaszcza gdy analizujemy obszar oddalony od krawędzi pasma.
Uporządkowanie pasma walencyjnego w strukturze wurtzytu jest modyfikowane przez oddziaływania związane z polem krystalicznym i sprzężeniem spinowo-orbitalnym. W skróconej notacji obliczenia rozwiązują równanie:
\[ H_{8\times8}\!\left(k_x,k_y,-i\frac{\partial}{\partial z}\right) \mathbf{F}_n(z)=E_n(\mathbf{k}_{\parallel})\,\mathbf{F}_n(z). \]
Zwróć uwagę, że wektor falowy w płaszczyźnie jest wyraźnie zachowywany, natomiast wektor falowy związany z kierunkiem wzrostu jest zastępowany operatorem różniczkowym. Powtarzając to równanie własnościowe dla różnych wartości \(k_{\parallel}\), otrzymujemy przedstawione poniżej wykresy zależności energii od wektora falowego dla poszczególnych podpasm. Bardziej szczegółowe omówienie podstaw, członów pola krystalicznego i współczynników materiałowych znajduje się w rozdziale teoria k·p dla struktury wurtzytu.
5. Uruchom symulację.
Wróć do zakładki „Plik” i naciśnij „Uruchom symulację”. Otwórz zakładkę „Terminal”, aby śledzić postęp. W oknie ?? terminal identyfikuje solver WZ KP8, informuje o tworzeniu macierzy rzadkiej, wyświetla informacje o zbieżności i przechodzi do kolejnych wektorów falowych. Oddzielnie rozwiązuje równania dla stanów elektronowych i walencyjnych w każdym punkcie.
Ponieważ mamy do czynienia z wieloskładnikowym problemem opisywanym za pomocą funkcji obwiedni, jego rozwiązanie jest bardziej złożone niż rozwiązywanie niezależnych, skalarnych równań parabolicznych dla każdej z warstw. Należy odczekać, aż solver obliczający wartości własne i kolejne obliczenia optyczne zostaną zakończone, zanim przejdzie się do analizy uzyskanych plików.
5.1. Kontrola wartości sił przejścia optycznych.
W dalszej części procesu symulacji, program wyświetla wartości parametrów macierzy optycznej (??). W przypadku standardowej struktury wurtzytu o orientacji c, TE odnosi się do optycznego pola elektrycznego prostopadłego do osi c, natomiast TM do jego składowej równoległej do tej osi. Niekoniecznie musi istnieć równa zależność między tymi polaryzacjami a danym przejściem elektronowym.
Przydatnym sposobem na zrozumienie siły oddziaływania optycznego jest analiza kwadratu elementu macierzowego przejścia:
\[ M_{cv}^{(\mathbf{e})}(\mathbf{k}_{\parallel})= \left\langle\Psi_{c,\mathbf{k}_{\parallel}}\middle| \mathbf{e}\!\cdot\!\mathbf{p}\middle| \Psi_{v,\mathbf{k}_{\parallel}}\right\rangle, \qquad S_{cv}^{(\mathbf{e})}\propto\left|M_{cv}^{(\mathbf{e})}\right|^2. \]
W tym miejscu \(\mathbf{e}\) określa polaryzację światła, a \(\mathbf{p}\) to operator pędu. Stan może występować w strukturze pasm elektronowych, ale w niewielkim stopniu wpływać na określoną polaryzację optyczną, jeśli jego element macierzowy jest mały. Stosunek wartości TE/TM na zakończeniu obwodu dostarcza zatem dodatkowych informacji fizycznych, wykraczających poza same położenia poziomów energii.
6. Zrozumienie obliczonych struktur pasm elektronowych
Pozioma oś każdego wykresu przedstawiającego pasmo energetyczne odpowiada wektorowi fal w płaszczyźnie \(k_{\parallel}\), a nie położeniu wewnątrz warstwy kwantowej. Pionowa oś przedstawia energię ograniczonego podpasma. W punkcie \(k_{\parallel}=0\) każda krzywa rozpoczyna się w jednym z dyskretnych poziomów energii. Przesunięcie w prawo pokazuje, jak ten sam stan elektronowy rozprasza się, gdy nośnik porusza się równolegle do warstw.
6.1 Stany w paśmie przewodnictwa
Otwórz okno wyjściowe odpowiadające pasmu przewodnictwa i przeanalizuj rozkład w ??. Widocznych jest kilka skwantowanych poziomów, zaczynających się przy różnych energiach w pobliżu krawędzi pasma GaN. Dla małych wektorów fal, użytecznym przybliżeniem dla podpasma przewodnictwa jest:
\[ E_{c,n}(k_{\parallel})\simeq E_{c,n}(0) +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}}. \]
Termin \(E_{c,n}(0)\) zawiera energię związaną z ograniczeniem, natomiast \(m_{e,\parallel}^{*}\) opisuje reakcję nośnika na ruch w płaszczyźnie. Ta zależność pomaga wyjaśnić przybliżony wzrost krzywych, chociaż pełne obliczenia z uwzględnieniem ośmiu pasm zachowują sprzężenie między pasmami, zamiast narzucać stały, paraboliczny kształt.
6.2 Stany w paśmie walencyjnym
Schemat pasma walencyjnego (??) jest bardziej złożony. Jego górna gałąź początkowo wznosi się, oddalając od \(k_{\parallel}=0\), po czym zaczyna się wyginać w dół; kilka dolnych gałęzi wykazuje wyraźnie odmienne krzywizny. Takie kształty są możliwe w sprzężonym modelu pasma walencyjnego w strukturze wurtzytu, w którym oddziaływanie pola krystalicznego, sprzężenie spinowo-orbitalne, ograniczenie przestrzenne i mieszanie się pasm działają wspólnie.
Należy unikać interpretowania tej zależności jako dowodu na to, że każda kolorowa krzywa ma stałą tożsamość w zakresie pasm A, B lub C w całym zakresie wektorów falowych. Aby dokonać jednoznacznej identyfikacji, należy przeanalizować wpływ poszczególnych składowych wektorów własnych. Podobnie, nietypowe ekstrema oddalone od środka warto porównać z wybranymi parametrami materiału i odkształcenia, jeśli model jest wykorzystywany w sposób ilościowy.
7. Przejścia optyczne, emisja wymuszona i absorpcja.
Elektroniczne pasma określają energie możliwych przejść optycznych, ale siła tych przejść zależy również od funkcji falowych elektronów i dziur, polaryzacji oraz zajętości stanów przez nośniki ładunku. Dla danego wektora fal w płaszczyźnie, energia fotonu dla przejścia wertykalnego wynosi
\[ \hbar\omega=E_{c,n}(\mathbf{k}_{\parallel}) -E_{v,m}(\mathbf{k}_{\parallel}). \]
Zasada Fermiego wyjaśnia, dlaczego elementy macierzowe optyczne, które pojawiają się na końcu obliczeń, mają znaczenie. W uproszczonej formie, szybkość przejścia wynosi:
\[ W_{v\rightarrow c}^{(\mathbf{e})}= \frac{2\pi}{\hbar}\left|H_{cv}^{\prime(\mathbf{e})}\right|^2 \delta\!\left(E_c-E_v-\hbar\omega\right). \]
Element macierzy zaburzeń \(H'_{cv}\) zależy od polaryzacji światła i biorących udział stanów. Funkcja delta narzuca zachowanie energii; podczas tworzenia praktycznego widma sumuje się wkłady dozwolonych przejść dla wszystkich badanych stanów, a następnie rozszerza się je. Czynniki wypełnienia pasma przewodnictwa określają, czy w danym zakresie długości fali dominuje absorpcja, czy też emisja wymuszona. Wygodnym schematycznym czynnikiem wypadkowym jest \(f_c-f_v\), gdzie \(f_c\) i \(f_v\) oznaczają odpowiednio wypełnienie pasma przewodnictwa i pasma walencyjnego przez elektrony.
Ponieważ warstwa azotku galu charakteryzuje się szerokim zakresem energii, jej obliczone widma występują w zakresie bliskiej ultrafioletu, głównie w okolicach 330–370 nm, jak pokazano w przykładzie. Długość fali i energia fotonu są powiązane wzorem \(E_{\gamma}=hc/\lambda\).
7.1 Emisja wymuszona i całkowite wzmocnienie
Wykres przedstawiający wzmocnioną emisję (??) zawiera zestaw spektrów dla różnych warunków pracy. Obliczenia dotyczące całkowitego wzmocnienia (??) uwzględniają konkurencję między emisją a absorpcją. Dodatnie wzmocnienie materiału wskazuje na amplifikację w ramach tego modelu elektronicznego, ale samo w sobie nie dowodzi, że kompletna rezonatorowa struktura lasera osiągnęła próg wzmocnienia: należy również uwzględnić współczynnik ograniczenia i straty rezonatora.
7.2 Wchłanianie
Wyniki pomiarów absorpcji przedstawiono w ??. Kształt i właściwości spektralne tych wyników zależą od różnic między zajętymi stanami walencyjnymi i dostępnymi stanami przewodnictwa, przy czym uwzględniane są elementy macierzowe optyczne. W strukturze typu wurtzytu odpowiadające sobie widma TE i TM mogą się różnić, ponieważ zawartość orbitalna danego stanu decyduje o sile jego sprzężenia z każdą polaryzacją.
Charakterystyczne elementy widoczne na tych widmach są wynikiem zastosowanego modelu i efektu poszerzenia. Nie należy ich automatycznie utożsamiać z konkretnymi szczytami eksytonowymi: pojedyncze obliczenia k·p dotyczące przejść między pasmami nie stanowią same w sobie pełnej analizy eksytonów związanych oddziaływaniami Coulomba między elektronami i dziurami.
8. Emisja spontaniczna
W przeciwieństwie do emisji wymuszonej, emisja spontaniczna zachodzi bez udziału padającego fotonu inicjującego przejście. Zależy ona od obecności elektronu w stanie przewodnictwa oraz wolnego miejsca w paśmie walencyjnym (dziury). W związku z tym, jej współczynnik zajętości elektronowej jest proporcjonalny do
\[ R_{\mathrm{sp}}(\omega)\ \propto\ \sum_{c,v,\mathbf{k}_{\parallel}} \left|M_{cv}(\mathbf{k}_{\parallel})\right|^2 f_c(1-f_v)\,L\!\left(E_c-E_v-\hbar\omega\right), \]
gdzie \(L\) oznacza wybrany parametr poszerzenia widma, a pominięcie współczynników fotonicznych w wyrażeniu proporcjonalności upraszcza obliczenia. Wynik przedstawiono na wykresie ??. Skala logarytmiczna umożliwia porównanie widm obejmujących wiele rzędów wielkości. Zwróć uwagę na charakterystyczne cechy optyczne w pobliżu zakresu krótszych długości fal widma oraz na zmiany ogólnej wartości w różnych warunkach, które są przedstawione na wykresie.
9. Wypróbuj to sam.
💡 Dwa przydatne obliczenia, które warto wykonać w dalszej kolejności:
- Zmień szerokość warstwy GaN. Spróbuj zmniejszyć centralną warstwę o grubości 10 nm do 7 nm, pozostawiając bariery bez zmian. Ponownie oblicz stany własne i porównaj najniższe poziomy przewodnictwa oraz energie przejść optycznych. Silniejsze ograniczenie zazwyczaj zwiększy odległość między ograniczonymi poziomami, chociaż szczegółowa odpowiedź pasma walencyjnego jest wielopasmowa.
- Porównaj wartości parametrów TE i TM. Wykorzystaj optyczne parametry podawane przez urządzenie, aby zidentyfikować przejścia, które wyraźnie preferują jedną polaryzację. Zbadaj, w jaki sposób to zjawisko wiąże się z charakterem stanu walencyjnego, zamiast zakładać, że wszystkie przejścia w równym stopniu wpływają na spektrum.
✅ Na co należy zwrócić uwagę?
Zazwyczaj, węższa studnia potencjału powoduje wzrost energii związanej z ograniczeniem elektronów i zmienia poziomy energetyczne dziur, co wpływa na dostępne energie przejść między pasmami. Stosunek TE/TM może się znacząco różnić w zależności od pary stanów, ponieważ odzwierciedla on różne składowe orbitalne funkcji falowych w strukturze wurtzytu. W celu przeprowadzenia szczegółowej analizy materiału, należy również zbadać wpływ składu stopu, naprężeń i pól polaryzacji.