Rozpraszanie Fröhlicha: oddziaływania polarnych fononów optycznych w półprzewodnikach.

Rozpraszanie Fröhlicha opisuje oddziaływanie elektronów i dziur z podłużnymi fononami optycznymi (LO) w polarnych półprzewodnikach, takich jak GaAs, InP, GaN, ZnO i metalohalogenkowe perowskity. Fizyczne źródło tego oddziaływania przedstawiono w ??. W polarnym krysztale sąsiednie atomy posiadają przeciwne ładunki cząstkowe. Gdy sieć krystaliczna wibruje w trybie optycznym, dodatnie i ujemne jony poruszają się względem siebie, generując oscylującą polaryzację elektryczną. W przypadku podłużnego fononu optycznego generuje to makroskopowe pole elektryczne, które oddziałuje z nośnikami ładunku poruszającymi się w krysztale.

Elektron przemieszczający się w tym polu może ulec rozproszeniu, przechodząc ze stanu początkowego o wektorze falowym \(\mathbf{k}\) do stanu końcowego \(\mathbf{k}'\), przy czym może albo pochłaniać, albo emitować fonon LO o energii \(\hbar\omega_{LO}\). Te przejścia są zilustrowane na diagramie pasma przewodnictwa w ??. Elektrostatyczne sprzężenie między swobodnymi nośnikami ładunku a polem polaryzacji sieci krystalicznej nazywane jest oddziaływaniem Fröhlicha. Jest to ważny mechanizm ograniczający ruchliwość nośników ładunku w polarnych półprzewodnikach, szczególnie w temperaturze pokojowej i wyższej. Może on dominować w procesach rozpraszania elektronów w materiałach III–V o wysokiej czystości i stanowi efektywną drogę dla gorących nośników do przekazywania energii do sieci krystalicznej.

Zrozumienie rozpraszania Fröhlicha jest zatem istotne przy obliczaniu ruchliwości nośników, modelowaniu chłodzenia nośników wzbudzonych światłem oraz określaniu czasów relaksacji energii, które są wykorzystywane w modelach transportu opartych na bilansie energii. Zależność energii od oddziaływania można zaobserwować w ??, gdzie przedstawiono obliczone współczynniki absorpcji, emisji i całkowitego rozpraszania dla elektronów w GaAs. W kolejnych sekcjach szczegółowo analizujemy absorpcję i emisję fononów LO, a następnie wyprowadzamy element macierzowy Fröhlicha oraz pełną trójwymiarową całkę \(k\), która jest wykorzystywana do obliczenia współczynnika rozpraszania.

Na czym polega oddziaływanie Fröhlicha?

W półprzewodniku polarnym względne przemieszczenie jonów dodatnich i ujemnych podczas podłużnej oscylacji optycznej (LO) generuje oscylujące pole elektryczne \(\mathbf{E}_{LO}\), co przedstawiono na ilustracji ??. Nośnik ładunku oddziałuje z tym polem za pośrednictwem potencjału elektrostatycznego \(\phi_{LO}\), co skutkuje energią oddziaływania \(-e\phi_{LO}\) dla elektronu. Ponieważ oddziaływanie ma charakter kulombowski, jest ono dalekozasięgowe i najsilniejsze przy małych wektorach fal fononowych \(q\).

Siła oddziaływania Fröhlicha zależy od tego, jak silnie kryształ reaguje na pole elektryczne. Na tę reakcję składają się dwa elementy: elektrony, które reagują bardzo szybko, oraz znacznie cięższe jony, które reagują wolniej. W rezultacie powstają dwie stałe dielektryczne: stała dielektryczna o wysokiej częstotliwości \(\varepsilon_\infty\), która opisuje jedynie reakcję elektronów, oraz stała dielektryczna dla stanu statycznego \(\varepsilon_s\), która uwzględnia dodatkowy wkład związany z ruchem jonów.

W półprzewodniku polarnym przemieszczenie jonów podczas oddziaływania z fononem LO generuje pole elektryczne, które oddziałuje z nośnikami ładunku. Siła tego oddziaływania jest określana przez różnicę między dielektrycznym przesłanianiem elektronowym i całkowitym, wyrażoną jako:

\[ \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s}. \]

Im większa ta wartość, tym silniejsze oddziaływanie polaryzacyjne. W półprzewodnikach niepolarnych, takich jak krzem, nie występuje odpowiadające temu oddziaływanie dalekiego zasięgu w postaci pola elektrycznego związanego z oscylacjami optycznymi sieci krystalicznej. W związku z tym w tym modelu nie występuje jonowy wkład w odpowiedź dielektryczną, co prowadzi do \(\varepsilon_s=\varepsilon_\infty\) i zaniku oddziaływania Fröhlicha. Ten dielektryczny składnik pojawia się bezpośrednio w elemencie macierzy rozpraszania, który zostanie wyprowadzony poniżej.

Często wygodne jest wyrażanie siły sprzężenia za pomocą pojedynczej, bezwymiarowej liczby, zwanej stałą sprzężenia Fröhlicha.

\[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_{LO}}}\left(\frac{1}{\varepsilon_\infty}-\frac{1}{\varepsilon_s}\right), \]

gdzie \(m^*\) to efektywna masa nośnika. Dla elektronów w arsenku galu \(\alpha\approx 0.07\) (słabe sprzężenie); dla bardziej jonowych materiałów, takich jak azotek galu, tlenek cynku i halogenkowe perowskity, \(\alpha\) ma wartość rzędu 0,4–2. Gdy \(\alpha\) jest małe, oddziaływanie można traktować jako perturbację, co prowadzi do rozpraszania, opisanego poniżej. Gdy \(\alpha\) zbliża się do jedności lub ją przekracza, nośnik pociąga za sobą znaczącą chmurę polaryzacji i lepiej opisać go jako polaron, o zrenormalizowanej masie i energii; w takim przypadku należy ostrożnie stosować wartości perturbacyjne podane na tej stronie.

Absorpcja i emisja w obrazie widmowym

Rozpraszanie Fröhlicha to nieelastyczne przejście, w którym elektron wymienia energię i pęd z fononem LO. Jak przedstawiono w ??, elektron początkowo znajdujący się w stanie \(\mathbf{k}\), o energii \(E(\mathbf{k})\), może ulec jednemu z dwóch procesów:

Absorpcja fononu: elektron zyskuje energię \(\hbar\omega_{LO}\) z sieci krystalicznej, przechodząc do stanu o wyższej energii \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}\), gdzie \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO}\).

Emisja fononów: elektron przekazuje energię \(\hbar\omega_{LO}\) sieci krystalicznej, przechodząc do stanu o niższej energii \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{q}\), gdzie \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO}\).

Oba procesy pozwalają na zachowanie energii i pędu kryształu. Ponieważ fonony LO w pobliżu środka strefy Brillouina są w przybliżeniu nieodkształcające, ich energię \(\hbar\omega_{LO}\) można traktować jako stałą, wynoszącą około 36 meV w arsenku galu (GaAs) i 92 meV w azotku galu (GaN). To narzuca istotne ograniczenie na emisję: elektron musi mieć co najmniej \(\hbar\omega_{LO}\) energii kinetycznej powyżej minimum pasma, zanim będzie mógł wyemitować fonon LO. Elektrony o energii poniżej tego progu mogą jedynie absorbować fonony. Po przekroczeniu progu, otwiera się kanał emisji, umożliwiając gorącym elektronom oddawanie energii do sieci w dyskretnych porcjach \(\hbar\omega_{LO}\). To zachowanie jest wyraźnie widoczne na wykresie ??, który przedstawia obliczone współczynniki absorpcji, emisji i całkowitego rozpraszania dla elektronów w arsenku galu.

Prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z procesów zależy również od liczby fononów LO obecnych w sieci krystalicznej. W stanie równowagi termicznej średnia liczba fononów jest opisywana przez rozkład Bosego-Einsteina.

\[ N_{LO} = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_{LO}/k_B T_L\right)-1}, \]

gdzie \(T_L\) oznacza temperaturę sieci krystalicznej. Prawdopodobieństwo absorpcji jest proporcjonalne do \(N_{LO}\), ponieważ fonon musi już istnieć, aby elektron mógł go zaabsorbować. Emisja, z drugiej strony, jest proporcjonalna do \(N_{LO}+1\). Dodatkowy składnik \(+1\) reprezentuje spontaniczną emisję fononów, która pozostaje możliwa nawet w temperaturze zera, pod warunkiem, że elektron posiada wystarczającą energię.

Dla GaAs w temperaturze 300 K, \(N_{LO}\approx 0.33\), współczynnik zajętości stanów związany z emisją jest około czterokrotnie większy niż współczynnik związany z absorpcją. Rzeczywiste wartości rozpraszania zależą również od dostępnych końcowych stanów elektronowych, co ilustruje ??. Wraz ze wzrostem temperatury sieci krystalicznej, liczba fononów wzrasta, co wzmacnia oddziaływanie i przyczynia się do zmniejszenia ruchliwości nośników, co jest powszechnie obserwowane w polarnych półprzewodnikach.

Element macierzy sprzężenia Fröhlicha

Rozważmy teraz oddziaływanie w ujęciu mechaniki kwantowej. Oddziaływanie między elektronem a podłużnym fononem optycznym opisuje element macierzowy Fröhlicha, który dla objętościowego półprzewodnika polarnego ma postać:

\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]

W tym przypadku \(V\) oznacza objętość normalizacji kryształu, a \(q\) – wektor falowy fononu. Zakładając, że stany elektronowe są falami płaskimi, oddziaływanie łączy stan początkowy \(|\mathbf{k}\rangle\) ze stanem końcowym \(|\mathbf{k}'\rangle\), przy czym zachowany jest pęd kryształu. W przypadku absorpcji i emisji fononów, odpowiednio, wektor falowy w stanie końcowym wynosi \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}\).

Uwzględniając współczynniki wypełnienia stanów fononowych oraz zakładając, że nakładanie się okresowych części początkowej i końcowej funkcji Blocha wynosi w przybliżeniu jeden, kwadraty elementów macierzy przejścia wynoszą:

\[ |M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 = |M(q)|^2 N_{LO}, \]

\[ |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 = |M(q)|^2 (N_{LO}+1). \]

Współczynnik absorpcji zależy od liczby dostępnych fononów LO, natomiast emisja obejmuje dodatkowy składnik spontaniczny. Elementy te macierzy są wykorzystywane w złotym regule Fermiego do obliczenia prawdopodobieństwa przejścia między stanami elektronicznymi.

Od złotego prawa Fermiego do trójwymiarowej całki w przestrzeni k.

Po określeniu elementu macierz sprzężenia Fröhlicha możemy teraz obliczyć szybkość, z jaką elektron przechodzi ze stanu początkowego \(|\mathbf{k}\rangle\) do stanu końcowego \(|\mathbf{k}'\rangle\). Jak pokazano w ??, może to nastąpić poprzez absorpcję lub emisję fononu LO, przy czym elektron zyskuje lub traci energię \(\hbar\omega_{LO}\).

Wykorzystując złotą regułę Fermiego, można obliczyć całkowitą szybkość rozpraszania, sumując wartości dla wszystkich dopuszczalnych wektorów fal fononowych \(\mathbf{q}\) oraz dla obu procesów rozpraszania:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}-\mathbf{q})-E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO} \big) \Big]. \end{aligned} \]

W tym przypadku \(\delta\) oznacza funkcję delta Diraca, która zapewnia zachowanie energii. Elementy macierzowe absorpcji i emisji, \(|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2=|M(q)|^2N_{LO}\) i \(|M_{\mathrm{em}}(q)|^2=|M(q)|^2(N_{LO}+1)\), zostały wprowadzone w poprzedniej sekcji. Zakładamy, że końcowe stany elektronowe są puste, co pozwala pominąć efekt blokowania Pauliego.

Dla wystarczająco dużego kryształu, dozwolone wektory fal fononowych są blisko siebie, a sumę można zastąpić całką po strefie Brillouina:

\[ \sum_{\mathbf{q}} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3q. \]

Współczynnik \(V\) niweluje zależność kwadratowego elementu macierzowego Frölicha od \(1/V\), pozostawiając współczynnik rozpraszania, który jest niezależny od objętości normalizacji kryształu. Po podstawieniu wyrażenia dla \(M_{\mathrm{abs}}(q)\), współczynnik absorpcji staje się równy:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big). \end{aligned} \]

Aby obliczyć wartość tej całki, wykorzystujemy współrzędne sferyczne, w których oś biegunowa jest zorientowana zgodnie z początkowym wektorem falowym elektronu \(\mathbf{k}\). Całkowanie względem kąta azymutalnego daje:

\[ d^3q = 2\pi q^2\,dq\,d(\cos\theta), \]

gdzie \(\theta\) to kąt między wektorami fal elektronu i fononu, \(\mathbf{k}\) i \(\mathbf{q}\). Należy zauważyć, że wkład \(q^2\) pochodzący z elementu objętości kompensuje zależność \(1/q^2\) elementu macierzowego Fröhlicha. Dzięki temu pozostała całka znacznie się upraszcza.

Zakładając paraboliczną, izotropową strukturę pasma przewodnictwa \(E(\mathbf{k})=\hbar^2k^2/2m^*\), argument funkcji delta opisującej absorpcję można rozwinąć w następujący sposób:

\[ \begin{aligned} &E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \\[4pt] &\qquad = \frac{\hbar^2}{2m^*} \left( 2kq\cos\theta+q^2 \right) -\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} \]

Całkowanie w przedziale \(\cos\theta\) eliminuje funkcję delta i wprowadza czynnik \(m^*/(\hbar^2kq)\), pod warunkiem że rozwiązanie spełnia warunek \(-1\leq\cos\theta\leq1\). Ten warunek ogranicza zakres dopuszczalnych wektorów falowych fononów, zgodnie z zasadą zachowania energii i pędu kryształu.

W przypadku absorpcji fononów dopuszczalne wartości mieszczą się w granicach:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k'-k,\\ q_{\max} &= k'+k,\\ k' &= \sqrt{k^2+\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

W przypadku emisji fononów, która wymaga \(E\geq\hbar\omega_{LO}\), odpowiednie wartości graniczne wynoszą:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k-k',\\ q_{\max} &= k+k',\\ k' &= \sqrt{k^2-\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

Pozostała część integracji w układzie radialnym jest prosta:

\[ \int_{q_{\min}}^{q_{\max}} \frac{dq}{q} = \ln\left(\frac{q_{\max}}{q_{\min}}\right). \]

Sumując wyrazy i stosując wzór \(\hbar k=\sqrt{2m^*E}\), gdzie \(E\) oznacza kinetyczną energię nośników mierzoną względem minimalnej energii w paśmie, otrzymujemy standardowe, analityczne wzory na współczynniki rozpraszania Frölicha. W przypadku absorpcji,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} ={}& C(E)N_{LO} \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}+\sqrt{E} }{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}-\sqrt{E} } \right|, \end{aligned} } \]

natomiast w przypadku emisji,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)} ={}& C(E)(N_{LO}+1) \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E}+\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} }{ \sqrt{E}-\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} } \right|, \qquad E\geq\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} } \]

Współczynnik emisji wynosi zero poniżej progu energii fononu LO. W tych wyrażeniach wspólny współczynnik to:

\[ C(E)= \frac{e^2\omega_{LO}}{4\pi\varepsilon_0\hbar} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \sqrt{\frac{m^*}{2E}}. \]

Całkowita szybkość rozpraszania Fröhlicha jest po prostu sumą dwóch składowych:

\[ \boxed{ \frac{1}{\tau(E)} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)}. } \]

Wspólny współczynnik można również wyrazić za pomocą bezwymiarowej stałej sprzężenia Fröhlicha \(\alpha\), co daje \(C(E)=\alpha\omega_{LO}\sqrt{\hbar\omega_{LO}/E}\). Warto zwrócić uwagę na dwa przypadki ekstremalne. W przypadku \(E\rightarrow0\) współczynnik absorpcji zbliża się do skończonej wartości \(2\alpha\omega_{LO}N_{LO}\). W punkcie progu emisji, \(E=\hbar\omega_{LO}\), udział emisji zaczyna się od zera i gwałtownie rośnie wraz ze wzrostem energii nośników.

Takie zachowanie można bezpośrednio zaobserwować na wykresie ??, który przedstawia obliczone wartości absorpcji, emisji i całkowitego rozpraszania dla elektronów w arsenku galu (GaAs) w temperaturze 300 K. W przypadku gorących elektronów, uzyskane wartości zazwyczaj wynoszą od \(10^{12}\) do \(10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\), przy czym czas emisji fononów LO sięga około 0,1–0,2 ps. Te szybkie procesy emisji stanowią ważny mechanizm, dzięki któremu nośniki energii przekazują energię do sieci krystalicznej.

Od rozpraszania nośników po ruchliwość.

Rozpraszanie nośników ładunku odgrywa istotną rolę w określaniu ruchliwości elektrycznej półprzewodnika. Po przyłożeniu pola elektrycznego elektrony i dziury przyspieszają pod wpływem siły pola. Jednak ich ruch jest nieustannie przerywany przez oddziaływania z fononami, zanieczyszczeniami, defektami i innymi nośnikami. Procesy rozpraszania uniemożliwiają nieograniczone przyspieszanie nośników i determinują ich średnią prędkość dryfu.

W najprostszym modelu transportu zależność między ruchliwością nośników ładunku a rozpraszaniem opisuje równanie Drudego.

\[ \boxed{ \mu = \frac{e\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*} } \]

gdzie \(e\) to elementarny ładunek, \(m^*\) to efektywna masa nośników, a \(\tau_{\mathrm{tr}}\) to czas relaksacji pędu. Fizycznie, \(\tau_{\mathrm{tr}}\) opisuje, jak szybko rozpraszanie eliminuje uporządkowany ruch nośników generowany przez przyłożone pole elektryczne. Dłuższy czas relaksacji zazwyczaj prowadzi do wyższej ruchliwości, natomiast silniejsze rozpraszanie pędu ją zmniejsza.

Od rozpraszania po relaksację pędu.

Istnieje istotna różnica między całkowitą szybkością rozpraszania, obliczoną w poprzedniej sekcji, a szybkością, z jaką rozpraszanie wpływa na zmianę pędu nośników. Całkowita szybkość rozpraszania, oznaczona jako \(1/\tau(\mathbf{k})\), uwzględnia każde przejście ze stanu elektronowego początkowego, niezależnie od tego, jak bardzo zmienia się kierunek ruchu nośników.

Wyobraźmy sobie elektron poruszający się z początkowym wektorem falowym \(\mathbf{k}\). Po zdarzeniu rozpraszającym jego wektor falowy zmienia się na \(\mathbf{k}'\), tworząc kąt \(\theta_s\) w stosunku do pierwotnego kierunku. W przypadku izotropowego parabolicznego pasma energetycznego i sprężystego zdarzenia rozpraszającego, elektron zachowuje tę samą prędkość, ale tylko składowa jego prędkości końcowej pozostaje równoległa do pierwotnego kierunku. Ta składowa wynosi:

\[ v_{\parallel}' = v\cos\theta_s. \]

W związku z tym, ubytek pierwotnej, skierowanej prędkości podczas procesu rozpraszania wynosi:

\[ \frac{v-v_{\parallel}'}{v} = \boxed{1-\cos\theta_s}. \]

Ten prosty argument geometryczny wyjaśnia, dlaczego rozpraszanie pod różnymi kątami nie wpływa w równym stopniu na relaksację pędu. Na przykład:

• Rozpraszanie w kierunku do przodu (\(\theta_s=0^\circ\)): współczynnik wynosi zero, ponieważ elektron kontynuuje ruch w pierwotnym kierunku.
• Rozkładając \(90^\circ\): waga wynosi jeden, ponieważ żaden z pierwotnych składowych prędkości nie został zachowany.
• Rozpraszanie wsteczne (\(\theta_s=180^\circ\)): współczynnik ważenia wynosi dwa, ponieważ elektron odwraca kierunek swojego ruchu.

Możemy wykorzystać tę zależność od kąta do określenia przybliżonej szybkości rozpraszania w procesie transportu. W przypadku izotropowych pasm często stosuje się przybliżenie uwzględniające zależność od kąta.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf{k})} \simeq \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} (1-\cos\theta_s) \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta(E'-E-\hbar\omega_{LO}) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta(E'-E+\hbar\omega_{LO}) \Big]. \end{aligned} \]

W tym przypadku \(\theta_s\) oznacza kąt między początkową i końcową prędkością nośnika. W przypadku izotropowej parabolicznej strefy przewodnictwa prędkości te są równoległe do odpowiadających im wektorów falowych. Elementy macierzy \(M_{\mathrm{abs}}\) i \(M_{\mathrm{em}}\) są takie same, jak te wyprowadzone w poprzedniej sekcji.

W przypadku rozpraszania nieelastycznego, gdzie zmienia się również prędkość nośnika, proste ważenie kątowe stanowi jedynie przybliżenie. Bardziej ogólny współczynnik projekcji dla pojedynczego zdarzenia to \(1-(v'/v)\cos\theta_s\) dla izotropowego pasma. Dokładne rozpatrzenie nieelastycznego transportu wymaga rozwiązania liniaryzowanego równania transportu Boltzmanna, które uwzględnia sprzężenie między początkowymi i końcowymi stanami nośnika.

To rozróżnienie ma szczególne znaczenie w przypadku rozpraszania Fröhlicha. Ponieważ oddziaływanie sprzyja małym wektorom fal fononów \(q\), wiele przejść wiąże się ze stosunkowo niewielkimi zmianami kierunku nośników. W związku z tym całkowita szybkość rozpraszania może znacznie różnić się od szybkości, z jaką następuje relaksacja uporządkowanego ruchu nośników.

Obliczanie mobilności na podstawie struktury pasmowej.

Równanie Drudego stanowi przydatny punkt wyjścia, ale w rzeczywistych półprzewodnikach niekoniecznie występuje pojedyncza efektywna masa ani stały czas relaksacji. Zarówno częstość rozpraszania, jak i prędkość nośników mogą się zmieniać w obrębie struktury pasmowej.

Aby to uwzględnić, można obliczyć ruchliwość, uśredniając wkłady pochodzące od stanów elektronowych biorących udział w transporcie. W ramach przybliżenia czasu relaksacji tensor ruchliwości elektronów wynosi:

\[ \boxed{ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})} } \]

W tym równaniu \(n\) oznacza gęstość elektronów, \(f\) to rozkład Fermiego-Diraca, a suma obejmuje odpowiednie pasma elektronowe oraz wyraźnie uwzględnione stany spinowe lub dolinowe. Prędkość grupowa każdego stanu jest obliczana na podstawie dyspersji pasma.

\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]

Pochodna rozkładu Fermiego-Diraca określa, które stany elektronowe wpływają na przewodność elektryczną. Następnie, poprzez obliczenie całki, sumuje się ich prędkości i czasy relaksacji transportowej, aby uzyskać ogólną wartość ruchliwości.

To podejście jest szczególnie przydatne w przypadku numerycznych struktur pasmowych, takich jak te obliczane za pomocą teorii \(k\cdot p\), ponieważ zależne od energii prędkości można uzyskać bezpośrednio z obliczonej zależności dyspersyjnej, zamiast zakładać stałą efektywną masę. Umożliwia to również uwzględnienie różnych mechanizmów rozpraszania poprzez ich wpływ na czas relaksacji transportowej. Przykładowe obliczenia ruchliwości oparte na strukturze pasmowej przedstawiono w materiałach Si/SiGe Δ-valley electron-mobility tutorial i Si/SiGe six-band Luttinger–Kohn hole-mobility tutorial. W tych przykładach dotyczących krzemu wykorzystuje się niepolarne mechanizmy rozpraszania, a nie rozpraszanie Fröhlicha, ale ilustrują one tę samą zależność od struktury pasmowej i szybkości rozpraszania do ruchliwości nośników.