Rozpraszanie, czasy relaksacji i ruchliwość

Ruchliwość nośników w strukturze kwantowej jest ograniczona przez procesy rozpraszania. Firma OghmaNano obecnie wykorzystuje rozpraszanie na fononach akustycznych poprzez potencjał deformacji, obliczany za pomocą złotego reguły Fermiego, a następnie przekształca uzyskane czasy relaksacji w ruchliwość, stosując przybliżenie czasu relaksacji. Na tej stronie opisano ten mechanizm i wyraźnie wskazano, co jest w nim uwzględnione, a co nie.

1. Złota reguła Fermiego

Współczynnik przejścia ze stanu początkowego \(|i\rangle\) do stanów końcowych \(|f\rangle\) pod wpływem zakłócenia \(\delta H\) wynosi:

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

funkcja delta zapewnia zachowanie energii podczas sprężystego rozpraszania. W przypadku fononów akustycznych w temperaturach panujących w urządzeniu proces ten jest prawie sprężysty, a w granicy równomiernego rozkładu energii, zajętość stanów przez fonony wpływa na wynik współczynnikiem \(k_B T\). Zakłóceniem jest pole odkształceń fononu akustycznego, które oddziałuje z pasmami energetycznymi poprzez potencjał deformacji.

2. Potencjał akustycznej deformacji

Akustyczny fonon lokalnie odkształca sieć krystaliczną, a to odkształcenie przesuwa krawędzie pasm energetycznych poprzez potencjał deformacji \(D\). OghmaNano tworzy pole odkształceń dla fononu o wektorze falowym \(\mathbf{q}\) i polaryzacji \(\hat{\mathbf{e}}\), a następnie łączy je z pasmami – w przypadku pasm walencyjnych odbywa się to za pomocą tego samego potencjału deformacji Bir–Pikus, który jest stosowany dla statycznego odkształcenia. Uśrednienie kwadratu elementu macierzowego w odniesieniu do zajętości fononów w granicy równomiernego rozkładu energii daje współczynnik.

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

gdzie \(\rho\) oznacza gęstość masy, a \(v_s\) – prędkość dźwięku. Wraz ze wzrostem temperatury szybkość tego procesu rośnie liniowo, co jest charakterystyczne dla rozpraszania akustycznego związanego z potencjałem deformacji.

3. Gęstość stanów końcowych i współczynnik kształtu

Dwa dodatkowe czynniki dopełniają obliczenie szybkości. Funkcja różnicy energii jest obliczana poprzez określenie, dla każdej końcowej podstrefy, wektora fal \(k_f\), przy którym występuje \(E_f(k_f)=E_i\), oraz poprzez pomnożenie go przez dwuwymiarową gęstość stanów w tym miejscu, która jest proporcjonalna do \(k_f/|dE/dk|\). Ponadto, nakładanie się początkowej i końcowej funkcji fal – współczynnik kształtu \(G\) – mierzy, w jakim stopniu oba stany zajmują tę samą przestrzeń w potencjalnej studni; rozpraszanie między podstrefami jest tłumione, gdy stany mają niewielki nakład przestrzenny. W związku z tym, szybkość dla stanu \(i\) wynosi:

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

Czas relaksacji \(\tau_i\) to po prostu odwrotność całkowitej szybkości przejścia ze stanu \(i\).

4. Od czasu na relaks do zwiększenia mobilności.

Współczynnik ruchliwości wynika z liniaryzowanego równania Boltzmanna, przy zastosowaniu przybliżenia czasu relaksacji. Każdy stan przyczynia się do przewodności proporcjonalnie do kwadratu jego prędkości grupowej, czasu relaksacji i pochodnej funkcji zajętości. Prędkość grupowa wynosi

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

oraz pochodna funkcji opisującej zajętość, która ogranicza transport do stanów w pobliżu poziomu Fermiego, wynosi \(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\). Całkując po podpasmach,

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

a ruchliwość jest definiowana jako przewodność na jednostkę ładunku i gęstość powierzchni.

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

przy czym gęstość warstwy \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) jest oceniana na podstawie tej samej dyspersji. W ten sposób uzyskuje się efektywną ruchliwość, która odzwierciedla rzeczywistą, nieparaboliczną strukturę podpasma, a nie szacowaną na podstawie pojedynczej masy.

5. Założenia i ograniczenia

Zastosowany model jest celowo bardzo szczegółowy. Opisuje on rozpraszanie fononów akustycznych poprzez potencjał deformacji w elastycznym, równomiernym rozkładzie energii i ocenia transport w przybliżeniu czasu relaksacji. Nie uwzględnia rozpraszania na polarnych fononach optycznych (rozpraszanie Fröhlicha), na zjonizowanych domieszkach, na nierównościach powierzchni ani na zaburzeniach w stopach, ani też nie uwzględnia nieelastycznego rozpraszania/absorpcji fononów poza ramy równomiernego rozkładu energii. W przypadkach, gdy te mechanizmy dominują – na przykład w materiałach polarnych w temperaturze pokojowej, w silnie domieszkowanych lub nierównych strukturach – obliczona ruchliwość powinna być interpretowana jako wkład ograniczony przez rozpraszanie fononów akustycznych, a nie jako pełna prognoza transportu.