Ιδιοκαταστάσεις, κανονικοποίηση και χαρακτηρισμός της κατάστασης.

Ο επιλυτής ιδιοτιμών επιστρέφει τις ενέργειες και τα διανυσματικά περιβάλλοντα. Αυτή η σελίδα εξηγεί πώς το OghmaNano κανονικοποιεί αυτά τα περιβάλλοντα, πώς μετρά τον τροχιακό χαρακτήρα κάθε κατάστασης και πώς παρακολουθεί ποια υποζώνη είναι ποια καθώς σαρώνονται οι επιπεδικοί διανύσματα κύματος — όλα αυτά είναι απαραίτητα για τις οπτικές και μεταφορικές ρουτίνες που ακολουθούν.

1. Ομαλοποίηση

Ένα πολυζωνικό περίβλημα έχει μία συνιστώσα για κάθε βασική συνάρτηση σε κάθε κόμβο. Το OghmaNano κανονικοποιεί τη συνολική πιθανότητα, η οποία αθροίζεται σε όλες τις ζώνες και ολοκληρώνεται στο πλέγμα, ώστε να ισούται με τη μονάδα:

\[ \sum_{z}\sum_{b} \big|\psi_b(z)\big|^2\,\Delta z = 1. \]

Αυτή η φυσική κανονικοποίηση καθορίζει ότι \(|\psi_b(z)|^2\Delta z\) είναι η πιθανότητα να βρεθεί ο φορέας στην ζώνη \(b\) κοντά στον κόμβο \(z\), και διασφαλίζει ότι τα οπτικά στοιχεία της μήτρας και οι πυκνότητες των επιπέδων έχουν τη σωστή απόλυτη κλίμακα. Οι αριθμητικές μέθοδοι (παραβολικές και πυριτίου) χρησιμοποιούν τον ίδιο κανόνα με μια μόνο συνιστώσα ζώνης.

2. Χαρακτηριστικά της πολιτείας.

Επειδή οι πολυζωνικές καταστάσεις αναμιγνύουν τροχιακά τύπου s και τύπου p, κάθε ιδιοκατάσταση έχει ένα σαφώς καθορισμένο χαρακτηριστικό, το οποίο δίνεται από το κλάσμα της πιθανότητάς της σε κάθε τροχιακό. Το OghmaNano ενσωματώνει τα τετραγωνισμένα συστατικά.

\[ w_S = \sum_z\big(|\psi_{S\uparrow}|^2+|\psi_{S\downarrow}|^2\big)\Delta z, \quad w_X, w_Y, w_Z \ \text{likewise}, \]

ώστε \(w_S+w_X+w_Y+w_Z=1\) (συν μια συνεισφορά αζώτου \(w_N\) στο μοντέλο των 10 ζωνών). Μια κατάσταση με μεγάλη τιμή \(w_S\) είναι αγώγιμη (ηλεκτρόνιο), ενώ μια κατάσταση που κυριαρχείται από \(w_X, w_Y, w_Z\) είναι παρόμοια με την ζώνη σθένους (οπή). Οι επιμέρους συνεισφορές \(X, Y, Z\) αποκαλύπτουν επίσης εάν μια κατάσταση της ζώνης σθένους είναι παρόμοια με μια «βαριά οπή» (κυρίως \(X, Y\)) ή μια «ελαφριά οπή», γεγονός που ελέγχει τις οπτικές κανόνες επιλογής.

3. Ταξινόμηση των καταστάσεων με βάση το χαρακτηριστικό S.

Όταν οι καταστάσεις αγωγιμότητας και σθένους επιλύονται μαζί σε ένα ενιαίο φάσμα, πρέπει να διαχωριστούν σε ηλεκτρόνια και οπές. Το OghmaNano χρησιμοποιεί το βάρος του χαρακτηριστικού S \(w_S\) για αυτό: μια κατάσταση αντιμετωπίζεται ως ηλεκτρονοειδής ανάλογα με το \(w_S\) και ως οπιοειδής ανάλογα με το \(1-w_S\). Αυτή η συνεχής στάθμιση είναι σημαντική κοντά στην άκρη της ζώνης σε υλικά με στενή ενεργειακή διαφορά, όπου η ισχυρή ανάμειξη αγωγιμότητας-σθένους καθιστά τη διάκριση μεταξύ ηλεκτρονίων και οπών πραγματικά κλασματική. Το ίδιο βάρος χρησιμοποιείται στον υπολογισμό του gain, όπου κλιμακώνει την εκπομπή και την απορρόφηση κάθε μετάπτωσης.

4. Παρακολούθηση των υποζωνών κατά μήκος της διασποράς.

Η διασπορά στο επίπεδο υπολογίζεται με την επίλυση της Χαμιλτονιανής σε μια ακολουθία \(k_\parallel\) σημείων. Ο επιλυτής ιδιοτιμών επιστρέφει καταστάσεις με σειρά ενέργειας, αλλά η σειρά ενέργειας μπορεί να αλλάξει όταν οι υποζώνες τέμνονται ή αντιτέμνονται, επομένως μια απλή ταξινόμηση κατά ενέργεια θα ανακατεύαζε τις ετικέτες των ζωνών. Το OghmaNano, αντίθετα, παρακολουθεί τις καταστάσεις με βάση την επικάλυψη: σε κάθε νέο \(k_\parallel\), αντιστοιχεί κάθε προηγούμενο ιδιοδιανυσμα στο νέο ιδιοδιανυσμα με το οποίο έχει τη μεγαλύτερη επικάλυψη.

\[ \text{match}(i) = \arg\max_j \Big|\textstyle\sum_z\sum_b \psi^{(k-1)}_{i,b}(z)^\*\,\psi^{(k)}_{j,b}(z)\,\Delta z\Big|^2, \]

ώστε κάθε υποζώνη να διατηρεί μια σταθερή ταυτότητα σε όλη την περιοχή διασποράς. Αυτή η συνεχής σήμανση είναι αυτή που καθιστά τις ενέργειες της υποζώνης \(E_n(k_\parallel)\) ομαλές συναρτήσεις, κατάλληλες για τα οπτικά και μεταφορικά ολοκληρώματα.

5. Ανάλυση των κυματοσυναρτήσεων.

Οι περιορισμένες κυματοσυνάρσεις φέρουν άμεση φυσική σημασία. Ο αριθμός των κόμβων τους καθορίζει τον δείκτη της υποζώνης· η χωρική τους έκταση δείχνει πόσο στενά είναι περιορισμένες και πόσο διαχέονται στις φραγές· και η επικάλυψη των κυματοσυναρτήσεων των ηλεκτρονίων και των οπών καθορίζει την ένταση της οπτικής μετάπτωσης μεταξύ τους. Σε δομές με τάση ή ασύμμετρες, οι κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονίων και των οπών μπορούν να ωθηθούν προς αντίθετες πλευρές της περιοχής, μειώνοντας την επικάλυψή τους και την οπτική απόδοση — ένα φαινόμενο που οι πολυζωνικές κυματοσυναρτήσεις αποτυπώνουν άμεσα και το οποίο ενσωματώνεται στον υπολογισμό του matrix-element.