Przejścia optyczne w kwantowych studniach potencjału: wzmocnienie i spontaniczna emisja.

Od stanów elektronowych do światła.

W poprzednim poradniku dotyczącym parabolicznych pasm kwantowych studni potencjału zaczęliśmy od rozważenia ograniczonych rozwiązań równania Schrödingera i pokazaliśmy, w jaki sposób każde z tych rozwiązań staje się podpasmem elektronowym, gdy uwzględnimy ruch równoległy do warstw półprzewodnika. Obliczyliśmy również energię fotonu potrzebną do połączenia stanu elektronowego ze stanem dziury.

Samo poznanie, jakie przejścia są możliwe, to dopiero początek. Aby obliczyć ilość światła pochłanianego lub emitowanego przez studnię kwantową, musimy również określić prawdopodobieństwo każdego przejścia oraz liczbę dostępnych elektronów i dziur, które mogą w nim uczestniczyć. W tym miejscu do obliczeń wkracza złota reguła Fermiego oraz elementy macierzowe optyczne.

Przeprowadzimy obliczenia krok po kroku: najpierw rozważymy pojedynczą zmianę stanu, następnie obliczymy prawdopodobieństwo tej zmiany, zsumujemy wartości dla wszystkich podpasm elektronowych i dziurowych, a na końcu wprowadzimy rozszerzenie Lorentza, aby uzyskać gładkie spektrum optyczne.

Trzy sposoby, w jakie światło oddziałuje z półprzewodnikiem.

Rozważmy elektron znajdujący się w paśmie przewodnictwa oraz dostępne puste miejsce w paśmie walencyjnym. Istnieją trzy ściśle powiązane procesy optyczne:

• Absorpcja: wpadający foton wzbudza elektron, przenosząc go z zajętego stanu w paśmie walencyjnym do wolnego stanu w paśmie przewodnictwa.
• Emisja wymuszona: padający foton pobudza elektron w paśmie przewodnictwa do przejścia do wolnego stanu w paśmie walencyjnym (powstaje dziura), co prowadzi do emisji dodatkowego fotonu.
• Spontaniczna emisja: elektron łączy się z dziurą i emituje foton, nawet gdy nie ma obecnego fotonu, który by wywołał tę emisję.

Wszystkie trzy procesy zależą od różnicy energii między początkowym i końcowym stanem elektronowym oraz od tego, jak silnie światło oddziałuje z tymi stanami. Kluczową różnicą jest to, które stany są zajęte oraz czy foton musi już być obecny.

Zacznij od pojedynczej rekombinacji elektron-dziura.

Wykorzystajmy podpasmo elektronowe \(n\) i podpasmo dziur \(m\). W przypadku prostego parabolicznego studni potencjału przejście między stanami o tej samej wektorze falowym w płaszczyźnie charakteryzuje się różnicą energii.

\[ E_{nm}(k_{\parallel})= E_g+\varepsilon_{e,n}+\varepsilon_{h,m} +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu}, \]

gdzie \(E_g\) to szerokość pasma energetycznego materiału, z którego wykonana jest struktura, \(\varepsilon_{e,n}\) i \(\varepsilon_{h,m}\) to energie związane z ograniczeniem elektronów i dziur, a \(\mu\) to zredukowana efektywna masa w płaszczyźnie struktury:

\[ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e^{*}}+\frac{1}{m_h^{*}}. \]

W przypadku bezpośredniej przemiany optycznej wektor falowy kryształu w płaszczyźnie jest w przybliżeniu zachowany, ponieważ foton przenosi stosunkowo niewielką pęd. Elektron i dziura przyczyniają się zatem do pionowej przemiany między dwiema krzywymi odpowiadającymi podpasmom w ??.

Jeśli energia fotonu odpowiada różnicy energii między stanami, przejście jest energetycznie możliwe:

\[ \hbar\omega=E_{nm}(k_{\parallel}). \]

Jednak samo dopasowanie poziomów energii nie pozwala nam określić, jak często zachodzi to przejście. Aby to ustalić, musimy obliczyć oddziaływanie między elektronem a polem elektromagnetycznym.

Złota zasada Fermiego: jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia przejścia?

Złota reguła Fermiego określa prawdopodobieństwo przejścia między początkowym stanem kwantowym \(i\) a stanem końcowym \(f\), gdy oba stany są połączone stosunkowo słabą interakcją:

\[ \boxed{ W_{i\rightarrow f}= \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i) } \]

To równanie zawiera dwa szczególnie ważne elementy:

• Element macierzy, \(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\), określa, jak silne jest sprzężenie między stanem początkowym a końcowym, wywołane przez pole optyczne. Kwadrat jego wartości odpowiada współczynnikowi, który kontroluje prawdopodobieństwo przejścia.
• Funkcja delta, \(\delta(E_f-E_i)\), zapewnia zachowanie energii. Gdy stany początkowy i końcowy zawierają fotony, ich energie są uwzględniane w \(E_i\) i \(E_f\).

Przydatny sposób na zrozumienie tego zjawiska polega na uwzględnieniu dwóch warunków: przejście musi mieć odpowiednią energię, a światło musi być w stanie wywołać sprzężenie między dwoma stanami elektronowymi. Pierwszy warunek jest określany przez odległość między podpasmami; drugi warunek jest określany przez element macierzowy.

Co to jest element macierzowy optyczny?

Gdy światło oddziałuje z elektronem, jego pole elektryczne może wywoływać przejścia między stanami kwantowymi. W powszechnym opisie odpowiednie oddziaływanie jest proporcjonalne do iloczynu skalarnego operatora pędu elektronu i wektora polaryzacji pola optycznego. Odpowiadający temu element macierzowy pędu ma postać:

\[ p_{nm}= \langle\Psi_{c,n}|\,\mathbf e\!\cdot\!\hat{\mathbf p}\,|\Psi_{v,m}\rangle, \]

gdzie \(\mathbf e\) oznacza polaryzację światła, a \(\Psi_{c,n}\) i \(\Psi_{v,m}\) reprezentują stany elektronowe związane z pasmem przewodnictwa i pasmem walencyjnym. Duża wartość oznacza, że pole elektromagnetyczne silnie sprzęga te stany; zerowa wartość elementu macierzowego oznacza, że w ramach stosowanego modelu przejście to jest optycznie zabronione.

W uproszczonym przybliżeniu parabolicznym możemy rozdzielić szybko zmieniające się na poziomie atomowym funkcje Blocha od wolniej zmieniających się funkcji falowych otoczki studni kwantowej. Wówczas sprzężenie optyczne zawiera dwa składniki:

\[ \boxed{ |p_{nm}|^2\simeq |\mathbf e\!\cdot\!\mathbf p_{cv}|^2 \left|\int \psi_{e,n}^{*}(z)\psi_{h,m}(z)\,dz\right|^2 } \]

Pierwszy czynnik, \(\mathbf p_{cv}\), opisuje optyczne sprzężenie między warstwami półprzewodnika. Drugi czynnik to nakładanie się funkcji falowych, które informuje nas o tym, jak dobrze nakładają się na siebie funkcje falowe elektronów i dziur w warstwie kwantowej.

Na przykład, dwa obszary o różnych właściwościach, skupione w tej samej części studni potencjału, mogą w dużym stopniu się pokrywać. Jeśli pole elektryczne przyciąga elektrony w kierunku jednej granicy, a dziury w kierunku drugiej, to obszar ich nakładania się może znacznie się zmniejszyć. Co ważne, istotna jest całka funkcji falowych, a nie tylko nakładanie się ich oddzielnych wykresów gęstości prawdopodobieństwa: znaki i fazy funkcji falowych mogą powodować, że niektóre wkłady się znoszą.

Wyjaśnia to również, dlaczego polaryzacja światła może mieć znaczenie. Na przykład, światło spolaryzowane w płaszczyźnie TE i TM oddziałuje z różnymi składowymi elementu macierzy pędu, a bardziej zaawansowane modele wielopasmowe są potrzebne, gdy istotne są mieszanie pasm i reguły selekcji polaryzacji. Efekty te można zbadać w materiałach GaAs/AlGaAs – ośmiopasmowy samouczek dotyczący struktury cynkowej i GaN/AlGaN – ośmiopasmowy samouczek dotyczący struktury wurtzytowej.

Dopuszczenie do zmiany nie oznacza, że ona nastąpi.

Nawet przejście, które zachodzi przy odpowiedniej energii i ma dużą wartość elementu macierzowego, nie może się odbyć, chyba że stan początkowy jest zajęty, a stan końcowy jest dostępny. Niech \(f_c\) oznacza prawdopodobieństwo, że dany stan w paśmie przewodnictwa zawiera elektron, a \(f_v\) – prawdopodobieństwo, że dany stan w paśmie walencyjnym zawiera elektron. Zatem prawdopodobieństwo, że stan walencyjny zawiera dziurę, wynosi \(1-f_v\).

Dostępne populacje elektronów wpływają na różne współczynniki absorpcji i emisji:

\[ \begin{aligned} \text{Absorption:}\qquad & f_v(1-f_c),\\[4pt] \text{Emission:}\qquad & f_c(1-f_v). \end{aligned} \]

Aby doszło do absorpcji, konieczne jest zajęte pasmo walencyjne i wolne pasmo przewodnictwa. Emisja wymaga odwrotnej sytuacji: elektron w pasmie przewodnictwa i dziura w pasmie walencyjnym. Te czynniki określają, czy dane przejście przyczynia się do netto absorpcji, czy do netto wzmocnienia optycznego.

Od pojedynczej transformacji do pełnego spektrum optycznego.

Prawdziwa studnia kwantowa ma więcej niż jedną podstrefę dla elektronów i dziur, a elektrony mogą zajmować różne podstrefy o różnych wektorach fal w płaszczyźnie, wzdłuż każdej paraboli. Aby obliczyć widmo, należy uwzględnić wkład każdej istotnej kombinacji podstref elektronów \(n\), podstref dziur \(m\) i wektora fal w płaszczyźnie \(k_{\parallel}\).

Schematycznie, obliczenie absorpcji widmowej ma następującą postać:

\[ \alpha(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 f_v(1-f_c) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right]. \]

Suma obliczana jest dla par podpasm; całka uwzględnia wszystkie stany w płaszczyźnie. Element macierzowy określa wagę każdej tranzycji na podstawie jej siły optycznej, współczynniki wypełnienia informują nas, czy obecne są wymagane nośniki ładunku, a funkcja delta wybiera tranzycje o odpowiedniej energii fotonu. Proporcjonalność pomija wspólne czynniki normalizacyjne elektromagnetyczne.

W przypadku parabolicznej dwuwymiarowej podpasma liczba dostępnych stanów na jednostkę energii ma szczególnie prostą postać: ich łączna gęstość stanów jest stała powyżej progu przejścia w idealnym modelu. W konsekwencji, para podpasem zaczyna wpływać na wynik, gdy energia fotonu osiąga minimalną dopuszczalną energię przejścia. Kolejne pary podpasem wprowadzają dodatkowe progi w spektrum.

Kiedy absorpcja przekształca się w wzmocnienie optyczne?

Wpadający promień może być zarówno absorbowany, jak i wywoływać emisję. Wzmocnienie optyczne to równowaga między tymi dwoma konkurującymi ze sobą procesami, a nie po prostu całkowita szybkość rekombinacji elektronów i dziur. Odjęcie absorpcji od emisji wywołanej daje szczególnie użyteczne uproszczenie:

\[ \begin{aligned} f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c) &=f_c-f_v. \end{aligned} \]

W związku z tym, widmowy współczynnik wzmocnienia ma tę samą sumę dla wszystkich przejść, co obliczenia absorpcji, ale wykorzystuje różnicę w liczebności stanów:

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Jeśli \(f_v\) jest większe od \(f_c\), dominuje absorpcja, a wkład w wzmocnienie jest ujemny. Jeśli \(f_c\) jest większe od \(f_v\), dominuje emisja wymuszona: jest to inwersja populacji, a przejście przyczynia się do dodatniego wzmocnienia.

W pełnym obliczeniu współczynnik proporcjonalności obejmuje takie wielkości, jak częstotliwość optyczna, współczynnik załamania, stałe elektromagnetyczne oraz grubość, która służy do normalizacji stanów w warstwie kwantowej. Należy również rozróżnić wzmocnienie w aktywnym materiale od wzmocnienia modalnego lasera, które zależy od tego, jak silnie nakładają się na siebie mod optyczny i obszar warstwy kwantowej.

A co z emisją spontaniczną?

Spontaniczna emisja wykorzystuje te same energie przejść elektronowych i elementy macierzowe optyczne, ale nie jest tożsama z całkowitym wzmocnieniem. Aby zrozumieć różnicę, wyobraźmy sobie, że dany mod fotonowy zawiera już \(N\) fotonów. Kwantowo-mechaniczna szybkość emisji do tego modu zawiera współczynnik \(N+1\):

\[ \underbrace{(N+1)}_{\text{emission}} =\underbrace{N}_{\text{stimulated}} +\underbrace{1}_{\text{spontaneous}}. \]

Stymulowana część rośnie wraz ze wzrostem liczby już obecnych fotonów. Dodatkowa wartość \(1\) oznacza, że emisja może nadal zachodzić, nawet gdy początkowa liczba fotonów wynosi zero. W przeciwieństwie do tego, absorpcja wymaga napływającego fotonu i jest proporcjonalna do wartości \(N\).

Aby obliczyć prawdopodobieństwo emisji spontanicznej, sumujemy prawdopodobieństwa przejść dla wszystkich dostępnych stanów elektronowych oraz dla wszystkich możliwych mod fotonów, w które może być emitowane światło. Schematycznie, widmo emisji spontanicznej wygląda następująco:

\[ \boxed{ R_{\mathrm{sp}}(\hbar\omega)\ \propto D_{\mathrm{ph}}(\omega) \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |M_{nm}(\omega,k_{\parallel})|^2 f_c(1-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

W tym przypadku \(D_{\mathrm{ph}}\) oznacza dostępne mody fotonowe, a \(M_{nm}\) to odpowiednio znormalizowany element macierzowy oddziaływania elektron-foton dla spontanicznej emisji. Ta notacja wyraźnie wskazuje, że przy obliczaniu bezwzględnej szybkości emisji fotonów należy uwzględnić gęstość modów fotonowych i normalizację optyczną.

Zwróćmy uwagę na istotny czynnik: w przypadku spontanicznej emisji wykorzystywany jest \(f_c(1-f_v)\), a nie różnica populacji \(f_c-f_v\), która jest stosowana do uzyskania wzmocnienia. Oznacza to, że struktura półprzewodnikowa może wykazywać spontaniczną emisję, nawet gdy jej wypadkowa odpowiedź optyczna ma charakter absorpcyjny. Nie powinniśmy uzyskiwać spontanicznej emisji, po prostu ustawiając ujemne wartości wzmocnienia na zero.

Dlaczego potrzebujemy poszerzenia Lorentza?

Do tej pory w złotym równaniu Fermiego do przedstawienia ścisłego zachowania energii wykorzystywano funkcję delta. Jednak w rzeczywistych półprzewodnikach przejścia optyczne nie występują w postaci nieskończenie ostrych linii. Rozpraszanie i ograniczony czas koherencji przejścia elektronowego powodują, że przejście to ma skończoną szerokość spektralną.

Jednym z powszechnie stosowanych sposobów przedstawienia tego zagadnienia jest zastąpienie funkcji delta znormalizowanym kształtem linii Lorentza:

\[ \boxed{ L_{\gamma}(\Delta E)= \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(\Delta E)^2+\gamma^2} } \]

W tym przypadku \(\Delta E\) oznacza różnicę między energią przejścia elektronowego a energią fotonu, a \(\gamma\) to połowa szerokości w połowie maksimum (HWHM) rozkładu Lorentza. Jego pełna szerokość w połowie maksimum wynosi \(2\gamma\). Ponieważ rozkład Lorentza jest znormalizowany względem energii, poszerzenie powoduje redystrybucję spektralnej wagi danego przejścia, a nie arbitralną zmianę jego zintegrowanego udziału.

W przypadku każdej zmiany zastępujemy \(\delta(E_{nm}-\hbar\omega)\) przez \(L_{\gamma}(E_{nm}-\hbar\omega)\). Na przykład, poszerzone pasmo wzmocnienia staje się

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) L_{\gamma}\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Taki sam zabieg stosuje się w obliczeniach dotyczących spontanicznej emisji, jednak współczynnik wypełnienia pozostaje na poziomie \(f_c(1-f_v)\). Większa wartość parametru poszerzenia powoduje uzyskanie bardziej gładkich i szerszych widm; mniejsza wartość zachowuje ostrzejsze progi przejścia. Poszerzenie lorentzowskie stanowi użyteczny model jednorodnego poszerzenia, a nie uniwersalny opis każdego fizycznego mechanizmu poszerzania.

Podsumowanie obliczeń

Możemy teraz podsumować, w jaki sposób powstaje optyczny widm charakterystyczny dla struktur półprzewodnikowych z warstwą kwantową, na podstawie stanów elektronowych:

1. Znajdź stany ograniczone. Rozwiąż równanie Schrödingera dla energii elektronów i dziur oraz funkcji fal w całym obszarze studni kwantowej.
2. Utwórz podpasma. Uwzględnij ruch równoległy do warstw, aby uzyskać wartości energii przejść elektronowych dla różnych wektorów fal w płaszczyźnie.
3. Oblicz współczynnik sprzężenia optycznego. Oszacuj odpowiednie elementy macierzy, w tym nakładanie się funkcji fal elektronów i dziur, a także, w razie potrzeby, polaryzację światła.
4. Uwzględnij populacje nośników ładunku. Wykorzystaj charakterystykę stanów elektronowych i pasma walencyjnego, aby rozróżnić absorpcję, emisję wymuszoną i emisję spontaniczną.
5. Wykonaj sumowanie po wszystkich możliwych przejściach. Dodaj wkłady pochodzące od podpasm elektronowych i dziurowych oraz od dostępnych stanów w płaszczyźnie.
6. Poszerz zakres. Zastąp idealne, impulsowe przejścia odpowiednim kształtem linii, na przykład rozkładem Lorentza.

Oto zasady, które łączą kwantowe rozwiązania elektroniczne firmy OghmaNano z obliczeniami wzmocnienia optycznego i spontanicznej emisji. Prosty model paraboliczny ułatwia zrozumienie fizyki; wielopasmowa teoria k·p rozszerza stany elektroniczne i elementy macierzowe optyczne, gdy istotne stają się sprzężenie między pasmami i zależność od polaryzacji.