Κατανόηση του μοντέλου 8-ζωνών Zincblende k·p.

Γιατί χρειαζόμαστε οκτώ ζώνες;

Στο παραδειγματικό μάθημα για τις παραβολικές ζώνες, θεωρήσαμε τις ζώνες αγωγιμότητας και σθένους ως ανεξάρτητες παραβολές. Αυτό αποτελεί ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης: η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger σε όλη την περιοχή δίνει τις περιορισμένες καταστάσεις και επιτρέποντας στους φορείς να κινούνται παράλληλα με τα στρώματα, αυτές οι καταστάσεις μετατρέπονται σε ηλεκτρονικές υποζώνες. Ωστόσο, αυτό υποθέτει ότι μια ενιαία αποτελεσματική μάζα μπορεί να περιγράψει κάθε ζώνη.

Οι πραγματικές ζώνες ημιαγωγών δεν είναι ανεξάρτητες. Καθώς αλλάζει ο διανυσματικός δείκτης της κυματοσυνάρτησης του ηλεκτρονίου, οι καταστάσεις που προέρχονται από διαφορετικά ατομικά τροχιακά μπορούν να αλληλεπιδράσουν, αλλάζοντας τις ενέργειές τους και το σχήμα των κυματοσυναρτήσεών τους. Αυτό το φαινόμενο είναι ιδιαίτερα σημαντικό στη ζώνη σθένους, όπου οι ζώνες των «βαρέων οπών», των «ελαφρών οπών» και των «αποσυνδεδεμένων» ζωνών βρίσκονται κοντά η μία στην άλλη. Ένα μοντέλο οκτώ ζωνών k·p περιγράφει αυτές τις αλληλεπιδράσεις άμεσα, αντί να προσπαθεί να τις ενσωματώσει όλες σε μία ενιαία αποτελεσματική μάζα.

Εδώ εξετάζουμε ημιαγωγούς τύπου σφαλερίτη, συμπεριλαμβανομένων υλικών όπως το GaAs, το InAs και το InP. Στόχος είναι να αναπτύξουμε το μοντέλο των οκτώ ζωνών σταδιακά: πρώτα, να προσδιορίσουμε τις καταστάσεις, στη συνέχεια να εξετάσουμε πώς αλληλεπιδρούν και, τέλος, να κατανοήσουμε τι μας λέει η επίλυση του προκύπτοντος πίνακα σχετικά με μια κβαντική δεξαμενή.

Ποιες είναι οι οκτώ πολιτείες;

Κοντά στο κέντρο της ζώνης Brillouin (στο σημείο Γ), ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης είναι να περιγράψουμε την κατάσταση της ζώνης αγωγιμότητας ως έχουσα κυρίως συμμετρία τύπου S. Οι καταστάσεις της ζώνης σθένους έχουν κυρίως συμμετρία τύπου p, τις οποίες ονομάζουμε X, Y και Z για να υποδείξουμε τους καρτεσιανούς προσανατολισμούς τους. Αυτές είναι κρυσταλλικές καταστάσεις, όχι μεμονωμένα ατομικά τροχιακά, αλλά οι ετικέτες των τροχιακών μας βοηθούν να κατανοήσουμε τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους.

Αν δεν λάβουμε υπόψη την ιδιοστροφορμή, τότε έχουμε τέσσερις καταστάσεις:

\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]

Κάθε κατάσταση μπορεί να εμφανιστεί με σπιν προς τα πάνω ή σπιν προς τα κάτω. Η πραγματική βάση που χρησιμοποιείται σε αυτή την καρτεσιανή αναπαράσταση είναι:

\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]

Από εδώ προέρχεται και η ονομασία «οκτώ ζώνες»: τέσσερις τροχιακές συναρτήσεις πολλαπλασιασμένες με δύο σπινικά συστατικά. Αρχικά, θα παραβλέψουμε την αλληλεπίδραση σπιν, ώστε να μπορέσουμε να κατανοήσουμε πρώτα το απλούστερο πρόβλημα των τεσσάρων καταστάσεων. Η σύζευξη σπιν-τροχιάς θα εισαχθεί αργότερα, αφού κατανοήσουμε τις τροχιακές αλληλεπιδράσεις.

Τι σημαίνει όταν δύο συγκροτήματα συνεργάζονται;

Φανταστείτε ότι γνωρίζουμε τις ενέργειες των καταστάσεων S και X στο σημείο Γ. Εάν οι δύο καταστάσεις δεν αλληλεπιδρούσαν ποτέ, η αλλαγή του διανυσματικού κύματος θα άλλαζε απλώς τις μεμονωμένες ενέργειές τους. Σε έναν πραγματικό κρύσταλλο, ωστόσο, η κίνηση μέσω του περιοδικού δυναμικού μπορεί να τις συνδέσει. Η κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου μπορεί στη συνέχεια να περιέχει ένα μείγμα χαρακτηριστικών που μοιάζουν με S και X, αντί να ανήκει αποκλειστικά σε μία κατάσταση.

Αυτό το απεικονίζουμε γράφοντας τη κυματοσυνάρτηση ως άθροισμα βασικών καταστάσεων. Για ένα παράδειγμα με τέσσερις τροχιακές:

\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]

Οι συντελεστές μας δείχνουν πόσο κάθε βασική κατάσταση συμβάλλει σε μια συγκεκριμένη λύση. Αντί να λύνουμε μια ξεχωριστή εξίσωση για κάθε τροχιά, λύνουμε μια εξίσωση Schrödinger σε μορφή πίνακα, η οποία καθορίζει όλους τους συντελεστές ταυτόχρονα:

\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]

Οι τιμές κατά μήκος της διαγωνίου περιγράφουν την ενέργεια κάθε κατάστασης. Οι τιμές εκτός της διαγωνίου περιγράφουν τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ διαφορετικών καταστάσεων. Εάν αυτές οι τιμές εκτός διαγωνίου είναι μηδέν, οι καταστάσεις παραμένουν ανεξάρτητες. Εάν δεν είναι μηδέν, η επίλυση της μήτρας αλλάζει τόσο τις επιτρεπόμενες ενέργειες όσο και τη σύνθεση των προκύπτουσων κυματοσυναρτήσεων.

Η σύζευξη Kane: Συνδέοντας τις ζώνες αγωγιμότητας και σθένους.

Σ τη θεωρία k·p, η αλληλεπίδραση μεταξύ της αγώγιμης κατάστασης τύπου S και των αγώγιμων καταστάσεων X, Y και Z εξαρτάται από το διανυσματικό μήκος κύματος του ηλεκτρονίου. Αυτή η αλληλεπίδραση περιγράφεται από τη σύζευξη Kane. Για παράδειγμα, οι καταστάσεις S και X συνδέονται μέσω ενός όρου που είναι ανάλογος με τη συνιστώσα του διανυσματικού μήκους κύματος κατά μήκος του άξονα x· οι αντίστοιχες συνδέσεις S-προς-Y και S-προς-Z εξαρτώνται από τις συνιστώσες y και z.

Χρησιμοποιώντας τη συμβατική σχέση ενέργεια-χρόνος-μήκος για την παράμετρο Kane P, μπορούμε να γράψουμε τις συνδέσεις σχηματικά ως εξής:

\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]

Εδώ, το P ελέγχει την ένταση της αλληλεπίδρασης. Το μέγεθός του εκφράζεται συχνά μέσω της ενέργειας Kane, \(E_p\):

\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]

όπου \(m_0\) είναι η μάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου. Μια μεγαλύτερη παράμετρος Kane οδηγεί σε ισχυρότερη ανάμειξη των αγώγιμων και των ενεργειακών ζωνών καθώς το διανυσματικό κύμα απομακρύνεται από το σημείο Γ. Οι φανταστικοί παράγοντες και τα πρόσημα στην πλήρη Χαμιλτονιανή εξαρτώνται από τη συμβατική επιλογή της βάσης· η σημαντική φυσική ιδέα είναι ότι οι διαγώνιοι όροι συνδέουν τις ζώνες.

Ένα παράδειγμα δύο κρατών.

Πριν εξετάσουμε και τις οκτώ καταστάσεις, είναι χρήσιμο να εξετάσουμε το απλούστερο δυνατό παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι διατηρούμε μόνο μία κατάσταση αγωγιμότητας και μία κατάσταση σθένους. Εάν οι ανεξάρτητες ενέργειές τους είναι \(E_c\) και \(E_v\), τότε ένα κατάλληλο Ερμιτιανό μοντέλο είναι:

\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]

Σε αυτό το ενδεικτικό μοντέλο δύο καταστάσεων, έχουμε επιλέξει τις φάσεις των βασικών συναρτήσεων έτσι ώστε η σύζευξη να είναι πραγματική. Η επίλυση της μήτρας δίνει δύο ενέργειες:

\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Στο σημείο μηδενικού διανυσματικού κύματος, η σύζευξη εξαφανίζεται και ανακτούμε τις αρχικές άκρες της ζώνης. Μακριά από το μηδέν, οι άνω και κάτω λύσεις απομακρύνονται. Η απόσταση εξαρτάται από την ένταση της σύζευξης P και οι αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις γίνονται μίγματα των δύο αρχικών βασικών καταστάσεων. Αυτό το απλό παράδειγμα απεικονίζει την κεντρική αρχή της πλήρους υπολογιστικής μεθόδου οκτώ ζωνών: η σύζευξη αλλάζει τη διασπορά της ζώνης, αντί απλώς να μετατοπίζει μια υπάρχουσα παραβολή.

Γιατί η σύζευξη αλλάζει την αποτελεσματική μάζα;

Ανατρέξτε στην εξίσωση της παραβολικής ζώνης από το προηγούμενο μάθημα. Κοντά στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας, η ενέργεια εξαρτάται κατά προσέγγιση από το τετράγωνο του διανυσματικού κύματος και η αποτελεσματική μάζα καθορίζει την καμπυλότητα. Το δυστάθμιο μοντέλο που περιγράφηκε παραπάνω εξηγεί γιατί άλλες ζώνες μπορούν να επηρεάσουν αυτή τη μάζα.

Εάν η σύζευξη \(Pk\) είναι μικρή σε σύγκριση με το ενεργειακό χάσμα \(E_g=E_c-E_v\), η ανώτερη λύση μπορεί να αναπτυχθεί γύρω από το \(k=0\):

\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]

Παρατηρήστε ότι ο επιπλέον όρος είναι ανάλογος του \(k^2\): παρόλο που εισάγαμε μια σύνδεση που είναι γραμμική ως προς το k, η επίδρασή της στην ενέργεια κοντά στην άκρη της ζώνης είναι τετραγωνική. Επομένως, αλλάζει την καμπυλότητα της ζώνης αγωγιμότητας και, κατά συνέπεια, την αποτελεσματική μάζα του ηλεκτρονίου.

Στο πραγματικό μοντέλο, υπάρχει επίσης μια άμεση συνεισφορά κινητικής ενέργειας και μια σύνδεση με διάφορες καταστάσεις σθένους, συμπεριλαμβανομένων των καταστάσεων που προκύπτουν από τη διάσπαση λόγω της αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς. Αυτές οι συνεισφορές πρέπει να συνδυαστούν για να αναπαραχθεί η παρατηρούμενη μάζα στην άκρη της ζώνης. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η αποτελεσματική μάζα δεν είναι μια αυθαίρετη αντικατάσταση για τη μάζα των ελεύθερων ηλεκτρονίων: συνοψίζει την επίδραση των γύρω κρυσταλλικών ζωνών στην κίνηση ενός ηλεκτρονίου κοντά σε μια συγκεκριμένη άκρη ζώνης.

Γιατί υπάρχουν τρεις τροχιακές σθένους;

Η κατάσταση αγωγιμότητας από μόνη της είναι σχετικά απλή. Η ενεργειακή ζώνη σθένους απαιτεί μεγαλύτερη προσοχή, επειδή περιέχει καταστάσεις τύπου X, Y και Z που μπορούν να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Η συμπεριφορά τους εξαρτάται από την κατεύθυνση του διανυσματικού κύματος και όχι μόνο από το μέγεθός του. Επομένως, μια απλή παραβολή με το κοίλο άκρο προς τα κάτω δεν αποτυπώνει σημαντικά χαρακτηριστικά της δομής της ενεργειακής ζώνης σθένους.

Στην καρτεσιανή αναπαράσταση, κατασκευάζουμε ένα μπλοκ της ενεργειακής ζώνης, με μια διαγώνια καταχώρηση για κάθε ατομικό τροχιακό και εκτός διαγωνίου καταχωρήσεις που περιγράφουν τη σύζευξή τους. Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές L, M και N, ένα τυπικό μπλοκ τροχιακού έχει την εξής μορφή:

\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]

όπου οι διαγώνιοι όροι έχουν την εξής μορφή:

\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]

Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσουμε αυτόν τον πίνακα για να κατανοήσουμε τον σκοπό του. Τα L και M καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο οι ενέργειες των επιμέρους στοιχείων της τροχιάς μεταβάλλονται ανάλογα με την κατεύθυνση· το N ελέγχει την ανάμειξη μεταξύ των διαφόρων στοιχείων της τροχιάς. Η πλήρης υπολογιστική διαδικασία οκτώ ζωνών περιλαμβάνει αυτό το τμήμα της τροχιάς για και τις δύο συνιστώσες σπιν και το συνδέει με τις καταστάσεις αγωγιμότητας.

Από πού προέρχονται οι περιοχές με υψηλή και χαμηλή συγκέντρωση ηλεκτρονίων και η αποσυνδεδεμένη ζώνη;

Μέχρι στιγμής, περιγράψαμε τα S, X, Y και Z ως τροχιακές καταστάσεις. Το ηλεκτρόνιο διαθέτει επίσης σπιν, το οποίο του προσδίδει μια συνιστώσα σπιν προς τα πάνω και μια συνιστώσα σπιν προς τα κάτω για κάθε τροχιά. Η απλή διπλασιασμός της βάσης θα ήταν απλή διαδικασία εάν το σπιν δεν αλληλεπιδρούσε ποτέ με την τροχιακή κίνηση. Ωστόσο, ένας ημιαγωγός περιέχει μια επιπλέον αλληλεπίδραση που ονομάζεται σύζευξη σπιν-τροχιάς.

Στη ζώνη αγωγιμότητας, αυτή η σύζευξη αναμιγνύει τις τροχιακές και τις σπινικές συνιστώσες. Στο σημείο Γ ενός κρυστάλλου τύπου σφαλερίτη χωρίς τάση, οι έξι σπιν-τροχιακές καταστάσεις που μοιάζουν με p διαχωρίζονται σε μια τετραπλή ομάδα, η οποία περιέχει τις καταστάσεις βαριάς οπής και ελαφριάς οπής, και σε μια διπλή ομάδα που ονομάζεται διαχωρισμένη ζώνη. Η διαφορά ενέργειας συμβολίζεται με \(\Delta_{\mathrm{so}}\).

Οι όροι «βαριά οπή» και «ελαφριά οπή» αναφέρονται στις διαφορετικές καμπυλότητες αυτών των ζωνών κοντά στο σημείο Γ, και επομένως στις διαφορετικές αποτελεσματικές μάζες τους. Οι ζώνες δεν είναι απαραίτητο να παραμένουν ανεξάρτητες όταν αλλάζει ο διανυσματικός αριθμός κύματος. Σε μια κβαντική φρεάτιδα, ο περιορισμός και η τάση μπορούν να τις αναμείξουν περαιτέρω, γεγονός που αποτελεί έναν από τους κύριους λόγους για τη χρήση του πλήρους πολυζωνικού μοντέλου.

Όταν το μέγιστο της ενεργειακής ζώνης σθένους επιλέγεται ως η αναφορά ενέργειας, η μέση, μη διαταραγμένη ενέργεια σθένους στην καρτεσιανή αναπαράσταση συνήθως γράφεται ως:

\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]

Στη συνέχεια, η μήτρα της αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς διαχωρίζει τις ανώτερες καταστάσεις σθένους από τις αποσυνδεδεμένες καταστάσεις, αναπαράγοντας τις απαιτούμενες ενέργειές τους στο σημείο Γ. Το OghmaNano διατηρεί αυτή την αλληλεπίδραση ρητά, αντί να προσπαθεί να μοντελοποιήσει όλες τις ζώνες σθένους με μία αποτελεσματική μάζα οπής.

Συνδυάζοντας την οκταζωνική συνάρτηση Hamiltonian.

Τώρα μπορούμε να δούμε πώς συνδέονται μεταξύ τους τα διάφορα μέρη. Υπάρχουν δύο καταστάσεις αγωγιμότητας που μοιάζουν με το γράμμα S (μία για κάθε σπιν) και έξι καταστάσεις σθένους που μοιάζουν με το γράμμα p. Η Χαμιλτονιανή διαιρείται σε τέσσερα τμήματα:

\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]

Το μπλοκ αγωγιμότητας \(H_{cc}\) περιέχει την ακμή της ζώνης αγωγιμότητας και την κινητική της ενέργεια. Το μπλοκ σθένους \(H_{vv}\) περιέχει τους όρους τροχιακών X/Y/Z και την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς. Το μπλοκ σύζευξης \(H_{cv}\) περιέχει τις αλληλεπιδράσεις Kane που συνδέουν τις καταστάσεις αγωγιμότητας και σθένους. Το σύμβολο \(\dagger\) υποδηλώνει τη συζυγή Ερμιτιανή, διασφαλίζοντας ότι η Χαμιλτονιανή έχει την απαιτούμενη Ερμιτιανή δομή.

Αν και ο πλήρης πίνακας έχει οκτώ γραμμές και οκτώ στήλες για ένα ομοιογενές ογκώδες υλικό σε ένα συγκεκριμένο διανυσματικό κύμα, τα μεμονωμένα στοιχεία του δεν είναι πλέον τόσο αινιγματικά: κάθε στοιχείο είτε αντιστοιχεί μια ενέργεια σε μια βασική κατάσταση είτε περιγράφει μια αλληλεπίδραση μεταξύ δύο καταστάσεων. Λύνουμε το πρόβλημα των ιδιοτιμών του πίνακα για να προσδιορίσουμε τις επιτρεπόμενες ενέργειες ζώνης και τη σύνθεση των κυματοσυναρτήσεών τους.

Από πού προέρχονται οι παράμετροι του μοντέλου;

Τα πειραματικά και θεωρητικά δεδομένα ημιαγωγών εκφράζονται συνήθως με βάση το ενεργειακό χάσμα \(E_g\), την αποτελεσματική μάζα αγωγιμότητας, την ενέργεια Kane \(E_p\), τη διαίρεση λόγω αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς \(\Delta_{\mathrm{so}}\) και τις παραμέτρους Luttinger \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) και \(\gamma_3\). Αυτές οι ποσότητες καθορίζουν τις διαγώνιες διασπορές του μοντέλου και την ένταση των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των καταστάσεων.

Υπάρχει ένα σημαντικό ζήτημα που αφορά την καταγραφή των δεδομένων. Στο παραβολικό μοντέλο, η μετρούμενη αποτελεσματική μάζα περιλαμβάνει ήδη την επίδραση των γειτονικών ζωνών. Σε ένα μοντέλο οκτώ ζωνών, ορισμένες από αυτές τις γειτονικές ζώνες περιλαμβάνονται πλέον ρητά μέσω της σύζευξης Kane. Επομένως, πρέπει να προσαρμόσουμε τους υπόλοιπους συντελεστές κινητικής ενέργειας, ώστε η ίδια φυσική αλληλεπίδραση να μην υπολογίζεται δύο φορές.

Στην παραμετροποίηση του OghmaNano, ο συντελεστής της αγωγιμότητας της απομακρυσμένης ζώνης συμβολίζεται με \(A_c\) και οι συντελεστές της σθένους τροχιάς γράφονται ως L, M και N. Η μετατροπή από τις μετρούμενες παραμέτρους του υλικού αποτελεί μέρος του ορισμού του μοντέλου· οι προκύπτοντες συντελεστές δεν πρέπει να συγχέονται με τις καθαρές αποτελεσματικές μάζες των ανεξάρτητων παραβολικών ζωνών.

Η Διόρθωση της Ζώνης Αγωγιμότητας

Μια από τις εκφράσεις που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της συνεισφοράς της αγωγιμότητας στην απομακρυσμένη ζώνη είναι:

\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]

με το \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\). Ο πρώτος όρος καθορίζει την μετρούμενη καμπυλότητα της άκρης της ζώνης, ενώ οι δύο όροι που περιλαμβάνουν το \(E_p\) αφαιρούν το τμήμα που παράγεται από τις καταστάσεις της ενεργειακής ζώνης, οι οποίες πλέον συνδέονται ρητά. Εδώ, το \(m_e^{*}\) είναι μια μάζα με διαστάσεις SI· εάν μια βάση δεδομένων υλικών αποθηκεύει τη σχετική μάζα \(m_e^{*}/m_0\), χρησιμοποιείται το αντίστροφό της.

Παρόμοιες διορθώσεις εισέρχονται στις L, M και N μέσω των παραμέτρων Luttinger. Οι ακριβείς συμβάσεις παραμέτρων πρέπει να διατηρούνται συνεπείς με τη επιλεγμένη βάση και την Χαμιλτονιανή· η ανάμειξη συντελεστών που προέρχονται από διαφορετικές συμβάσεις μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένη καμπυλότητα της ζώνης, ακόμη και όταν οι διαστάσεις της μήτρας φαίνονται σωστές.

Ποιες είναι οι αλλαγές όταν τοποθετούμε το μοντέλο μέσα σε μια κβαντική δεξαμενή;

Μέχρι στιγμής, όλα όσα εξετάσαμε αφορούν έναν ημιαγωγό σε ένα συγκεκριμένο τρισδιάστατο διανυσματικό κύμα κρυστάλλου. Για μια κβαντική δεξαμενή, επιλέγουμε ξανά το \(z\) κάθετο στα στρώματα και τα \(x\) και \(y\) παράλληλα σε αυτά. Οι φορείς μπορούν να κινούνται ελεύθερα κατά μήκος των στρωμάτων, επομένως τα \(k_x\) και \(k_y\) παραμένουν συνηθισμένες συνιστώσες διανυσματικού κύματος στο επίπεδο.

Ωστόσο, σε όλα τα επίπεδα, πρέπει να επιλύσουμε τις εξισώσεις για τις περιορισμένες κυματοσυναρτήσεις. Η συνιστώσα z αναπαρίσταται, ως εκ τούτου, από έναν διαφορικό τελεστή:

\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]

Αυτή είναι η επέκταση πολλαπλών ζωνών της προσέγγισης της εξίσωσης του Schrödinger, η οποία παρουσιάστηκε στις προηγούμενες σελίδες. Αντί να λύσουμε μόνο για μία κλιμακωτή συνάρτηση, λύνουμε για οκτώ συζευγμένες κλιμακωτές συνιστώσες:

\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]

Σε κάθε αριθμητικό σημείο του πλέγματος κατά μήκος του κβαντικού πηγαδιού αντιστοιχούν οκτώ συνδεδεμένες τιμές. Με N χωρικά σημεία του πλέγματος, η διακριτοποιημένη Χαμιλτονιανή έχει επομένως διάσταση \(8N\). Η επίλυση της παρέχει τις περιορισμένες ενέργειες και τη σύνθεση των τροχιακών και των σπιν για κάθε υποζώνη που υπολογίζεται. Ένα πλήρες παράδειγμα αυτού του υπολογισμού δίνεται στο GaAs/AlGaAs οκταζωνικό σεμι-αγώγιμο κβαντικό πηγάδι τύπου zincblende, εκπαιδευτικό υλικό k·p.

Οι παράμετροι του υλικού μπορούν επίσης να αλλάξουν σε μια διεπιφάνεια. Όταν οι συντελεστές πολλαπλασιάζουν διαφορικούς τελεστές, η σειρά τους πρέπει να επιλέγεται προσεκτικά για να διατηρηθεί η Ερμιτιανή ιδιότητα και η σωστή συμπεριφορά στη διεπιφάνεια. Για παράδειγμα, ένας χωρικά μεταβαλλόμενος συντελεστής Kane εισάγεται συνήθως μέσω ενός συμμετρικού τελεστή και όχι αντιμετωπίζεται ως σταθερά εκτός της παραγώγου.

Πού εισέρχεται η τάση;

Όταν μια ημιαγωγική στρώση αναπτύσσεται πάνω σε μια άλλη με διαφορετική σταθερά πλέγματος, η στρώση μπορεί να συμπιεστεί ή να τεντωθεί. Αυτό δημιουργεί τάση, η οποία αλλάζει τις σχετικές ενέργειες των αγώγιμων και των ενεργειακών ζωνών σθένους.

Η ζώνη αγωγιμότητας υφίσταται μια υδροστατική μετατόπιση ενέργειας, ενώ οι ζώνες σθένους μπορούν να μετακινηθούν σε σχέση μεταξύ τους και να αναμειχθούν. Στα μοντέλα τύπου σφαλερίτη, αυτά τα φαινόμενα συνήθως απεικονίζονται χρησιμοποιώντας το Χαμιλτονιανή του συστήματος Bir-PikusΗ προσθήκη αυτού του όρου στο οκταζωνικό Hamiltonian μας επιτρέπει να υπολογίσουμε πώς ο περιορισμός και η τάση αλληλεπιδρούν, αντί να διορθώνουμε τις ζώνες ανεξάρτητα μετά την επίλυση του κβαντικού πηγαδιού.

Γιατί είναι σημαντικό αυτό για τους οπτικούς υπολογισμούς;

Το οπτικό-μεταβάσεων σεμινάριο εξήγησε πώς οι υποζώνες των ηλεκτρονίων και των οπών καθορίζουν τις πιθανές ενέργειες των φωτονίων. Στην παραβολική προσέγγιση, οι εντάσεις των μεταβάσεων μπορούν να εκτιμηθούν χρησιμοποιώντας την επικάλυψη δύο κλιμακωτών συναρτήσεων περιβάλλουσας και ενός οπτικού στοιχείου όγκου.

Στο μοντέλο των οκτώ ζωνών, κάθε κατάσταση αποτελείται από ένα μείγμα των συνιστωσών S, X, Y και Z. Η οπτική της απόκριση εξαρτάται από αυτές τις συνιστώσες και από την πόλωση του φωτός. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ένας υπολογισμός πολλαπλών ζωνών μπορεί να προβλέψει αλλαγές στην ένταση της μετάπτωσης και στην απόκριση TE/TM, οι οποίες δεν υπάρχουν σε μια περιγραφή με μία μόνο μάζα.

Η κύρια βελτίωση δεν έγκειται απλώς στο ότι υπολογίζουμε περισσότερες καμπύλες. Υπολογίζουμε από τι αποτελούνται οι καταστάσεις, συμπεριλαμβανομένου του τρόπου με τον οποίο αλλάζει ο τροχιακός τους χαρακτήρας ανάλογα με το διανυσματικό κύμα, τον περιορισμό και την τάση.