Kwantowy układ typu „studnia potencjału” na bazie krzemu/SiGe: instrukcja dotycząca sześciopasmowej metody Luttingera-Kohna dla dołków walencyjnych

1. Wprowadzenie

W naszym poradniku dotyczącym doliny delta w krzemie zbadaliśmy elektrony w kwantowej studni Si/SiGe. W niniejszym poradniku analizujemy drugą stronę jego struktury elektronicznej: dziury w paśmie walencyjnym. Chociaż warstwy są podobne, podstawowe zasady fizyczne są zupełnie inne. Elektron znajdujący się w pobliżu pojedynczej doliny przewodnictwa w krzemie można opisać za pomocą anizotropowej efektywnej masy; w górnej części pasma walencyjnego znajduje się kilka blisko położonych, oddziałujących ze sobą stanów. Pojedyncza parabola opisująca dziury pomija zatem ważne informacje.

W tym przykładzie wykorzystujemy sześciopasmowy model Luttingera-Kohna (LK6) opracowany przez OghmaNano do obliczenia energii podpasem elektronów w ograniczonej warstwie krzemowej o grubości 10 nm, umieszczonej pomiędzy dwiema warstwami SiGe o grubości 20 nm. Następnie rozszerzamy obliczenia, uwzględniając energię pasmową, a także rozpraszanie fononów akustycznych, zajętość pasm przez elektrony oraz wynikającą z tego ruchliwość w płaszczyźnie. Można skorzystać z dostarczonego domyślnego przykładu, bez konieczności tworzenia struktury od podstaw.

2. Otwieranie przykładowego pliku z sześcioma pasmami.

Wybierz Plik → Nowa symulacja. W przeglądarce przykładów kliknij dwukrotnie folder GaAs demos (??). W tym folderze znajdują się również szablony półprzewodnikowych struktur kwantowych, w tym przykłady z krzemem. W następnym oknie kliknij dwukrotnie Strained Si/SiGe Valence-Band Quantum Well (LK6) (??). Upewnij się, że wybrałeś przykład dotyczący pasma walencyjnego: sąsiedni szablon Delta-Valley oblicza parametry dla elektronów przewodnictwa w krzemie.

3. Analiza struktury Si/SiGe oraz parametrów materiałowych.

Główne okno wyświetla trójwymiarową reprezentację przykładu (??). Nośniki ładunku są ograniczone do warstw, które określamy jako kierunek z, ale zachowują swobodę ruchu w płaszczyźnie x–y. Kliknij „Edytor warstw”, aby zobaczyć rzeczywiste grubości warstw oraz przypisanie warstwy środkowej jako studni kwantowej.

Kolumna materiałów optycznych przedstawiona na rysunku ?? nie zastępuje procedury sprawdzania definicji materiałów elektronicznych. Przesunięcia na krawędzi pasma, skład stopu oraz wszelkie ustawienia naprężeń wpływają na rzeczywisty potencjał ograniczenia, dlatego w pierwszej iteracji zachowaj dostarczoną konfigurację z przykładu.

Otwórz okno parametrów elektrycznych i wybierz Si (QW) (??). Na zrzucie ekranu widoczny jest parametr Luttingera gamma1 oraz odniesienie do literatury. W przeciwieństwie do modelu elektronowego o pojedynczej strefie, obliczenia dotyczące strefy walencyjnej wykorzystują trzy parametry Luttingera do opisu sprzężonych gałęzi: ciężkich dziur, lekkich dziur i odszczepionej gałęzi. Wymagane są również parametry związane z oddziaływaniem spinowo-orbitalnym, a w przypadku uwzględnienia naprężeń – odpowiednie parametry potencjału deformacji.

4. Dlaczego pasmo walencyjne musi składać się z sześciu składników?

W pobliżu maksimum pasma walencyjnego krzemu występują dwie dobrze znane rodziny stanów dziur: ciężkie dziury (HH) i lekkie dziury (LH). Niżej położona rodzina stanów oddzielonych (SO) powstaje w wyniku oddziaływania spinowo-orbitalnego. Każda rodzina ma dwa powiązane ze sobą stany bazowe, co daje sześć składowych w modelu LK6. Są to składowe bazowe sprzężonej funkcji falowej, niekoniecznie sześć niezależnie poruszających się parabol.

Otoczkę studni kwantowej można schematycznie przedstawić jako sześciowektorowy wektor kolumnowy.

\[ \Psi(z)=\begin{pmatrix} F_{\mathrm{HH}+}(z) & F_{\mathrm{LH}+}(z) & F_{\mathrm{SO}+}(z) & F_{\mathrm{HH}-}(z) & F_{\mathrm{LH}-}(z) & F_{\mathrm{SO}-}(z) \end{pmatrix}^{\!T}. \]

W tym przypadku etykiety wskazują na główną cechę bazowej przestrzeni momentu pędu. Wraz ze zmianą momentu w płaszczyźnie, poszczególne składowe zazwyczaj się mieszają, więc stan własny, który początkowo można opisać jako przypominający stan HH, nie musi pozostawać czysto stanem „ciężkiej dziury” przy większym wektorze falowym. Rozwiązywany przez komputer problem ma następującą postać:

\[ \left[H_{\mathrm{LK}}(k_x,k_y,-i\partial_z) +H_{\mathrm{BP}}(\varepsilon)+V_v(z)I_6\right]\Psi =E(k_x,k_y)\Psi. \]

Człon Luttingera–Kohna opisuje energię kinetyczną i mieszanie się stanów walencyjnych; człon Bir–Pikusa opisuje ich reakcję na odkształcenia; a \(V_v(z)\) reprezentuje profil ograniczenia pasma walencyjnego. Model zachowuje sprzężenie między składowymi bazowymi, zamiast przypisywać niezależną, stałą masę do stanów HH, LH i SO. Nie trzeba ręcznie tworzyć tej macierzy w ramach ćwiczeń; szczegółowe informacje na temat hamiltonianu można znaleźć w na stronie poświęconej teorii LK6.

Dla porównania, nawet uproszczone przybliżenie uwzględniające oddziaływania zbiorowe pokazuje, dlaczego ważne są trzy parametry Luttingera: wzdłuż głównej osi kubicznej, krzywizny dla ciężkich i lekkich dziur są powiązane z różnymi kombinacjami tych parametrów, co można przedstawić schematycznie.

\[ \frac{m_0}{m_{\mathrm{HH}}^{*}}\simeq\gamma_1-2\gamma_2, \qquad \frac{m_0}{m_{\mathrm{LH}}^{*}}\simeq\gamma_1+2\gamma_2. \]

To są przydatne, poglądowe przykłady ograniczeń, a nie instrukcja, aby zastąpić pełne obliczenia dla sześciopasmowej struktury kwantowej dwoma oddzielnymi parabolami. W ograniczonej strukturze szerokość warstwy, sprzężenie spinowo-orbitalne, naprężenia i pęd w płaszczyźnie determinują rzeczywiste wartości własne i ich zmieniający się charakter.

5. Uruchamianie obliczeń.

Wróć do zakładki „Plik” i naciśnij „Uruchom symulację”. OghmaNano najpierw rozwiązuje problem stanów walencyjnych LK6 w ograniczonym obszarze, analizując sekwencję wektorów fal w płaszczyźnie. Możesz śledzić obliczenia w zakładce „Terminal” (??). Wyświetlane wartości energii target to wewnętrzne cele solvera; wyświetlane komunikaty o konwergencji wskazują, że poszukiwane stany własne zostały znalezione numerycznie.

Poczekaj, aż proces rozwiązywania się zakończy. Rozpraszanie wymaga dodatkowego czasu, ponieważ należy ocenić przejścia między zajętymi początkowymi i dostępnymi końcowymi stanami elektronicznymi, a nie tylko określić energie podpasm.

6. Analiza obliczonej zależności rozproszenia pasma walencyjnego.

Otwórz zakładkę „Wyniki”. Wygenerowane pliki zawierają wykresy związane z pasmem energetycznym, a także foldery z danymi dotyczącymi rozpraszania i ruchliwości (??). Otwórz wynik dotyczący pasma walencyjnego, aby uzyskać ??.

W przypadku \(k_{\parallel}=0\) ograniczenie determinuje dyskretną początkową energię każdej podstrefy. Przechodząc do skończonego \(k_{\parallel}\), gałęzie krzywej obniżają się zgodnie z przedstawioną konwencją energii elektronów, wykazując nieco odmienne zakrzywienie i rozstaw. Blisko położone pary linii są zgodne z parami związanymi ze spinem (Kramersa) w symetrycznym względem odwrócenia czasu obliczeniu; nie należy ich automatycznie przypisywać do różnych rodzajów dziur.

Przydatnym sposobem na zrozumienie tego zagadnienia jest zapamiętanie, że „dziura” to brak elektronu w paśmie walencyjnym. Energię „dziury” można zatem wyrazić w odniesieniu do wybranego punktu odniesienia w paśmie walencyjnym jako:

\[ E_h(\mathbf{k}_{\parallel})=E_{v,\mathrm{ref}}-E_v(\mathbf{k}_{\parallel}). \]

W związku z tym, odgałęzienie odpowiadające elektronowi walencyjnemu, które zakrzywia się w dół, oddalając się od swojego maksimum, odpowiada rosnącej energii wzbudzenia dziury. Rzeczywisty charakter danego odgałęzienia – czy jest to odgałęzienie odpowiadające ciężkiej dziurze (HH), lekkiej dziurze (LH), czy też stanowi ono kombinację tych właściwości (SO) – jest określany na podstawie sześciokomponentowego wektora własnego, a nie tylko na podstawie jego koloru lub krzywizny.

Warto porównać ten wynik z rozkładem pasma przewodnictwa w materiale opisanym w tutorial dotyczący doliny Δ w krzemie. Tam różne orientacje dolin są uwzględniane poprzez zastosowanie anizotropowych mas elektronów; tutaj stany dziur są bezpośrednio sprzężone w wielopasmowym hamiltonianie pasma walencyjnego.

7. Rozpraszanie akustyczne i czas życia dziur elektronowych

Struktura pasmowa informuje nas, jakie stany dziur elektronowych są dostępne, ale sama z siebie nie pozwala przewidzieć, jak szybko dziura traci swój pęd. W tym przykładzie OghmaNano wykorzystuje obliczone, ograniczone stany do oceny rozpraszania przez fonony akustyczne. Fonon akustyczny generuje niewielkie pole naprężeń w krysztale, zaburzając pasma walencyjne i potencjalnie przenosząc dziurę z początkowego stanu \(i\) do stanu końcowego \(f\).

Otwórz folder z danymi rozproszonymi w zakładce „Wyniki” (??). Ponumerowane pliki reprezentują obliczone stany. Na przykład, na dołączonym zrzucie ekranu si_lk6_acoustic_tau_02.csv przedstawiono zależność czasu życia rozpraszania akustycznego od wektora falowego w płaszczyźnie.

Punktem wyjścia w rozważaniach fizycznych jest złota reguła Fermiego.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle\Psi_f|H_{\mathrm{e-ph}}|\Psi_i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}). \]

Element macierzy opisuje, jak silnie drgania sieci krystalicznej sprzęgają się z dwoma stanami dziur; funkcja delta reprezentuje zachowanie energii podczas absorpcji lub emisji fononu. W sześciopasmowym modelu pasma walencyjnego sprzężenie zależy od wieloskładnikowych funkcji falowych dziur, dlatego na dozwolone przejścia wpływa mieszanie się stanów HH/LH/SO, a także dostępne energie końcowe. Niniejsze wyniki dotyczą aproksymacji fononów akustycznych, zastosowanej w tym przykładzie.

Suma prawdopodobieństw wszystkich dozwolonych przejść daje całkowitą częstotliwość występowania zdarzeń \(\Gamma_i\) wraz z odpowiadającym jej czasem życia.

\[ \Gamma_i=\sum_f W_{i\rightarrow f},\qquad \tau_i=\frac{1}{\Gamma_i}\quad(\Gamma_i\gt 0). \]

Czas życia, podany w ??, nie jest stały. Zmienia się wraz z przemieszczaniem się wektora falowego przez różne obszary skorelowanej dyspersji pasma walencyjnego. Wartość zero wyświetlana w pierwszym punkcie próbkowania powinna być traktowana jako konwencja oznaczająca granicę/wyjście lub wartość wymagająca sprawdzenia, a nie jako dowód na to, że czas życia rozpraszania fizycznie znika dokładnie w punkcie \(k_{\parallel}=0\).

Istnieje jeszcze jedno rozróżnienie, które ma znaczenie dla procesu transportu: nie każde zderzenie powoduje równomierne rozpraszanie prądu. Rozpraszanie przy małych kątach może zmieniać stan mikroskopowy, wywierając jednocześnie stosunkowo niewielki wpływ na ogólny kierunek ruchu. Dlatego często stosuje się uproszczony zapis dla wskaźnika uwzględniającego transport, który wygląda następująco:

\[ \Gamma_{\mathrm{tr},i}=\sum_f W_{i\rightarrow f} \left(1-\cos\theta_{if}\right),\qquad \tau_{\mathrm{tr},i}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr},i}}. \]

Przedstawione równanie ilustruje zasadę relaksacji pędu; w przypadku anizotropowych pasm mieszanych, pełne obliczenia transportowe muszą uwzględniać odpowiednie prędkości i współczynniki. Dlatego wyniki prezentowane są oddzielnie dla parametrów związanych z rozpraszaniem akustycznym oraz dla parametrów związanych z transportem, zamiast stosować jedną wartość dla wszystkich celów.

8. Od gęstości defektów i poziomu Fermiego do ruchliwości nośników.

Aby uzyskać mierzalną właściwość transportową, należy połączyć informacje o rozpraszaniu z informacją o liczbie nośników ładunku (dziur) znajdujących się w każdej części każdej podstrefy. Dlatego w ramach tego samouczka przeprowadzane jest badanie gęstości nośników ładunku w warstwie \(p_{2D}\), wyrażonej w jednostkach m−2.

Poziom Fermiego określa, które stany elektronowe są zajęte. W przypadku energii elektronów walencyjnych \(E_v\), równowagowy stopień zajętości odpowiadającego stanu dziury można zapisać w następujący sposób:

\[ f_h(E_v)=1-f_e(E_v) =\frac{1}{1+\exp\!\left[(E_F-E_v)/(k_B T)\right]}. \]

Zwiększenie gęstości otworów w warstwie powoduje zmianę potencjału chemicznego w stosunku do stanów walencyjnych, co ilustruje wykres po lewej stronie. Dokładne wartości energii zależą od przyjętego przez model punktu odniesienia; kierunek zmiany i wynikowe populacje stanowią kluczowe elementy.

Następnie OghmaNano oblicza prędkość i czas relaksacji transportu dla poszczególnych stanów, aby określić przewodność elektryczną warstwy w płaszczyźnie \(\sigma_{2D}\). Odpowiadająca temu ruchliwość dziur wynosi

\[ \mu_h=\frac{\sigma_{2D}}{q\,p_{2D}}, \qquad \sigma_{2D}\sim q^2\sum_n\int \frac{d^2 k_{\parallel}}{(2\pi)^2} \,v_{n,x}^{2}\,\tau_{\mathrm{tr},n} \left(-\frac{\partial f_e}{\partial E}\right). \]

W tym miejscu \(v_{n,x}\) oznaczamy grupową prędkość w płaszczyźnie podpasma \(n\), a całka wskazuje, że stany o różnych wektorach fal przyczyniają się w różnym stopniu do powstania prądu. Wykres mobilności (??) wykazuje niewielki spadek w przedstawionym zakresie gęstości (w przybliżeniu od 0,165 do 0,151 m2 V−1 s−1). Jest to wynik uzyskany dla skonfigurowanego przykładu i uwzględnionych w nim mechanizmów rozpraszania, a nie uniwersalna zależność opisująca mobilność dziur w krzemie ani prognoza uwzględniająca wszystkie eksperymentalne mechanizmy strat.

9. Wypróbuj to sam.

W ten sposób kończy się seria wprowadzająca do tematyki studni kwantowych, obejmująca sześć modeli. Pełne matematyczne sformułowanie oraz znaczenie parametrów materiałowych opisane są w rozdziale sześciopasmowa teoria Luttingera–Kohna oraz w rozdziale teoria deformacji Bir–Pikusa.