Absorpcja, wzbudzona emisja i wzmocnienie optyczne.

Wzmocnienie optyczne to proces, dzięki któremu kwantowa studnia potencjału wzmacnia światło: zachodzi on, gdy emisja wymuszona przewyższa absorpcję, co wymaga odwrócenia populacji między podpasmami przewodnictwa i walencyjnymi. Na tej stronie zebrano elementy fizyczne, z których składa się obliczenie wzmocnienia OghmaNano – statystyki nośników, dwuwymiarową gęstość stanów, optyczne elementy macierzowe i poszerzenie linii – i wyraźnie określono, co obejmuje obecna implementacja, a czego nie.

1. Funkcja zajętości i quasi-poziomy Fermiego

Pod wpływem pobudzenia optycznego lub elektrycznego elektrony i dziury ulegają wewnętrznej termalizacji, ale nie osiągają stanu równowagi, dlatego każdy rodzaj nośnika ma swój własny quasi-poziom Fermiego. Zajętość stanu o energii \(E\) jest określana przez funkcję Fermiego-Diraca.

\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]

gdzie \(E_F=E_{F,c}\) oznacza stan przewodnictwa, a \(E_F=E_{F,v}\) stan walencyjny. Wraz ze wzrostem pompowania odległość między dwoma quasi-poziomami Fermiego się zwiększa; inwersja populacji, a co za tym idzie, wzmocnienie, wymagają, aby ta odległość przekraczała energię przejścia.

2. Gęstość arkusza i całka dwuwymiarowa

Ponieważ ruch w płaszczyźnie jest swobodny, każda podpasmo jest dwuwymiarowym pasmem, a jej gęstość nośników jest zintegrowana wzdłuż wektora fal w płaszczyźnie. Dwuwymiarowa gęstość stanów określa współczynnik wagowy \(k\,dk/2\pi\) dla każdego spinu/stopnia degeneracji, więc gęstość elektronów w warstwie wynosi

\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]

wraz z \(g\) uwzględnieniem degeneracji stanów i sumowania po podpasmach. OghmaNano oblicza tę całkę numerycznie na podstawie wyznaczonej zależności dyspersyjnej. Mając zadaną docelową gęstość nośników, program znajduje quasi-poziom Fermiego metodą bisekcji – dostosowując \(E_F\), aż całka odpowiada wartości docelowej – i robi to samo dla dziur z \(1-f\). W trybie pełnego spektrum, w którym stany przypominające elektrony i dziury są ze sobą mieszane, waga charakteru S każdego stanu wpływa na jego wkład.

3. Wprowadzanie elementów macierzy.

Każde przejście wpływa na wynik proporcjonalnie do swojego optycznego elementu macierzy \(M^2\), przy czym kwadratowy współczynnik nakładania i charakterystyki jest obliczany na podstawie obwiedni. Absolutną skalę określa współczynnik, który jest funkcją energii Kane'a i stałych optycznych.

\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]

gdzie \(n_r\) to współczynnik załamania, \(W\) szerokość warstwy, \(\omega\) optyczna częstotliwość kątowa, a \(E_p\) energia Kane'a. \(1/W\) przekształca odpowiedź warstwy w współczynnik wzmocnienia zbliżony do tego, który występuje w materiale o większej objętości (jednostki to odwrotność długości).

4. Poszerzenie linii widmowej

Prawdziwe przejścia charakteryzują się rozszerzeniem, polegającym na rozproszeniu i przybieraniu kształtu linii, a nie ostrej funkcji delta. OghmaNano wykorzystuje rozkład Lorentza o połowicznej szerokości \(\gamma\).

\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]

skupia się na każdej energii odpowiadającej danemu przejściu \(E = E_e(k) - E_v(k)\). Dzięki temu każde przejście rozkłada się na zakres energii fotonów, co prowadzi do wygładzenia widma.

5. Wzrost stymulowany, absorpcja i zysk netto.

Dla danej energii fotonu \(\hbar\omega\), każde przejście przyczynia się do emisji wymuszonej z prawdopodobieństwem \(f_c(1-f_v)\) (elektron obecny w wyższym stanie energetycznym, dziura w niższym) oraz do absorpcji z prawdopodobieństwem \(f_v(1-f_c)\). Sumowanie odbywa się dla podpasm i po przeprowadzeniu całkowania w przestrzeni dwuwymiarowej.

\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]

gdzie \(C\) to współczynnik. Całkowity zysk stanowi różnica między nimi.

\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]

Zysk netto jest dodatni tylko wtedy, gdy występuje odwrócona populacja – czyli \(f_c > f_v\) – co odpowiada warunkowi Bernarda–Duraffourga, zgodnie z którym różnica poziomów quasi-Fermiego musi przekraczać energię fotonu. Poniżej progu ta sama zależność jest ujemna, co prawidłowo opisuje absorpcję.

6. Spektra TE/TM i analiza zmian gęstości.

W przypadku modelu wurtzytowego OghmaNano dwukrotnie oblicza całkę wzmocnienia: raz z elementami macierzy TE (podstawa, \(P_2\)), a raz z elementami macierzy TM (oś c, \(P_1\)), uzyskując oddzielne widma TE i TM, których stosunek odzwierciedla charakter orbitalny stanów o najwyższej energii. Całe obliczenie jest powtarzane dla różnych wartości gęstości warstwy, dzięki czemu otrzymujemy rodzinę widm, które pokazują, jak wzmocnienie narasta wraz ze wzrostem mocy pompowania; dla porównania z wartościami objętościowymi podawana jest przybliżona gęstość objętościowa \(n_{3D}\approx n_{2D}/W\).