Απορρόφηση, διεγερμένη εκπομπή και οπτική ενίσχυση.

Η οπτική ενίσχυση είναι αυτό που επιτρέπει σε μια κβαντική φρεάτιδα να ενισχύσει το φως: συμβαίνει όταν η διεγερμένη εκπομπή υπερβαίνει την απορρόφηση, γεγονός που απαιτεί αντιστροφή πληθυσμού μεταξύ των υποζωνών αγωγιμότητας και σθένους. Αυτή η σελίδα συγκεντρώνει τον υπολογισμό της οπτικής ενίσχυσης του OghmaNano από τα φυσικά του συστατικά — στατιστικές των φορέων, η δισδιάστατη πυκνότητα των καταστάσεων, τα οπτικά στοιχεία μήτρας και η διεύρυνση της φασματικής γραμμής — και αναφέρει με σαφήνεια τι περιλαμβάνει και τι όχι η τρέχουσα υλοποίηση.

1. Επίπεδα πληρότητας και ψευδο-επίπεδα Fermi

Υπό οπτική ή ηλεκτρική διέγερση, τα ηλεκτρόνια και οι οπές θερμαίνονται εσωτερικά, αλλά δεν βρίσκονται σε θερμική ισορροπία μεταξύ τους, επομένως κάθε τύπος φορέα έχει το δικό του επίπεδο quasi-Fermi. Η πληρότητα μιας κατάστασης στην ενέργεια \(E\) περιγράφεται από τη συνάρτηση Fermi-Dirac.

\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]

με \(E_F=E_{F,c}\) για τις αγώγιμες καταστάσεις και \(E_F=E_{F,v}\) για τις καταστάσεις σθένους. Καθώς αυξάνεται η άντληση, τα δύο ψευδοεπίπεδα Fermi απομακρύνονται μεταξύ τους· η αναστροφή του πληθυσμού, και επομένως η ενίσχυση, απαιτεί ο διαχωρισμός τους να υπερβαίνει την ενέργεια μετάπτωσης.

2. Πυκνότητα του φύλλου και το δισδιάστατο ολοκλήρωμα.

Επειδή η κίνηση είναι ελεύθερη στο επίπεδο, κάθε υποζώνη είναι μια δισδιάστατη ζώνη και η πυκνότητα φορέων της είναι το ολοκλήρωμα της ορμής στο επίπεδο. Η δισδιάστατη πυκνότητα καταστάσεων δίνει το βάρος ολοκλήρωσης \(k\,dk/2\pi\) ανά σπιν/εκφυλισμό, επομένως η πυκνότητα ηλεκτρονικού στρώματος είναι

\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]

όπου \(g\) είναι η εκφυλισμένη κατάσταση και το άθροισμα υπολογίζεται για τις υποζώνες. Το OghmaNano υπολογίζει αυτό το ολοκλήρωμα αριθμητικά χρησιμοποιώντας τη διασπορά που έχει υπολογιστεί. Δεδομένης μιας στοχευόμενης πυκνότητας φύλλου, βρίσκει το επίπεδο quasi-Fermi με τη μέθοδο της διχοτόμησης — ρυθμίζοντας το \(E_F\) μέχρι το ολοκλήρωμα να ταιριάζει με την στοχευόμενη τιμή — και κάνει το ίδιο για τις οπές με το \(1-f\). Στην πλήρη λειτουργία φάσματος, όπου οι καταστάσεις που μοιάζουν με ηλεκτρόνια και οπές αναμιγνύονται, το βάρος του χαρακτήρα S κάθε κατάστασης κλιμακώνει τη συνεισφορά της.

3. Εισαγωγή των στοιχείων της μήτρας.

Κάθε μετάβαση συμβάλλει ανάλογα με το οπτικό στοιχείο μήτρας \(M^2\), τον παράγοντα επικάλυψης και χαρακτηρισμού που υπολογίζεται από τις περίφραξες. Η απόλυτη κλίμακα καθορίζεται από έναν προεκτιμημένο παράγοντα που προέρχεται από την ενέργεια Kane και τις οπτικές σταθερές.

\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]

όπου \(n_r\) είναι ο δείκτης διάθλασης, \(W\) το πλάτος του κβαντικού πηγαδιού, \(\omega\) η οπτική γωνιακή συχνότητα και \(E_p\) η ενέργεια Kane. Το \(1/W\) μετατρέπει την απόκριση της επιφάνειας σε έναν συντελεστή ενίσχυσης παρόμοιο με αυτόν ενός ομοιογενούς υλικού (με μονάδες αντίστροφου μήκους).

4. Διεύρυνση του φάσματος συχνοτήτων.

Οι πραγματικές μεταβάσεις διευρύνονται μέσω της διασποράς σε ένα σχήμα γραμμής αντί για μια απότομη συνάρτηση δέλτα. Το OghmaNano χρησιμοποιεί μια συνάρτηση Lorentz με ημιπλάτος \(\gamma\).

\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]

εστιασμένο σε κάθε μετάβαση ενέργειας \(E = E_e(k) - E_v(k)\). Αυτό κατανέμει κάθε μετάβαση σε ένα εύρος ενεργειών φωτονίων και εξομαλύνει το φάσμα.

5. Ενισχυμένη απόδοση, απορρόφηση και καθαρή απόδοση.

Για μια δεδομένη ενέργεια φωτονίου \(\hbar\omega\), κάθε μετάβαση συμβάλλει στην διεγερμένη εκπομπή με πιθανότητα \(f_c(1-f_v)\) (ηλεκτρόνιο παρόν στην ανώτερη κατάσταση, κενό στην κατώτερη) και στην απορρόφηση με πιθανότητα \(f_v(1-f_c)\). Κάνοντας άθροισμα σε όλες τις υποζώνες και σε όλο το δισδιάστατο ολοκλήρωμα,

\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]

όπου \(C\) είναι ο προεκθετικός παράγοντας. Το συνολικό κέρδος είναι η διαφορά τους.

\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]

Το καθαρό κέρδος είναι θετικό μόνο όταν η κατανομή του πληθυσμού είναι ανεστραμμένη – δηλαδή όταν \(f_c > f_v\) – η οποία είναι η συνθήκη Bernard–Duraffourg, σύμφωνα με την οποία η διαφορά των ψευδο-επίπεδων Fermi υπερβαίνει την ενέργεια των φωτονίων. Κάτω από το όριο, η ίδια έκφραση είναι αρνητική, περιγράφοντας σωστά την απορρόφηση.

6. Φάσματα TE/TM και σάρωση της πυκνότητας.

Για το μοντέλο wurtzite, το OghmaNano εκτελεί το ολοκλήρωμα της ενίσχυσης δύο φορές, μία με τα στοιχεία της μήτρας TE (βασική επιφάνεια, \(P_2\)) και μία με τα στοιχεία της μήτρας TM (άξονας c, \(P_1\)), παράγοντας ξεχωριστά φάσματα TE και TM, των οποίων η αναλογία αντικατοπτρίζει τον χαρακτήρα των τροχιακών σθένους των ανώτερων καταστάσεων. Ολόκληρος ο υπολογισμός επαναλαμβάνεται σε μια σειρά πυκνοτήτων φύλλων, έτσι ώστε η έξοδος να είναι μια οικογένεια φασμάτων που δείχνει πώς αυξάνεται η ενίσχυση με την άντληση· αναφέρεται μια κατά προσέγγιση ογκομετρική πυκνότητα \(n_{3D}\approx n_{2D}/W\) για σύγκριση με τις τιμές του όγκου.