Κβαντική πηγή πυριτίου/SiGe: Εκπαιδευτικό υλικό για τις έξι ζώνες Luttinger–Kohn για οπές.

1. Εισαγωγή

Στο σεμινάριο για την πυριτική Δ-κοιλάδα, εξετάσαμε τα ηλεκτρόνια σε μια κβαντική φρεάτιδα Si/SiGe. Σε αυτό το σεμινάριο, εξετάζουμε την άλλη πλευρά της ηλεκτρονικής του δομής: τις οπές στη ζώνη σθένους. Παρόλο που η διάταξη των στρώσεων είναι παρόμοια, η υποκείμενη φυσική είναι αρκετά διαφορετική. Ένα ηλεκτρόνιο κοντά σε μια μεμονωμένη πυριτική ζώνη αγωγιμότητας μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας μια ανισότροπη αποτελεσματική μάζα· η κορυφή της ζώνης σθένους περιέχει αρκετές κοντινές, αλληλεπιδρώντες καταστάσεις. Επομένως, μια απλή παραβολή για τις οπές δεν περιλαμβάνει σημαντικές πληροφορίες.

Εδώ, χρησιμοποιούμε το εξα-ζωνικό μοντέλο Luttinger–Kohn (LK6) της OghmaNano για να υπολογίσουμε τις περιορισμένες υποζώνες οπών σε μια πηγή πυριτίου 10 nm, η οποία βρίσκεται ανάμεσα σε δύο στρώσεις SiGe 20 nm. Στη συνέχεια, επεκτείνουμε τον υπολογισμό πέρα από τις ενέργειες των ζωνών: το παράδειγμα αξιολογεί επίσης τη σκέδαση ακουστικών φωνόνων, την πληρότητα των οπών και την επακόλουθη ενδοεπίπεδη κινητικότητα. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το παρεχόμενο προεπιλεγμένο παράδειγμα χωρίς να χρειαστεί να δημιουργήσετε τη δομή από την αρχή.

2. Άνοιγμα του παραδείγματος με τις έξι ζώνες.

Επιλέξτε Αρχείο → Νέα προσομοίωση. Στο παράδειγμα του προγράμματος περιήγησης, κάντε διπλό κλικ στο GaAs demos (??). Αυτός ο φάκελος περιέχει επίσης τα πρότυπα ημιαγωγών ποσοτικών φρεάτων, συμπεριλαμβανομένων παραδειγμάτων πυριτίου. Στο επόμενο παράθυρο, κάντε διπλό κλικ στο Strained Si/SiGe Valence-Band Quantum Well (LK6) (??). Προσέξτε να επιλέξετε το παράδειγμα Valence-Band: το γειτονικό πρότυπο Delta-Valley υπολογίζει τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας του πυριτίου.

3. Έλεγχος της δομής Si/SiGe και των παραμέτρων των υλικών.

Το κύριο παράθυρο παρέχει μια τρισδιάστατη απεικόνιση του παραδείγματος (??). Τα φορείς φόρτισης περιορίζονται στις διαδοχικές στρώσεις, τις οποίες ονομάζουμε κατεύθυνση z, αλλά διατηρούν την ελευθερία κίνησης στο επίπεδο x–y. Κάντε κλικ στο "Επεξεργαστής στρώσεων" για να δείτε τις πραγματικές διαστάσεις και την ανάθεση της κεντρικής στρώσης ως κβαντικό πηγάδι.

Η στήλη οπτικών υλικών που εμφανίζεται στην εικόνα ?? δεν αποτελεί υποκατάστατο για τον έλεγχο των ορισμών των ηλεκτρονικών υλικών. Οι μετατοπίσεις στις άκρες των ζωνών, η σύνθεση του κράματος και τυχόν ρυθμίσεις τάσης επηρεάζουν την πραγματική δυναμική περιορισμού, επομένως διατηρήστε τη διαμορφωμένη ρύθμιση του παραδείγματος για την πρώτη σας εκτέλεση.

Ανοίξτε τις ηλεκτρικές παραμέτρους και επιλέξτε Si (QW) (??). Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει την παράμετρο Luttinger gamma1 και την αντίστοιχη βιβλιογραφική αναφορά. Σε αντίθεση με ένα μοντέλο ενός μόνο ενεργειακού ζωνιού, ο υπολογισμός της ενεργειακής ζώνης σθένους χρησιμοποιεί τρεις παραμέτρους Luttinger για να περιγράψει τις συνδεδεμένες διακλαδώσεις βαριάς οπής, ελαφριάς οπής και διαχωρισμένης οπής. Επίσης, απαιτεί τη διάσπαση σπιν-τροχιάς και, όταν η παραμόρφωση είναι ενεργοποιημένη, τις κατάλληλες παραμέτρους δυναμικού παραμόρφωσης.

4. Γιατί η ζώνη σθένους χρειάζεται έξι συστατικά;

Κοντά στο μέγιστο της ενεργειακής ζώνης αγωγιμότητας του πυριτίου, υπάρχουν δύο γνωστές οικογένειες καταστάσεων οπών: οι «βαριές» οπές (HH) και οι «ελαφριές» οπές (LH). Μια τρίτη οικογένεια, η οποία βρίσκεται σε χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη και ονομάζεται «αποσυνδεδεμένη» (SO), προκύπτει μέσω της αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς. Κάθε οικογένεια έχει δύο βασικές καταστάσεις που σχετίζονται με το σπιν, δίνοντας τις έξι συνιστώσες στο μοντέλο LK6. Αυτές είναι οι βασικές συνιστώσες μιας συζευγμένης κυματοσυνάρτησης και δεν είναι απαραίτητα έξι ανεξάρτητα κινούμενες παραβολικές ζώνες.

Το περίγραμμα της κβαντικής περιοχής μπορεί να απεικονιστεί σχηματικά ως ένα διανυσματικό στήλη με έξι συνιστώσες.

\[ \Psi(z)=\begin{pmatrix} F_{\mathrm{HH}+}(z) & F_{\mathrm{LH}+}(z) & F_{\mathrm{SO}+}(z) & F_{\mathrm{HH}-}(z) & F_{\mathrm{LH}-}(z) & F_{\mathrm{SO}-}(z) \end{pmatrix}^{\!T}. \]

Εδώ, οι ετικέτες υποδεικνύουν το κυρίαρχο χαρακτηριστικό της υποκείμενης βάσης της γωνιακής ορμής. Καθώς αλλάζει η ορμή στο επίπεδο, οι συνιστώσες αναμειγνύονται γενικά, επομένως μια ιδιοκατάσταση που αρχικά περιγράφεται ως τύπου HH δεν είναι απαραίτητο να παραμένει καθαρά τύπου "βαριάς οπής" σε μεγαλύτερο διανυσματικό κύμα. Το πρόβλημα που επιλύει ο υπολογιστής έχει την εξής μορφή:

\[ \left[H_{\mathrm{LK}}(k_x,k_y,-i\partial_z) +H_{\mathrm{BP}}(\varepsilon)+V_v(z)I_6\right]\Psi =E(k_x,k_y)\Psi. \]

Ο όρος Luttinger–Kohn περιγράφει την κινητική ενέργεια και την ανάμειξη των ενεργειακών ζωνών σθένους· ο όρος Bir–Pikus περιγράφει την απόκρισή τους στην τάση· και το \(V_v(z)\) αντιπροσωπεύει το προφίλ περιορισμού της ενεργειακής ζώνης σθένους. Το μοντέλο διατηρεί τη σύζευξη μεταξύ των βασικών συνιστωσών, αντί να αποδίδει μια ανεξάρτητη σταθερή μάζα στις HH, LH και SO. Δεν χρειάζεται να συναρμολογήσετε αυτόν τον πίνακα χειροκίνητα για το σεμινάριο· δείτε τη σελίδα η σελίδα της θεωρίας LK6 για το λεπτομερές Hamiltonian.

Για λόγους σύγκρισης, ακόμη και μια απλοποιημένη προσέγγιση σε επίπεδο συνόλου δείχνει γιατί οι τρεις παράμετροι Luttinger είναι σημαντικές: κατά μήκος μιας κυβικής κύριας διεύθυνσης, οι καμπυλότητες των «βαρέων» και «ελαφρών» οπών σχετίζονται με διαφορετικούς συνδυασμούς των παραμέτρων, όπως απεικονίζεται σχηματικά.

\[ \frac{m_0}{m_{\mathrm{HH}}^{*}}\simeq\gamma_1-2\gamma_2, \qquad \frac{m_0}{m_{\mathrm{LH}}^{*}}\simeq\gamma_1+2\gamma_2. \]

Αυτές είναι χρήσιμες ενδεικτικές σχέσεις περιορισμού, και όχι μια οδηγία για την αντικατάσταση της πλήρους υπολογιστικής μεθόδου των έξι ενεργειακών ζωνών με δύο ξεχωριστές παραβολές. Στην περιορισμένη δομή, το πλάτος της περιοχής, η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς, η τάση και η ορμή στο επίπεδο καθορίζουν τις πραγματικές ιδιοτιμές και την μεταβαλλόμενη φύση τους.

5. Εκτέλεση του υπολογισμού.

Επιστρέψτε στην καρτέλα "Αρχείο" και πατήστε "Εκτέλεση προσομοίωσης". Το OghmaNano πρώτα υπολογίζει τις περιορισμένες καταστάσεις σθένους LK6 σε μια σειρά διανυσμάτων κυμάτων στο επίπεδο. Μπορείτε να παρακολουθήσετε τον υπολογισμό στην καρτέλα "Τερματικό" (??). Οι εμφανιζόμενες ενέργειες target είναι οι εσωτερικές τιμές-στόχοι του επιλυτή ιδιοτιμών· τα μηνύματα σύγκλισης που εμφανίζονται υποδεικνύουν ότι οι ζητούμενες ιδιοκαταστάσεις έχουν βρεθεί αριθμητικά.

Περιμένετε μέχρι να ολοκληρωθεί η διαδικασία επίλυσης. Η διαδικασία διασποράς απαιτεί επιπλέον χρόνο, επειδή πρέπει να υπολογιστούν οι μεταβάσεις μεταξύ των κατειλημμένων αρχικών και των διαθέσιμων τελικών ηλεκτρονικών καταστάσεων, αντί απλώς να προσδιοριστούν οι ενέργειες των υποζωνών.

6. Ανάλυση της υπολογισμένης διασποράς της ενεργειακής ζώνης σθένους.

Ανοίξτε την καρτέλα "Έξοδος". Τα αρχεία που θα δημιουργηθούν περιλαμβάνουν γραφήματα που σχετίζονται με τις ζώνες ενέργειας, καθώς και φακέλους με δεδομένα διασποράς και κινητικότητας (??). Ανοίξτε το αποτέλεσμα για τη ζώνη σθένους για να δείτε το ??.

Στο \(k_{\parallel}=0\), ο περιορισμός καθορίζει τη διακριτή αρχική ενέργεια κάθε υποζώνης. Μεταβαίνοντας σε πεπερασμένο \(k_{\parallel}\), οι κλάδοι κάμπτονται προς τα κάτω στην εμφανιζόμενη σύμβαση ενέργειας των ηλεκτρονίων, με ελαφρώς διαφορετική καμπυλότητα και απόσταση. Τα κοντινά ζεύγη γραμμών είναι συνεπή με τις σχετικές με το σπιν (Kramers) συμμετρικές ως προς την αντιστροφή του χρόνου, και δεν θα πρέπει να αποδίδονται αυτόματα σε διαφορετικά είδη οπών.

Ένας χρήσιμος τρόπος για να κατανοήσουμε αυτή την έννοια είναι να θυμόμαστε ότι η «τρύπα» είναι η απουσία ενός ηλεκτρονίου στη ζώνη αγωγιμότητας. Επομένως, η ενέργεια της τρύπας μπορεί να εκφραστεί σε σχέση με μια επιλεγμένη αναφορά της ζώνης αγωγιμότητας ως εξής:

\[ E_h(\mathbf{k}_{\parallel})=E_{v,\mathrm{ref}}-E_v(\mathbf{k}_{\parallel}). \]

Έτσι, ένα κλαδί των ηλεκτρονίων σθένους που καμπυλώνει προς τα κάτω, απομακρυνόμενο από το μέγιστό του, αντιστοιχεί σε μια αυξανόμενη ενέργεια διεγέρσης οπών. Η πραγματική φύση ενός συγκεκριμένου κλαδιού ως προς τις ιδιότητες HH/LH/SO καθορίζεται από το διάνυσμα ιδιοτιμών με έξι συνιστώσες και όχι μόνο από το χρώμα ή την καμπυλότητά του.

Είναι χρήσιμο να συγκριθεί αυτό το αποτέλεσμα με τη διασπορά της ζώνης αγωγιμότητας στο σεμινάριο για την κοιλάδα Δ του πυριτίου. Εκεί, οι διαφορετικές κατευθύνσεις των κοιλάδων αντιμετωπίζονται χρησιμοποιώντας ανισότροπες μάζες ηλεκτρονίων· εδώ, οι καταστάσεις των οπών συνδέονται άμεσα στο πολυζωνικό Hamiltonian της ζώνης σθένους.

7. Διασπορά ακουστικών φωνόνων και διάρκεια ζωής των οπών.

Μια δομή ζωνών μας ενημερώνει για το ποιες καταστάσεις οπών είναι διαθέσιμες, αλλά από μόνη της δεν μπορεί να προβλέψει πόσο γρήγορα μια οπή χάνει την ορμή της. Σε αυτό το παράδειγμα, η OghmaNano χρησιμοποιεί τις υπολογισμένες περιορισμένες καταστάσεις για να αξιολογήσει τη σκέδαση ακουστικών φωνόνων. Ένας ακουστικός φωνόνας παράγει ένα μικρό πεδίο τάσης στο κρύσταλλο, διαταράσσοντας τις ζώνες σθένους και ενδεχομένως μεταφέροντας μια οπή από μια αρχική κατάσταση \(i\) σε μια τελική κατάσταση \(f\).

Ανοίξτε τον φάκελο διασποράς στην καρτέλα "Έξοδος" (??). Τα αριθμημένα αρχεία αντιπροσωπεύουν τις υπολογισμένες καταστάσεις. Για παράδειγμα, η παρεχόμενη εικόνα οθόνης του si_lk6_acoustic_tau_02.csv απεικονίζει τη διάρκεια ζωής της ακουστικής διασποράς σε σχέση με τον επιπεδιαίο διανυσματικό κύμα.

Το αρχικό σημείο είναι ο χρυσός κανόνας του Φέρμι.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle\Psi_f|H_{\mathrm{e-ph}}|\Psi_i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}). \]

Το στοιχείο της μήτρας περιγράφει πόσο έντονα μια δόνηση του πλέγματος συνδέει τις δύο καταστάσεις οπών· η συνάρτηση δέλτα αντιπροσωπεύει τη διατήρηση της ενέργειας για την απορρόφηση ή την εκπομπή φωνονίων. Σε ένα μοντέλο έξι ζωνών σθένους, η σύζευξη εξαρτάται από τις πολυ-συνιστώσες συναρτήσεις κύματος των οπών, επομένως οι επιτρεπόμενες μεταπτώσεις επηρεάζονται από την ανάμιξη HH/LH/SO, καθώς και από τις διαθέσιμες τελικές ενέργειες. Η παρούσα έξοδος αφορά την προσέγγιση ακουστικών φωνονίων που χρησιμοποιείται σε αυτό το παράδειγμα.

Η άθροιση των επιτρεπόμενων μεταβάσεων δίνει τη συνολική συχνότητα των συμβάντων \(\Gamma_i\), μαζί με την αντίστοιχη διάρκεια ζωής.

\[ \Gamma_i=\sum_f W_{i\rightarrow f},\qquad \tau_i=\frac{1}{\Gamma_i}\quad(\Gamma_i\gt 0). \]

Ο χρόνος ζωής που εμφανίζεται στο ?? δεν είναι σταθερός. Αλλάζει καθώς το διανυσματικό κύμα διατρέχει διαφορετικά τμήματα της συνδεδεμένης διασποράς της ζώνης σθένους. Η τιμή μηδέν που εμφανίζεται στο πρώτο σημείο δειγματοληψίας θα πρέπει να αντιμετωπίζεται ως μια σύμβαση ορίου/εξόδου ή ως μια τιμή που απαιτεί έλεγχο, και όχι ως απόδειξη ότι ο χρόνος ζωής της σκέδασης μηδενίζεται ακριβώς στο \(k_{\parallel}=0\).

Υπάρχει μια επιπλέον διάκριση που είναι σημαντική για τη μεταφορά: δεν κάθε σύγκρουση χαλαρώνει το ρεύμα με τον ίδιο τρόπο. Η σκέδαση σε μικρές γωνίες μπορεί να αλλάξει τη μικροσκοπική κατάσταση, ενώ έχει σχετικά μικρή επίδραση στην καθαρή κατεύθυνση της κίνησης. Επομένως, ένας ρυθμός που λαμβάνει υπόψη τη μεταφορά συχνά γράφεται σχηματικά ως:

\[ \Gamma_{\mathrm{tr},i}=\sum_f W_{i\rightarrow f} \left(1-\cos\theta_{if}\right),\qquad \tau_{\mathrm{tr},i}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr},i}}. \]

Η γωνιακή έκφραση απεικονίζει την αρχή της χαλάρωσης της ορμής· για ανισότροπες μικτές ζώνες, η πλήρης υπολογιστική διαδικασία μεταφοράς πρέπει να χρησιμοποιεί τις κατάλληλες ταχύτητες και σταθμίσεις. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η έξοδος διαχωρίζει τους ρυθμούς/χρόνους σκέδασης ακουστικών κυμάτων από τις ποσότητες που σχετίζονται με τη μεταφορά, αντί να χρησιμοποιεί έναν ενιαίο αριθμό για κάθε σκοπό.

8. Από την πυκνότητα των οπών και το επίπεδο Fermi στην κινητικότητα.

Για να αποκτήσουμε μια μετρήσιμη ιδιότητα μεταφοράς, πρέπει να συνδυάσουμε τις πληροφορίες διασποράς με τον αριθμό των κενών θέσεων που καταλαμβάνουν κάθε τμήμα κάθε υποζώνης. Επομένως, το εκπαιδευτικό υλικό περιλαμβάνει μια σάρωση της πυκνότητας των κενών θέσεων ανά επιφάνεια \(p_{2D}\), με μονάδες m−2.

Το επίπεδο Fermi καθορίζει ποιες ηλεκτρονικές καταστάσεις είναι κατειλημμένες. Για μια ενέργεια ηλεκτρονίου σθένους \(E_v\), η ισορροπημένη πληρότητα της αντίστοιχης κατάστασης οπής μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\[ f_h(E_v)=1-f_e(E_v) =\frac{1}{1+\exp\!\left[(E_F-E_v)/(k_B T)\right]}. \]

Η αύξηση της πυκνότητας των οπών στο φύλλο μετατοπίζει τη χημική δυναμική σε σχέση με τις ενεργειακές ζώνες, κάτι που απεικονίζεται στο αριστερό διάγραμμα. Οι ακριβείς αριθμητικές τιμές ενέργειας εξαρτώνται από την αναφορά που υιοθετεί το μοντέλο· η κατεύθυνση της σάρωσης και οι προκύπτουσες πληθυσμιακές κατανομές αποτελούν τα κύρια χαρακτηριστικά.

Στη συνέχεια, το OghmaNano υπολογίζει την ταχύτητα και τον χρόνο χαλάρωσης της μεταφοράς των ενεργειακών καταστάσεων, προκειμένου να προσδιορίσει την αγωγιμότητα του υλικού στο επίπεδο \(\sigma_{2D}\). Η αντίστοιχη κινητικότητα των οπών είναι

\[ \mu_h=\frac{\sigma_{2D}}{q\,p_{2D}}, \qquad \sigma_{2D}\sim q^2\sum_n\int \frac{d^2 k_{\parallel}}{(2\pi)^2} \,v_{n,x}^{2}\,\tau_{\mathrm{tr},n} \left(-\frac{\partial f_e}{\partial E}\right). \]

Εδώ, \(v_{n,x}\) είναι η οριζόντια ομαδική ταχύτητα της υποζώνης \(n\), και το ολοκλήρωμα υποδεικνύει ότι οι καταστάσεις με διαφορετικούς διανυσματικούς αριθμούς κύματος συμβάλλουν διαφορετικά στο ρεύμα. Η καμπύλη της κινητικότητας (??) μειώνεται ελαφρώς στο εύρος της πυκνότητας που εμφανίζεται (περίπου από 0,165 έως 0,151 m2 V−1 s−1). Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα για το συγκεκριμένο παράδειγμα και τη φυσική σκέδασης που περιλαμβάνει, και όχι ένας καθολικός νόμος κινητικότητας οπών του πυριτίου ή μια πρόβλεψη που ενσωματώνει κάθε πειραματικό μηχανισμό απώλειας.

9. Δοκιμάστε το μόνοι σας.

Με αυτό ολοκληρώνεται η εισαγωγική σειρά των έξι μοντέλων για τις κβαντικές πηγές. Η πλήρης μαθηματική διατύπωση και η σημασία των παραμέτρων του υλικού περιγράφονται στην ενότητα για τη θεωρία Luttinger–Kohn με έξι ζώνες και στην ενότητα για την παραμόρφωση Bir–Pikus.