Διασπορά, χρόνοι χαλάρωσης και κινητικότητα.

Η κινητικότητα των φορέων σε μια κβαντική περιοχή περιορίζεται από τη σκέδαση. Η OghmaNano εφαρμόζει επί του παρόντος τη σκέδαση ακουστικών φωνόνων μέσω της παραμόρφωσης δυναμικού, η οποία υπολογίζεται με τον χρυσό κανόνα του Fermi, και μετατρέπει τους προκύπτοντες χρόνους χαλάρωσης σε κινητικότητα χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του χρόνου χαλάρωσης. Αυτή η σελίδα τεκμηριώνει αυτόν τον μηχανισμό και αναφέρει ρητά τι περιλαμβάνεται και τι όχι.

1. Ο χρυσός κανόνας του Φέρμι

Ο ρυθμός μετάβασης από μια αρχική κατάσταση \(|i\rangle\) σε τελικές καταστάσεις \(|f\rangle\) υπό την επίδραση μιας διαταραχής \(\delta H\) είναι

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

η συνάρτηση δέλτα επιβάλλει τη διατήρηση της ενέργειας για την ελαστική σκέδαση. Για ακουστικά φωνόνια στις θερμοκρασίες λειτουργίας της συσκευής, η διαδικασία είναι σχεδόν ελαστική και, στο όριο της ισοκατανομής, η πληρότητα των φωνονίων συνεισφέρει έναν παράγοντα \(k_B T\). Η διαταραχή είναι το πεδίο τάσης του ακουστικού φωνονίου, το οποίο συνδέεται με τις ζώνες μέσω της δυναμικής παραμόρφωσης.

2. Η ακουστική παραμόρφωση δυναμικού.

Ένας ακουστικός φωνονας παραμορφώνει το πλέγμα σε τοπικό επίπεδο και αυτή η παραμόρφωση μετατοπίζει τις άκρες των ενεργειακών ζωνών μέσω της δυναμικής παραμόρφωσης \(D\). Το OghmaNano κατασκευάζει το πεδίο παραμόρφωσης ενός φωνονα με διανυσματικό κύμα \(\mathbf{q}\) και πόλωση \(\hat{\mathbf{e}}\), και στη συνέχεια το συνδέει με τις ενεργειακές ζώνες — για τις ζώνες αγωγιμότητας, μέσω των ίδιων δυναμικών παραμόρφωσης Bir–Pikus που χρησιμοποιούνται για τη στατική παραμόρφωση. Η μέση τιμή του τετραγώνου του στοιχείου της μήτρας, κατά την κατανομή των φωνονίων στο όριο της ισοκατανομής, δίνει τον συντελεστή.

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

όπου \(\rho\) είναι η πυκνότητα μάζας και \(v_s\) η ταχύτητα του ήχου. Ο ρυθμός αυξάνεται γραμμικά με τη θερμοκρασία, ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα της ακουστικής σκέδασης μέσω του δυναμικού παραμόρφωσης.

3. Πυκνότητα τελικών καταστάσεων και παράγοντας μορφής.

Δύο επιπλέον παράγοντες ολοκληρώνουν τον υπολογισμό του ρυθμού. Η συνάρτηση της ενεργειακής διαφοράς υπολογίζεται εντοπίζοντας, για κάθε τελική υποζώνη, τον διανυσματικό αριθμό κύματος \(k_f\) στο οποίο \(E_f(k_f)=E_i\), και εφαρμόζοντας μια στάθμιση με βάση την δισδιάστατη πυκνότητα των καταστάσεων σε αυτό το σημείο, η οποία είναι ανάλογη του \(k_f/|dE/dk|\). Και η επικάλυψη των αρχικών και τελικών κυματοσυναρτήσεων – ο παράγοντας μορφής \(G\) – μετράει πόσο κοινόχρηστο είναι το χωρικό πεδίο των δύο καταστάσεων· η διασπορά μεταξύ των υποζωνών καταστέλλεται όταν οι καταστάσεις έχουν μικρή χωρική επικάλυψη. Ο ρυθμός για την κατάσταση \(i\) είναι, επομένως

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

Ο χρόνος χαλάρωσης \(\tau_i\) είναι απλώς το αντίστροφο της συνολικής ταχύτητας εξόδου από την κατάσταση \(i\).

4. Από τον χρόνο χαλάρωσης στην κινητικότητα.

Η κινητικότητα προκύπτει από την γραμμικοποιημένη εξίσωση Boltzmann, χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του χρόνου χαλάρωσης. Κάθε κατάσταση συμβάλλει στην αγωγιμότητα ανάλογα με το τετράγωνο της ομαδικής της ταχύτητας, τον χρόνο χαλάρωσής της και την παράγωγο της συνάρτησης πληρότητας. Η ομαδική ταχύτητα είναι

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

και η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής, η οποία περιορίζει τη μεταφορά σε καταστάσεις κοντά στην ενεργειακή στάθμη Fermi, είναι \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). Ενσωματώνοντας τις υποζώνες,

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

και η κινητικότητα είναι η αγωγιμότητα ανά μονάδα φορτίου και η πυκνότητα του φύλλου.

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

με την πυκνότητα του φύλλου \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) να αξιολογείται στην ίδια διασπορά. Αυτό παρέχει μια αποτελεσματική κινητικότητα που αντικατοπτρίζει την πραγματική, μη παραβολική υποζωνική δομή και όχι μια εκτίμηση που βασίζεται σε μια ενιαία μάζα.

5. Υποθέσεις και περιορισμοί

Το υλοποιημένο μοντέλο είναι σκόπιμα συγκεκριμένο. Αντιμετωπίζει τη σκέδαση ακουστικών φωνόνων μέσω της παραμόρφωσης δυναμικού στο ελαστικό όριο της ισοκατανομής και υπολογίζει τη μεταφορά χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του χρόνου χαλάρωσης. Δεν περιλαμβάνει τη σκέδαση από πολικούς-οπτικούς (Fröhlich) φωνόνες, ιονισμένες ακαθαρσίες, ατέλειες διεπιφανειών ή αταξία κράματος, ούτε την ανελκτική εκπομπή/απορρόφηση φωνόνων πέρα από την επεξεργασία της ισοκατανομής. Όταν αυτοί οι μηχανισμοί κυριαρχούν – σε πολικά υλικά σε θερμοκρασία δωματίου, σε υλικά με υψηλή συγκέντρωση προσμίξεων ή με ατέλειες – η υπολογιζόμενη κινητικότητα θα πρέπει να θεωρείται ως η συνεισφορά που περιορίζεται από τους ακουστικούς φωνόνες και όχι ως μια πλήρης πρόβλεψη μεταφοράς.