Ψευδομορφική επιταξία και τανυστικοί παράγοντες τάσης

Όταν μια στρώση αναπτύσσεται πάνω σε ένα υπόστρωμα με διαφορετική σταθερά πλέγματος, παραμορφώνεται ώστε να ταιριάζει με την απόσταση μεταξύ των ατόμων του υποστρώματος στο επίπεδο. Αυτή η ψευδομορφική τάση δεν είναι ένα ενοχλητικό φαινόμενο που πρέπει να αποφεύγεται: είναι ένα εργαλείο σχεδιασμού που μετατοπίζει τις άκρες των ενεργειακών ζωνών, διαχωρίζει τις ζώνες των «βαρέων» και «ελαφρών» οπών και ρυθμίζει το μήκος κύματος και την πόλωση της εκπομπής. Αυτή η σελίδα παρουσιάζει τον τανυστή τάσης που χρησιμοποιεί η OghmaNano και εξηγεί πώς αυτός τροφοδοτεί τις συναρτήσεις k·p Hamiltonian.

1. Ψευδομορφική ανάπτυξη

Κάτω από ένα κρίσιμο πάχος, μια λεπτή στρώση αναπτύσσεται με συνεκτικό τρόπο: οι ατομικές σειρές στο επίπεδο της στρώσης ευθυγραμμίζονται με το υπόστρωμα, έτσι ώστε η σταθερά της κρυσταλλικής πλέγματος στο επίπεδο της στρώσης να προσαρμόζεται σε αυτή του υποστρώματος, ενώ παράλληλα επιτρέπεται η ελεύθερη χαλάρωση κατά μήκος της κατεύθυνσης ανάπτυξης. Ως εκ τούτου, η τάση στο επίπεδο της στρώσης είναι

\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]

όπου \(a_{\text{sub}}\) και \(a_{\text{layer}}\) είναι οι σταθερές της κρυσταλλικής πλέγματος του υποστρώματος και της επίστρωσης, αντίστοιχα, χωρίς τάση. Εάν η φυσική απόσταση της επίστρωσης υπερβαίνει αυτή του υποστρώματος (\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)), η εγκάρσια τάση είναι αρνητική και η επίστρωση υφίσταται συμπιεστική τάση· το αντίστροφο οδηγεί σε εφελκυστική τάση. Το OghmaNano επισημαίνει ένα σφάλμα εάν οι σταθερές της κρυσταλλικής πλέγματος ή οι ελαστικές σταθερές λείπουν, επειδή η τάση δεν μπορεί να οριστεί σε αυτήν την περίπτωση.

2. Η παραμόρφωση εκτός του επιπέδου.

Κατά μήκος της κατεύθυνσης ανάπτυξης, το στρώμα είναι ελεύθερο, επομένως δεν υπάρχει τάση κάθετη στην επιφάνεια: \(\sigma_{zz}=0\). Για έναν κυβικό κρύσταλλο που αναπτύσσεται στην επιφάνεια [001], ο νόμος του Hooke συσχετίζει την κάθετη τάση με τις παραμορφώσεις μέσω των ελαστικών σταθερών \(C_{11}\) και \(C_{12}\).

\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]

Ορίζοντας το \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\) και επιλύοντας, προκύπτει η σχέση που χρησιμοποιεί το OghmaNano.

\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]

Επομένως, το στρώμα παραμορφώνεται με αντίθετο τρόπο κατά μήκος του. \(z\): ένα στρώμα που υπόκειται σε συμπιεστική τάση (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0), και αντίστροφα. Για την ανάπτυξη [001], οι συνιστώσες διάτμησης \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) είναι όλα μηδέν, επομένως η τάση είναι καθαρά διαξονική.

3. Υδροστατικά και δίαξια εξαρτήματα.

Είναι χρήσιμο να διαχωρίσουμε την τάση σε ένα υδροστατικό μέρος, το οποίο αλλάζει τον όγκο, και σε ένα διαξονικό (διατμητικό) μέρος, το οποίο αλλάζει το σχήμα. Το υδροστατικό μέρος είναι το ίχνος.

\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]

η οποία μεταβάλλει το ενεργειακό χάσμα μέσω των δυναμικών παραμόρφωσης. Το διαξονικό τμήμα, το οποίο είναι ανάλογο του \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\), δεν αλλάζει τον όγκο, αλλά αίρει την εκφυλισμένη κατάσταση των ζωνών σθένους και, στην περίπτωση του πυριτίου, διαχωρίζει τις κοιλάδες αγωγιμότητας. Τα δύο τμήματα δρουν μέσω διαφορετικών όρων του Χαμιλτονιανού, επομένως μπορούν να συζητηθούν ανεξάρτητα.

4. Επίδραση στις άκρες της ζώνης.

Η υδροστατική συνιστώσα μετατοπίζει τη ζώνη αγωγιμότητας κατά \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) και τη μέση ζώνη σθένους κατά \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), αλλάζοντας το ενεργειακό χάσμα. Η διαξονική συνιστώσα επηρεάζει τη ζώνη σθένους μέσω των δυναμικών παραμόρφωσης διάτμησης \(b\) και \(d\) (για δομή τύπου σφαλερίτη) και διαχωρίζει τις «βαριές» και τις «ελαφριές» οπές. Η θλιπτική παραμόρφωση συνήθως ωθεί την «βαριά» οπή στην υψηλότερη θέση, ευνοώντας την εκπομπή TE· η εφελκτική παραμόρφωση μπορεί να ωθήσει την «ελαφριά» οπή προς τα πάνω, ευνοώντας την εκπομπή TM. Οι ακριβείς τελεστές αποτελούν το αντικείμενο της σελίδας Bir–Pikus, και ο τρόπος με τον οποίο κάθε λύτης χρησιμοποιεί τον τανυστή παραμόρφωσης συνοψίζεται εκεί και στις σελίδες του μοντέλου (zincblende, wurtzite, silicon, Luttinger–Kohn).